2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，共30.0分.）1.2023的相反数是(

)A.12023 B.−12023 C.20232.下列LOGO标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.5月5日，从长沙市文化和旅游广电局了解到，“五一“假期全市接待游客362.38万人次，实现旅游总收入35.38亿元：与清明小长假相比，游客人数和旅游收入分别增长10%和20%以上.全市列入省文旅厅统计监测范围的景区共接待游客36.76万人次，实现门票收入1126.58万元，长沙成为“五一“全国旅游最热门的城市之一.1126.58万元写成科学记数法法的形式是(

)A.11.2658×107 B.1.12658×107 C.4.下列运算正确的是(

)A.2m−m=1 B.m2⋅m3=a5.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是(

)A.

B.

C.

D.6.已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是(

)A.114，115 B.114，114 C.115，114 D.115，1157.一次函数y=−2x−1的图象不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.如果x<y，那么下列不等式正确的是(

)A.x−1>y−1 B.x+1>y+1 C.−2x<−2y D.2x<2y9.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=10，AD=6，则BC的长为(

)

A.10 B.16 C.18 D.2010.我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为5−12.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC=2，则CD的长为

A.5−1 B.5−3 C.二、填空题（共6小题，共18.0分）11.分解因式：3a2−6a+3=

12.若代数式22x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．13.如图，在平面直角坐标系中，已知A(6,4)，B(2,3)，D(3,2)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是______．14.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是

．15.已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，则它的侧面展开扇形的面积为______．16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且CB=CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．

(1)若∠ABC=40°，则∠ADC=______；

(2)若AE=2，BD=8，则⊙O的半径长为______．

三、解答题（共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

计算：|−4|−(5−3)18.(本小题8.0分)

先化简再求值：aa2−9÷(1+19.(本小题8.0分)

如图，在坡顶的A处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC，某同学再沿着坡度为i=5：12的斜坡AP攀行26米到达了点A，距建筑物BC底端C为5米，在坡顶A处又测得该建筑物的顶端B的仰角为76°，求建筑物BC的高度(精确到0.1)．

(1)求坡顶A到地面PQ的距离；

(2)计算建筑物的高度.(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4)20.(本小题8.0分)

某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．

(2)请将条形统计图补充完整．

(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．21.(本小题8.0分)

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF/​/AC交OE的延长线于点F，连接AF．

(1)求证：△AOE≌△DFE；

(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．22.(本小题8.0分)

某公司购买了A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．

(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了100条，其购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，问一共有多少种购买方案，哪一种方案最省钱？23.(本小题8.0分)

如图，C、D是以AB为直径的⊙O上两点，连接AC，BD，满足∠CAB=2∠ABD，作DE⊥CA交CA延长线于点E，连接DE．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AB=3AE，

①求tan∠ABD的值；

②求ACDB的值．24.(本小题8.0分)

如图，已知矩形ABCD中，AB=5，AD=1，点E为线段CD上一点，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，如图所示.连接BF、AF．

(1)如图(1)，当点C在线段BF上时，求AF的长；

(2)如图(2)，当点E在线段CD上运动时，求AF的最小值及此时DE的长；

(3)当点E在线段CD上运动时，设CE的长为a，是否存在a的值使△ABF为等腰三角形，若存在则求出a的值；若不存在请说明理由．

25.(本小题8.0分)

定义：在平面直角坐标系中，将函数x≤ℎ部分的图象记为W1，将图象W1沿x=ℎ翻折到右侧后得到的图象为W2，我们称图象W1，W2共同构成的图象称为函数的“ℎ阶共生函数”，如函数y=x的“1阶共生函数”解析式为y=x,x≤1−x+2,x>1．

(1)直接写出直线l：y=x−3的“4阶共生函数”与x轴的交点坐标；

(2)已知直线y=kx−k−3与y=2x的“0阶共生函数”共有三个交点，求此时k的取值范围；

(3)若函数y=−x答案和解析1.【答案】D

解：2023的相反数是−2023．

故选：D．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】B

解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.【答案】B

解：1126.58万=11265800=1.12658×107．

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n4.【答案】C

解：A、2m−m=m，故A不符合题意；

B、m2⋅m3=a5，故B不符合题意；

C、m6÷m2=m4，故C符合题意；

D5.【答案】D

解：从上面看，可得如下图形：

故选：D．

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．

【解答】

解：平均数x−=(111+113+115+115+116)÷5=114，

数据115出现了2次，次数最多，

∴众数是115．

故选：A7.【答案】A

解：对于一次函数y=−2x−1，

∵k=−2<0，

∴图象经过第二、四象限；

又∵b=−1<0，

∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，

∴一次函数y=−2x−1的图象不经过第一象限．

故选A．

因为k=−2<0，b=−1<0，根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y=−2x−1的图象不经过第一象限．

