2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷含解析

第第页2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷（含解析）2023年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是()

A.B.C.D.

2.下列标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

3.月日，从长沙市文化和旅游广电局了解到，“五一“假期全市接待游客万人次，实现旅游总收入亿元：与清明小长假相比，游客人数和旅游收入分别增长和以上全市列入省文旅厅统计监测范围的景区共接待游客万人次，实现门票收入万元，长沙成为“五一“全国旅游最热门的城市之一万元写成科学记数法法的形式是()

A.B.C.D.

4.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

5.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是()

A.

B.

C.

D.

6.已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数和众数分别是()

A.，B.，C.，D.，

7.一次函数的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.如果，那么下列不等式正确的是()

A.B.C.D.

9.如图，中，，是的平分线，已知，，则的长为()

A.B.C.D.

10.我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.分解因式：．

12.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

13.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点是位似中心，则点的坐标是______．

14.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是．

15.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则它的侧面展开扇形的面积为______．

16.如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点．

若，则______；

若，，则的半径长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：．

18.本小题分

先化简再求值：，其中．

19.本小题分

如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学再沿着坡度为：的斜坡攀行米到达了点，距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物的高度精确到．

求坡顶到地面的距离；

计算建筑物的高度参考数据：，，

20.本小题分

某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______，如果学校有名学生，估计全校学生中有______人喜欢篮球项目．

请将条形统计图补充完整．

在被调查的学生中，喜欢篮球的有名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的名同学恰好是名女同学和名男同学的概率．

21.本小题分

如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

求证：≌；

判定四边形的形状并说明理由．

22.本小题分

某公司购买了、两种型号的芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少元，已知该公司用元购买型芯片的条数与用元购买型芯片的条数相等．

求该公司购买的、型芯片的单价各是多少元？

若两种芯片共购买了条，其购买的总费用不少于元，且型的数量不高于型数量的倍，问一共有多少种购买方案，哪一种方案最省钱？

23.本小题分

如图，、是以为直径的上两点，连接，，满足，作交延长线于点，连接．

求证：是的切线；

若，

求的值；

求的值．

24.本小题分

如图，已知矩形中，，，点为线段上一点，连接，以为边作正方形，如图所示连接、．

如图，当点在线段上时，求的长；

如图，当点在线段上运动时，求的最小值及此时的长；

当点在线段上运动时，设的长为，是否存在的值使为等腰三角形，若存在则求出的值；若不存在请说明理由．

25.本小题分

定义：在平面直角坐标系中，将函数部分的图象记为，将图象沿翻折到右侧后得到的图象为，我们称图象，共同构成的图象称为函数的“阶共生函数”，如函数的“阶共生函数”解析式为．

直接写出直线：的“阶共生函数”与轴的交点坐标；

已知直线与的“阶共生函数”共有三个交点，求此时的取值范围；

若函数的“阶共生函数”与直线恰有两个不同的交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．

故选：．

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

3.【答案】

【解析】解：万．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C符合题意；

D、，故D不符合题意；

故选：．

利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】

【解析】解：从上面看，可得如下图形：

故选：．

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．

【解答】

解：平均数，

数据出现了次，次数最多，

众数是．

故选：．

7.【答案】

【解析】解：对于一次函数，

，

图象经过第二、四象限；

又，

一次函数的图象与轴的交点在轴下方，即函数图象还经过第三象限，

一次函数的图象不经过第一象限．

故选A．

因为，，根据一次函数的性质得到图象经过第二、四象限，图象与轴的交点在轴下方，于是可判断一次函数的图象不经过第一象限．

本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，经图象第一、三象限，随的增大而增大；当，一次函数的图象与轴的交点在轴上方；当，一次函数的图象与轴的交点在轴下方．

8.【答案】

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，不符合题意；

B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，不符合题意；

C、在不等式的两边同时乘，不等号法方向改变，即，不符合题意；

D、在不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，符合题意．

故选：．

根据不等式的性质进行分析判断．

本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．

9.【答案】

【解析】解：，是的平分线，

，，

在中，，，

，

，

故选：．

先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：，，

，

平分，

，

，

，

，

是“黄金三角形”，

，

，

，

故选：．

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，从而可得是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答．

本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三角形的判定是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故答案为：．

