【解析】浙江省杭州市余杭区绿城亲亲学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷12月份

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浙江省杭州市余杭区绿城亲亲学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

1．（2022九上·余杭月考）已知⊙O的半径是3，点P在圆外，则线段OP的长可能是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知识点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，

∴OP的长＞3.

故答案为：D.

【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.

2．【答案】A

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上面的点数为3的只有1种，

∴朝上面的点数为3的概率是.

故答案为：A.

【分析】任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上面的点数为3的只有1种，然后根据概率公式进行计算即可.

3．【答案】B

【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象

【解析】【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）.

故答案为：B.

【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）.

4．【答案】B

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，

∴AC＝AB＝2（﹣1），

故答案为：B.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC＝AB，然后将AB=4代入计算即可.

5．【答案】B

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴＝，

即＝，

∴BC＝6.

故答案为：B.

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得＝，代入数据计算即可得到BC的长.

6．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝44°，

∴∠B＝90°﹣∠BAC＝46°，

∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，

∴∠D＝180°﹣∠B＝134°，

∵点D是弧AC的中点，

∴＝，

∴AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝23°，

故答案为：C.

【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＝90°-∠BAC＝46°，由圆内接四边形的性质可得∠D=180°-∠B＝134°，由中点的概念以及弧、弦的关系可得AD＝DC，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可.

7．【答案】D

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx+n，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝m，

∵m﹣（m﹣1）＜（m+2）﹣m，

∴y3＜y1＜y2.

故答案为：D.

【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为直线x=m，然后根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大进行比较.

8．【答案】A

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；

③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；

④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；

正确的有2个.

故答案为：A.

【分析】根据垂径定理可判断①②；根据圆周角定理可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.

9．【答案】B

【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义；角平分线的定义

【解析】【解答】解：连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠ECB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠CBE+∠ECB＝90°，

∴∠ACE＝∠CBE，

∵OB＝OC，

∴∠CBE＝∠OCB，

∴∠ACE＝∠OCB，

∵CD平分∠OCE，

∴∠OCD＝∠ECD，

∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD＝∠ACB＝45°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，

在Rt△ACF中，AC＝10，

∴AF＝ACsin45°＝10×＝5，

CF＝ACcos45°＝10×＝5，

在Rt△AOD中，AO＝OD＝AB＝13，

∴AD＝AO＝13，

∴DF＝＝＝12，

∴CD＝CF+DF＝17，

∴△ACD的面积＝CDAF

＝×17×5

＝85

故答案为：B.

【分析】连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据同角的余角相等可得∠ACE＝∠CBE，由等腰三角形的性质可得∠CBE＝∠OCB，根据角平分线的概念可得∠OCD＝∠ECD，则∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD＝∠ACB＝45°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，利用三角函数的概念可得AF、CF，然后求出AD、DF、CD，再根据三角形的面积公式进行计算.

10．【答案】C

【知识点】二次函数的最值

【解析】【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2﹣+c，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，函数最小值为﹣+c，

将x＝m代入y＝x2+bx+c得y＝m2+bm+c，

将x＝m+1代入y＝x2+bx+c得y＝（m+1）2+b（m+1）+c，

当m+1＜﹣时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，

当m＞﹣时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，

∵m2+bm+c，（m+1）2+b（m+1）+c，﹣+c都含有c项，

∴函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关.

故答案为：C.

【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为直线x＝-，函数最小值为-+c，分别将x=m、m+1代入解析式中表示出y，由二次函数的性质可得当m+1＜-时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，当m＞-时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，据此判断.

11．【答案】

【知识点】等式的性质

【解析】【解答】解：∵2x＝3y，

∴＝.

故答案为：.

【分析】给2x=3y的两边同时除以3x即可.

12．【答案】80°

【知识点】圆内接四边形的性质；比的应用

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，

∴∠B+∠D＝180°，

∵∠B：∠D＝4：5，

∴∠B＝80°.