本题考查了一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当k>0，经图象第一、三象限，y随x的增大而增大；当b>0，一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方；当b<0，一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方．

8.【答案】D

解：A、在不等式x<y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x−1<y−1，不符合题意；

B、在不等式x<y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1<y+1，不符合题意；

C、在不等式x<y的两边同时乘−2，不等号法方向改变，即−2x>−2y，不符合题意；

D、在不等式x<y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x<2y，符合题意．

故选：D．

根据不等式的性质进行分析判断．

本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．

9.【答案】B

解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴BC=2BD，AD⊥BC，

在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，

∴BD=AB2−AD2=102−62=8，

∴BC=2BD=16，

故选：10.【答案】A

解：∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=12∠ABC=36°，

∴∠BDC=180°−∠DBC−∠C=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，

∴BC=BD，

∴△BDC是“黄金三角形”，

∴DCBC=5−12，

∵BC=2，

∴DC=5−1，

故选：A．

11.【答案】3(a−1)解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．

故答案为：3(a−1)2．12.【答案】x>3

解：由题意得：2x−6>0，

解得：x>3，

故答案为：x>3．

根据二次根式有意义的条件和分母不为0的条件可得2x−6>0，再解即可．

此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．

13.【答案】(1,1.5)

解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，

而A(6,4)，B(2,3)，D(3,2)，

∵OA=62+42=213，OD=32+22=13，

∴△ABC与△DEF的位似比为2：1，

∵B(2,3)，

∴E点的坐标是为(2×12,3×114.【答案】k≤1

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解决本题的关键．

根据一元二次方程根的情况知Δ=(−2)2−4×1·k=4−4k≥0，解不等式即可．

【解答】

解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，

∴Δ=(−2)2−4×1·k=4−4k≥0．15.【答案】12πcm解：底面半径为2cm，圆锥的母线长为6cm，

则圆锥侧面展开图的面积为S=πrl=π×2×6=12π(cm2).

故答案为：12πcm2．

圆锥的侧面积16.【答案】40°

10

解：(1)∵AC=AC，

∴∠ADC=∠ABC=40°，

故答案为：40°；

(2)过点C作CF⊥BD于点F，

∵BD=8，CD=CB，

∴DF=BF=4，

∵CE⊥AE，

∴∠CEA=90°，

∵AB为直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∴四边形CEDF是矩形，

∴CE=DF=4，

∵AE=2，

∴AC=AE2+CE2=22+42=25，

∵四边形ADBC为圆O的内接四边形，

∴∠EAC=∠CBF，

∴cos∠EAC=cos∠CBF，

∴AEAC=BFBC，

∴225=4BC，

∴BC=417.【答案】解：|−4|−(5−3)0−2tan45°+(−2)−2

=4−1−2×1+1【解析】根据实数的相关运算法则进行计算即可．

本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

18.【答案】解：原式=a(a+3)(a−3)÷a−3+3a−3

=a(a+3)(a−3)⋅a−3a

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

19.【答案】解：(1)过点A作AH⊥PQ于H，如图所示，

∵斜坡AP的坡度为i=5：12，

∴AHPH=512，

设AH=5k，则PH=12k，

则AP=AH2+PH2=(5K)2+(12K)2=13k，

∴13k=26，解得k=2，

∴AH=10，

∴坡顶A到地面PQ的距离为10米．

(2)由题意得：AC=5，

∴在【解析】(1)过点A作AH⊥PQ于H，根据斜坡AP的坡度为i=5：12，得出AHPH=512，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，求出k值即可求解．