根据二次根式有意义的条件和分母不为的条件可得，再解即可．

此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．

13.【答案】

【解析】解：与位似，原点是位似中心，

而，，，

，，

与的位似比为：，

，

点的坐标是为，即．

故答案为：．

利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标．

本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似变换的概念得到∽是解题的关键．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解决本题的关键．

根据一元二次方程根的情况知，解不等式即可．

【解答】

解：关于的一元二次方程有实数根，

．

．

故答案为：．

15.【答案】

【解析】解：底面半径为，圆锥的母线长为，

则圆锥侧面展开图的面积为

故答案为：．

圆锥的侧面积．

本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是关键．

16.【答案】

【解析】解：，

，

故答案为：；

过点作于点，

，，

，

，

，

为直径，

，

四边形是矩形，

，

，

，

四边形为圆的内接四边形，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

由圆周角定理可得出答案；

过点作于点，证出，证明四边形是矩形，得出，求出，证出，求出的长，由勾股定理可得出答案．

本题考查了垂径定理，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

17.【答案】解：

．

【解析】根据实数的相关运算法则进行计算即可．

本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

18.【答案】解：原式

，

将代入得，原式．

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

19.【答案】解：过点作于，如图所示，

斜坡的坡度为：，

，

设，则，

则，

，解得，

，

坡顶到地面的距离为米．

由题意得：，

在中，，

即，

解得，

古塔的高度约米．

【解析】过点作于，根据斜坡的坡度为：，得出，设，则，，求出值即可求解．

由题意易得，然后利用中，即可求解．

本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．

20.【答案】解：；；

如图，

【解析】解：调查的总人数为人，

所以喜欢篮球项目的同学的人数人；

“乒乓球”的百分比，

因为人，

所以估计全校学生中有人喜欢篮球项目；

故答案为，，；

见答案；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的名同学恰好是名女同学和名男同学的结果数为，

所以所抽取的名同学恰好是名女同学和名男同学的概率．

先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；

根据中计算的喜欢篮球的人数，补全统计图即可；

画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出所抽取的名同学恰好是名女同学和名男同学的结果数，然后根据概率公式求解，

本题考查了列表法与树状图法和统计图以及用样本评估总体．

21.【答案】证明：是的中点，

，

，

，

在和中

≌．

解：四边形为矩形．

理由：≌，

，

，

四边形为平行四边形，

四边形为菱形，

，

即，

平行四边形为矩形．

【解析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．

利用全等三角形的判定定理即可．

先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论．

22.【答案】解：设该公司购买的型芯片的单价是元，则型芯片的单价是元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

，

答：该公司购买的型芯片的单价是元，型芯片的单价是元；

设购买型芯片为条，则购买型芯片为条，

由题意得：，

解得：，

为整数，

，，，，，，，

一共有种购买方案，

设总费用为元，

由题意得：，

，

随的增大而减小，

当时，的值最小，

此时，

答：一共有种购买方案，购买型芯片条，型芯片条最省钱．

【解析】设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条，根据数量总价单价结合用元购买型芯片的条数与用元购买型芯片的条数相等，列出分式方程，解方程即可；

设购买型芯片为条，则购买型芯片为条，根据购买的总费用不少于元，且型的数量不高于型数量的倍，列出一元一次不等式组，解得，得一共有种购买方案，再设总费用为元，由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．

23.【答案】证明：连接，

，，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

解：，

设，，

连接，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

；

，

，

，，

∽，

，

，

，

，

．

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；设，，连接，根据圆周角定理得到，推出，根据相似三角形到现在得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义得到；

根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：四边形是矩形，，，

，，，

四边形是正方形，

，

点为线段上一点，点在线段上，

，

，

，

，

，

的长为．

如图，作的外接圆，延长交于点，连接、，

，，

，

，，

，

，

，

点在与直线所夹的锐角为的直线上运动，

当时，的值最小，

设交于点，作于点，

，，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，，，

≌，

，

，

的最小值为，此时的长为．

存在的值使为等腰三角形，

作于点，交于点，

，

，

，

，，

≌，

，，

，

四边形是矩形，

，

，，

当为等腰三角形，且时，如图，

，，

，

解得，；

当为等腰三角形，且时，如图，

，于点，

，

，

解得；

当为等腰三角形，且时，如图，

，

，

解得，不符合题意，舍去，

综上所述，的值为或或或．

【解析】由矩形的性质得，，，由正方形的性质得，当点在线段上，则，所以，，由勾股定理得；

作的外接圆，延长交于点，连接、，则，，所