故答案为：80°.

【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠B+∠D＝180°，由∠B：∠D＝4：5可得∠B=(∠B+∠D)，代入计算即可.

13．【答案】

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好都是黑球的结果有6种，

∴恰好都是黑球的概率是＝，

故答案为：.

【分析】画出树状图，然后找出总情况数以及恰好都是黑球的情况数，然后根据概率公式进行计算.

14．【答案】y＝﹣2（x+1）2﹣2

【知识点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是：y＝﹣2（x+1）2﹣2.

故答案为：y＝﹣2（x+1）2﹣2.

【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规则进行解答.

15．【答案】﹣6π

【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算

【解析】【解答】解：根据已知得△AOB，△COD都为边长为3的等边三角形，

∴BC＝3，

∵△AOB，△COD的面积为3×＝，扇形BAO和扇形CDO的面积为＝3π，

∴阴影部分的面积为3×﹣2×（3π﹣）＝﹣6π.

故答案为：﹣6π.

【分析】根据已知得△AOB、△COD都为边长为3的等边三角形，则BC＝3，然后根据S阴影=S△ABC-2(S扇形AOB-S△AOB)进行计算.

16．【答案】②④

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝﹣＝2+，

∴若m＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，

∴若m＜0，当x≤k时，y随x的增大而增大，故①错误；

∵y＝mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝[mx﹣（m+1）]（x﹣3）＝[m（x﹣1）﹣1]（x﹣3），

∴对于任何满足条件的m，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，

∴对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②，④正确；

∵y＝mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝[mx﹣（m+1）]（x﹣3）＝[m（x﹣1）﹣1]（x﹣3），

∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，

∴若m为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么m＝±1，故③错误.

故答案为：②④.

【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝2+，若m＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，据此判断①；将函数解析式变形为y＝[m(x-1)-1](x-3)，则图象经过点（1，2）和（3，0），据此判断②④；令y=0，表示出x，进而判断③.

17．【答案】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝9.6m，EF＝2.4m.

∴AC∥DF，

∴∠ACB＝∠DFE，

∵AB⊥BC，DE⊥EF，

∴∠ABC＝∠DEF＝90°，

∴Rt△ABC∽Rt△DEF，

∴，即＝，

解得AB＝12.4，

∴旗杆的高度为12.4m.

故旗杆AB的高度为12.4m.

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【分析】由题意可得AC∥DF，根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DFE，由垂直的概念可得∠ABC＝∠DEF＝90°，证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后根据相似三角形的性质进行计算.

18．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴＝，

∴∠A＝∠BCD，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD；

（2）解：∵∠A＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE＝CD＝3，

在Rt△COE中，OC＝＝2，

∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝4π，

答：阴影部分的面积为4π.

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）根据垂径定理以及弦、弧的关系可得＝，由圆周角定理可得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，据此证明；

（2）由圆周角定理可得∠BOC＝2∠A=60°，则∠AOC＝120°，由垂径定理可得CE＝CD＝3，根据三角函数的概念求出OC，然后利用扇形的面积公式进行计算.

19．【答案】（1）解：列表如下：

123

2（1，2）（2，2）（3，2）

3（1，3）（2，3）（3，3）

4（1，4）（2，4）（3，4）

由表知，共有9种等可能结果，其中取出的两个球上的数字都为奇数的有2种结果，

所以取出的两个球上的数字都为奇数的概率为；

（2）解：这个游戏不公平，理由如下：

列表如下：

123

2345

3456

45657

由表知，共有9种等可能结果，其中两球上的数字和为奇数的有5种结果，和为偶数的有4种结果，

所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，

∵≠，

∴这个游戏不公平.

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）列出表格，找出总情况数以及取出的两个球上的数字都为奇数的情况数，然后根据概率公式进行计算；

（2）列出表格，找出总情况数以及两球上的数字和为奇数、偶数的情况数，然后根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，再进行比较即可判断.