(2)由题意易得AC=5，然后利用Rt△ABC中，tan76°=20.【答案】解：(1)5；20；80

(2)如图，

(3)35解：(1)调查的总人数为20÷40%=50(人)，

所以喜欢篮球项目的同学的人数=50−20−10−15=5(人)；

“乒乓球”的百分比=1050×100％=20％，

因为800×550=80(人)，

所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；

故答案为5，20，80；

(2)见答案；

(3)画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，

所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=1220=35．

(1)先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；

(2)根据(1)中计算的喜欢篮球的人数，补全统计图即可；

(3)画树状图展示所有2021.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵DF/​/AC，

∴∠OAD=∠ADF，

在△AOE和△DFE中

∠AEO=∠DEFAE=DE∠OAE=∠FDE

∴△AOE≌△DFE(ASA)．

(2)解：四边形AODF为矩形．

理由：∵△AOE≌△DFE，

∴AO=DF，

∵DF/​/AC，

∴四边形AODF为平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

即∠AOD=90°，

∴平行四边形AODF【解析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．

(1)利用全等三角形的判定定理即可．

(2)先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．

22.【答案】解：(1)设该公司购买的B型芯片的单价是x元，则A型芯片的单价是(x−9)元，

由题意得：3120x−9=4200x，

解得：x=35，

经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，

∴x−9=26，

答：该公司购买的A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元；

(2)设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为(100−m)条，

由题意得：26m+35(100−m)≥3140100−m≤4m，

解得：20≤m≤40，

∵m为整数，

∴m=20，21，22，23，24，…，40，

∴一共有21种购买方案，

设总费用为y元，

由题意得：y=26m+35(100−m)=−9m+3500，

∵−9<0，

∴y随m的增大而减小，

∴当m=40时，y的值最小，

此时100−m=60，

答：一共有21种购买方案，购买A型芯片40条，【解析】(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x−9)元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，列出分式方程，解方程即可；

(2)设购买A型芯片为m条，则购买B型芯片为(100−m)条，根据购买的总费用不少于3140元，且B型的数量不高于A型数量的4倍，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤40，得一共有21种购买方案，再设总费用为y元，由题意得y=−9m+3500，然后由一次函数的性质即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．

23.【答案】(1)证明：连接OD，

∵∠CAB=2∠ABD，∠AOD=2∠ABD，

∴∠CAB=∠AOD，

∴AC/​/OD，

∵DE⊥CA，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)解：①∵AB=3AE，

∴设AE=x，AB=3x，

连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∵∠ADE+∠ADO=90°，

∴∠ADE=∠ODB，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠ADE=∠ABD，

∵∠E=∠ADB，

∴△ADE∽△ABD，

∴ADAE=ABAD，

∴ADx=3xAD，

∴AD=3x，

∴BD=AB2−AD2=6x，

∴tan∠ABD=ADBD=3x6【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到∠CAB=∠AOD，根据平行线的判定得到AC/​/OD，求得OD⊥DE，根据切线的判定定理即可得到结论；(2)①设AE=x，AB=3x，连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，推出∠ADE=∠ABD，根据相似三角形

到现在得到AD=3x，根据勾股定理得到BDAB2−AD2=24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=1，

∴BC=AD=1，DC=AB=5，∠ABC=∠BCD=90°，

∵四边形BEFG是正方形，

∴BE=FE，

∵点E为线段CD上一点，点C在线段BF上，

∴∠BCE=90°，

∴CE⊥BF，

∴FC=BC=1，

∴BF=2BC=2，

∴AF=AB2+BF2=52+22=29，

∴AF的长为29．

(2)如图(2)，作△BEF的外接圆⊙O，延长DC交⊙O于点H，连接BH、FH，

∵BE=FE，∠BEF=90°，

∴∠EBF=∠EFB=45°，

∴∠EHF=∠EBF=45°，∠BHE=∠BFE=45°，

∵∠BCH=90°，

∴∠CBH=∠CHB=45°，

∴HC=BC=1，

∵点F在与直线DC所夹的锐角为45°的直线上运动，

∴当AF⊥HF时，AF的值最小，

设AF交DC于点I，作FL⊥DC于点L，

∵∠AFH=90°，∠IHF=45°，

∴∠HIF=∠IHF=45°，

∴∠DIA=∠DAI=45°，

∴FI=FH，ID=AD=1，

∴HI=CD−ID+HC=5+1−1=5，

∴LF=LI=LH=12HI=12×5=52，

∵∠D=∠FLI=90°，

∴AI=AD2+ID2=12+12=2，FI=LF2+LI2=(52)2+(52)2=522，

∴AF=AI+FI=2+522=722，

∵∠BDE=∠ELF=90°，∠BEC=∠EFL=90°−∠LEF，BE=EF，

∴△BEC≌△EFL(AAS)，

∴CE=LF=52，

∴DE=DC−CE=5−52=52，

∴AF的最小值为722，此时DE的长为52．

(3)存在a的值使△ABF为等腰三角形，

作FN⊥AB于点N，交DC于点M，

∵DC/​/AB，

∴∠EMF=∠ANM=90°，

∴∠EMF=∠C，

∵∠MEF=∠CBE=90°−∠BEC，EF=BE，

∴△MEF≌△CBE(AAS)，

∴MF=CE=a，EM=BC=1，

∵∠BNM=∠NBC=∠C=90°，

∴四边形BCMN是矩形，

∴MN=BC=1，

∴FN=MF+MN=a+1【解析】(1)由矩形的性质得BC=AD=1，DC=AB=5，∠ABC=∠BCD=90°，由正方形的性质得BE=FE，当点C在线段BF上，则CE⊥BF，所以FC=BC=1，BF=2BC=2，由勾股定理得AF=AB2+BF2=29；