宜宾市2019年高中阶段学校招生考试数学试卷

宜宾市2019年高中阶段学校招生考试数学试卷(考试时间：120分钟，全卷满分120分)第Ⅰ卷选择题(共24分)一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡对应题目上．1．2的倒数是()A.eq\f(1,2)B.－2C.－eq\f(1,2)D.±eq\f(1,2)2．人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为()A.5.2×10－6B.5.2×10－5C.52×10－6D.52×10－53．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝()第3题图A.eq\r(41)B.eq\r(42)C.5eq\r(2)D.2eq\r(13)4．一元二次方程x2－2x＋b＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2为()A.－2B.bC.2D.－b5．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是()第5题图A.10B.9C.7D.86．下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：次数环数运动员第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲107788897乙1055899810根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为x甲，x乙，甲、乙的方差分别为seq\o\al(2,甲)、seq\o\al(2,乙)，则下列结论正确的是()A.x甲＝x乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)B.x甲＝x乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)C.x甲>x乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)D.x甲<x乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)7．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E、F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()第7题图A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(3),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),4)8．已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B、C两点，则下列结论不正确的是()A.存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B.存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C.任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D.存在实数k，使得△ABC为等边三角形第Ⅱ卷非选择题(共96分)二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．9．分解因式：b2＋c2＋2bc－a2＝________．10．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝________°.第10题图11．将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为__________．12．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．第12题图13．某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是________．14．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,4)<\f(x－1,3)，,2x－m≤2－x))有且只有两个整数解，则m的取值范围是________．15．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2eq\r(3)，则⊙O的面积是________．第15题图第16题图16．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N.下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①AM＝BN②△ABF≌△DNF③∠FMC＋∠FNC＝180°④eq\f(1,MN)＝eq\f(1,AC)＋eq\f(1,CE)三、解答题：(本大题共8小题，共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)(1)计算：(2019－eq\r(2))0－2－1＋|－1|＋sin245°；(2)化简：eq\f(2xy,x2－y2)÷(eq\f(1,x－y)＋eq\f(1,x＋y))．18.(本小题满分6分)如图：AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.第18题图19.(本小题满分8分)某校七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如下不完整的统计图．第19题图(1)求三个年级获奖总人数；(2)请补全扇形统计图的数据；(3)在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占eq\f(1,4)，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年同学的概率．20.(本小题满分8分)甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城，求两车的速度．21.(本小题满分8分)如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)第21题图22.(本小题满分10分)如图，已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0)的图象和一次函数y＝－x＋b的图象都过点P(1，m)，过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1.第22题图(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．23.(本小题满分10分)如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．第23题图24.