20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴＝，

∴AD＝CD；

（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8，

∴AE＝AC＝4，

设⊙O的半径为r，

∵DE＝2，

∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2，

在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2，

∴16+（r﹣2）2＝r2，

解得：r＝5，

∴AB＝2r＝10，

在Rt△ACB中，BC＝＝＝6，

∴BC的长为6.

【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，由平行线的性质可得∠AEO＝∠ACB＝90°，则＝，然后根据弧、弦的关系进行证明；

（2）由垂径定理可得AE＝AC＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r-2，在Rt△AEO中，利用勾股定理可得r，然后求出AB，再在Rt△ACB中，利用勾股定理就可求出BC.

21．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△AEF，

∴∠BAC＝∠EAF，AB：AE＝AC：AF，

∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，

∴AB：AC＝AE：AF，

∴△ABE∽△ACF；

（2）解：由（1）知，△ABE∽△ACF，

∴∠ABE＝∠ACF，

∵∠AOB＝∠COF，

∴△AOB∽△FOC，

∴AO：OF＝OB：OC，

∵∠AOF＝∠BOC，

∴△AOF∽△BOC，

∴S△BOC：S△AOF＝（）2＝4，

∵S△AOF＝8，

∴S△BOC＝32.

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据已知条件可知△ABC∽△AEF，由相似三角形的性质可得AB：AE＝AC：AF，∠BAC＝∠EAF，结合角的和差关系可得∠BAE＝∠CAF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；

（2）由（1）知：△ABE∽△ACF，则∠ABE＝∠ACF，由对顶角的性质可得∠AOB＝∠COF，证明△AOB∽△FOC，△AOF∽△BOC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.

22．【答案】（1）解：当k＝﹣2时，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3，

令y＝0，则﹣x2﹣4x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，

∴当k＝﹣2时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣3，0）；

（2）解：∵二次函数y＝﹣x2+2kx+k﹣1的图象经过点（1，4），

∴﹣1+2k+k﹣1＝4，

解得k＝2，

∴y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，

∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，5）；

（3）解：二次函数y＝﹣x2+2kx+k﹣1的对称轴为直线x＝﹣＝k，

①k≥1时，

此时0≤x≤1时，y随x的增大而增大，

∴当x＝1时，y有最大值，即﹣1+2k+k﹣1＝4，

解得k＝2；

②k≤0时，

此时0≤x≤1时，y随x的增大而减小，

∴当x＝0时，y有最大值，即k﹣1＝4，

解得k＝5（不合题意）；

③0＜k＜1时，

当0≤x≤1时，x＝k时，y最大，

∴﹣k2+2k2+k﹣1＝4，

解得k＝（不合题意），

∴k的值为2.

【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象

【解析】【分析】（1）当k＝-2时，二次函数的解析式为y＝-x2-4x-3，令y=0，求出x的值，据此可得二次函数图象与x轴的交点坐标；

（2）将（1，4）代入函数解析式中求出k的值，表示出二次函数的解析式，将其化为顶点式，进而可得顶点坐标；

（3）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝k，①当k≥1，0≤x≤1时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y有最大值4，代入计算可得k的值；②当k≤0，0≤x≤1时，y随x的增大而减小，则当x＝0时，y有最大值4，代入计算即可；③当0＜k＜1，0≤x≤1时，在x＝k处y取得最大值4，代入计算即可.

23．【答案】（1）证明：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠ECO＝∠B，

∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠ECO，

∴AD∥OC；

（2）解：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B，

∴∠ECO＝∠OCB＝∠B，

∵CD⊥AB，

∴∠ECO+∠OCB+∠B＝90°，

∴∠ECO＝∠OCB＝∠B＝30°，

∵OC＝OB＝2，

∴OE＝1，

∴CE＝，

∴BC＝2CE＝2；

（3）解：∵AD＝