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝kx＋b都经过A(0，－3)、B(3，0)两点，该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，点△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．第24题图2019宜宾数学解析1.A【解析】2的倒数是eq\f(1,2).2.B3.D【解析】如解图，连接EF，∵△ADE旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF.∴∠DAE＝∠BAF.∴∠DAB＝∠DAE＋∠EAB＝∠BAF＋∠EAB＝∠EAF＝90°.∵EA＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形．∵DA＝5，DE＝1，∴EA＝AF＝eq\r(DA2＋DE2)＝eq\r(52＋12)＝eq\r(26).∴EF＝eq\r(EA2＋AF2)＝eq\r(26＋26)＝2eq\r(13).第3题解图4.C【解析】由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq\f(b,a)＝2.5.B【解析】由主视图及俯视图可知，构成该几何体的小正方体个数最多的情况如下：(小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数)第5题解图∴构成该几何体的小正方体个数最多为9个．6.A【解析】甲的平均数为x－甲＝eq\f(10＋7×3＋8×3＋9,8)＝8，乙的平均数为x－乙＝eq\f(10×2＋5×2＋8×2＋9×2,8)＝8.∴x－甲＝x－乙，甲的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(10－8)2＋3×(7－8)2＋3×(8－8)2＋(9－8)2]＝1，乙的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[2×(10－8)2＋2×(5－8)2＋2×(8－8)2＋2×(9－8)2]＝3.5，∴seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙).7.C【解析】如解图，连接OB、OC.∵点O是等边△ABC的重心，∴OB、OC分别平分∠EBF和∠ACB.∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝∠ACO＝30°，∠BOC＝120°，且OB＝OC.∵∠EOF＝120°，∠BOC＝120°，∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF.∴∠EOB＝∠FOC.∴在△BOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOB＝∠FOC，,OB＝OC，,∠EBO＝∠OCF，))∴△BOE≌△COF，∴S阴影＝S△BOC＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).。。。第7题解图8.D【解析】令x＝0，则y＝－1，即A点坐标为(0，－1)．设B(x1，kx1)，C(x2，kx2)，联立抛物线与直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－1，,y＝kx))，得x2－kx－1＝0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1.∵AB2＝xeq\o\al(2,1)＋(kx1＋1)2＝xeq\o\al(2,1)＋k2xeq\o\al(2,1)＋2kx1＋1＝(k2＋1)xeq\o\al(2,1)＋2kx1＋1，AC2＝xeq\o\al(2,2)＋(kx2＋1)2＝xeq\o\al(2,2)＋k2xeq\o\al(2,2)＋2kx2＋1＝(k2＋1)xeq\o\al(2,2)＋2kx2＋1，∴AB2＋AC2＝(k2＋1)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋2k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)(k2＋2)＋2k2＋2＝k4＋5k2＋4，∵BC2＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝(x1－x2)2＋k2(x1－x2)2＝(k2＋1)(x1－x2)2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(k2＋1)(k2＋4)＝k4＋5k2＋4，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，故不存在实数k，使得△ABC为等边三角形．9.(b＋c＋a)(b＋c－a)【解析】b2＋c2＋2bc－a2＝(b＋c)2－a2＝(b＋c＋a)(b＋c－a)．10.60【解析】六边形的内角和为180°×(6－2)＝720°，∴∠B＝eq\f(720°,6)＝120°.∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°－∠B＝180°－120°＝60°.11.y＝2(x＋1)2－2【解析】根据平移规律“左加右减”可知，向左平移1个单位，所得图象的解析为y＝2(x＋1)2，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2.12.eq\f(16,5)【解析】根据勾股定理可知，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋32)＝5.S△ABC＝eq\f(1,2)×3×4＝6.∵S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×CD＝eq\f(5,2)CD＝6，∴CD＝eq\f(12,5).在Rt△ACD中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(42－（\f(12,5)）2)＝eq\f(16,5).13.65(1－10%)(1＋5%)－50(1－x)2＝65－50【解析】由题意可知，原某产品每件的利润为：65－50，预测半年后的销售价格为65(1－10%)(1＋5%)，而生产成本为50(1－x)2，∴利润为65(1－10%)(1＋5%)－50(1－x)2.根据半年以后的销售利润不变，可列方程：65(1－10%)(1＋5%)－50(1－x)2＝65－50.14.－2≤m<1【解析】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,4)<\f(x－1,3)①,2x－m≤2－x②))，解不等式①得，x>－2；解不等式②得，x≤eq\f(m＋2,3).∵不等式组有且只有两个整数解，∴两整数解为－1，0，∴0≤eq\f(m＋2,3)<1，∴0≤m＋2<3.∴－2≤m<1.15.4π【解析】∵∠ACB＝∠CDB＝60°，∴△ABC是等边三角形，如解图，连接OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，BC＝AC＝2eq\r(3)，∠OBC＝∠OCB＝30°.BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).∴OB＝eq\f(BE,cos30°)＝2.∴⊙O的面积为4π.第15题解图16.①③④【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°.∵点A、C、E在同一条直线上，∴∠BCD＝60°.∴∠ACD＝∠BCE＝120°.在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠CAD＝∠CBE.在△ACM和△BCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAD＝∠CBE，,BC＝AC，,∠ACB＝∠BCN，))∴△ACM≌△BCN(ASA)．∴AM＝BN，故①正确．∴∠AMC＝∠FNC.∵∠AMC＋∠FMC＝180°，∴∠FNC＋∠FMC＝180°，故③正确．∵△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，如解图，连接MN，又∵∠BCD＝60°，∴△MCN是等边三角形．∴MN∥AE.∴eq\f(MN,AC)＝eq\f(DN,CD)＝eq\f(CD－CN,CD).∵CD＝CE，CN＝MN.∴eq\f(MN,AC)＝eq\f(CE－MN,CE)＝1－eq\f(MN,CE).∴eq\f(1,AC)＝eq\f(1,MN)－eq\f(1,CE).∴eq\f(1,MN)＝eq\f(1,AC)＋eq\f(1,CE)，故④正确．∵∠BAC＝∠DCE＝60°，∴AB∥CD.∴△ABF∽△DNF.设△ABC的边长为x，△CDE的边长为y，∵△ECN∽△EAB，∴eq\f(CN,x)＝eq\f(y,x＋y).∴CN＝eq\f(xy,x＋y)，DN＝y－eq\f(xy,x＋y).若△ABF≌△DNF，则DN＝AB，即eq\f(y2,x＋y)＝x，得x2＋xy－y2＝0，解得x＝eq\f(－y＋\r(y2＋4y2),2)＝eq\f(\r(5)－1,2)y.仅在这样的条件下两三角形全等，故②不正确．故选①③④.第16题解图17.解：(1)原式＝1－eq\f(1,2)＋1＋(eq\f(\r(2),2))2＝1－eq\f(1,2)＋1＋eq\f(1,2)＝2.(2)原式＝eq\f(2xy,（x＋y）（x－y）)÷eq\f(x＋y＋x－y,（x＋y）（x－y）)＝eq\f(2xy,（x＋y）（x－y）)×eq\f(（x＋y）（x－y）,2x)＝y.18.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，))∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴∠C＝∠E.19.解：(1)三个年级获奖总人数为：17÷34%＝50(人)；(2)三等奖所占百分比为：eq\f(10,50)×100%＝20%，一等奖所占百分比为1－24%－34%－20%－14%＝8%；(3)一等奖的人数为：8%×50＝4(人)．由题意可得：这4人分别为七年级1人，八年级1人，九年级2人．画树状图如解图：第19题解图由上图可知一共有12种等可能的情况，这两人中既有七年级又有九年级的同学有4种情况，∴所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).20.解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x＋10)千米/小时，根据题意得，eq\f(440,x)－eq\f(450,x＋10)＝eq\f(1,2).解得：x1＝80，x2＝－110(舍去)．经检验，x＝80是原分式方程的解且符合题意．∴x＋10＝80＋10＝90(千米/小时)．答：甲、乙两车的速度分别为90千米/小时、80千米/小时．21.解：设EM＝xm，∵在Rt△AEM中，∠AEM＝60°，∴AM＝tan60°×EM＝eq\r(3)x.又∵∠AFM＝45°，EF＝CD＝40m，∴FM＝40＋x.∵△AFM是等腰直角三角形．∴AM＝FM.∴eq\r(3)x＝x＋40，解得x＝20eq\r(3)＋20，∴AB＝AM＋BM＝eq\r(3)x＋1＝eq\r(3)(20eq\r(3)＋20)＋1＝61＋20eq\r(3).答：该建筑物的高度AB为(61＋20eq\r(3))米．22.解：(1)∵S△OAP＝eq\f(1,2)×OA×AP＝eq\f(1,2)m＝1，∴m＝2.∴P(1，2)，将P(1，2)代入y＝eq\f(k,x)中，得k＝2.∴y＝eq\f(2,x).将P(1，2)代入y＝－x＋b中，得b＝3.∴y＝－x＋3；(2)联立反比例函数和一次函数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,x)，,y＝－x＋3，))得x2－3x＋2＝0.解得x1＝1，x2＝2.∴M(2，1)．如解图，过点P作PD⊥x轴交x轴于点D.∴PD＝2，BM＝1，OD＝BD＝1，AP＝1.∴S五边形OAPMB＝S四边形OAPD＋S四边形PDBM＝AP×OA＋eq\f(1,2)×BD×(PD＋BM)＝1×2＋eq\f(1,2)×1×(2＋1)＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2).第22题解图23.(1)证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠ODB＝∠ADB－∠ADO＝120°－30°＝90°.又∵OD是⊙O的半径．∴直线BD是⊙O的切线；(2)解：∵∠DOC＝∠ADO＋∠BAD＝30°＋30°＝60°.连接CD，如解图．又∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形．∴∠DCO＝60°.∵∠BDC＝∠DCO－∠ABD＝60°－30°＝30°.∵BC＝1，∴DC＝BC＝OC＝1，∴OD＝DC＝1；(3)∵∠BDE＝90°，DE＝2OD＝2.在Rt△OBD中，由勾股定理得，BD＝eq\r(OB2－OD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴在Rt△BOE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\r(3＋4)＝eq\r(7).如解图，连接CM，AE，AB＝AC＋BC＝2＋1＝3.∵四边形AEMC是⊙O的内接四边形，∴∠BCM＝∠AEB.在△BCM和△BEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BCM＝∠AEB，,∠CBM＝∠EBA，))∴△BCM∽△BEA.∴eq\f(BM,AB)＝eq\f(BC,BE).即eq\f(BM,3)＝eq\f(1,\r(7)).解得：BM＝eq\f(3,7)eq\r(7).第23题解图24.解：(1)将A(0，－3)、B(3，0)两点代入y＝kx＋b中，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,3k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,k＝1.))∴直线AB的解析式为y＝x－3.将A(0，－3)、B(3，0)两点代入y＝a