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第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题[目标导航]课标要求1.通过实例分析,理解平均变化率的含义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会求运动物体的平均速度.素养达成通过对函数平均变化率和运动物体的平均速度的学习,培养抽象概括和数学运算的核心素养.新知导学课堂探究平均变化率对于函数y=f(x),当自变量从x1变化到x2时,函数值从f(x1)变化到f(x2),则

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.通常用Δx表示x2-x1即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2.类似地:Δy=

,于是,平均变化率可表示为

.新知导学·素养养成f(x2)-f(x1)思考1:平均变化率和直线的两点式斜率有何关系?思考2:Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?名师点津(1)函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越“陡峭”.反之亦然.(2)函数的平均变化率一般情况下是不相同的.题型一课堂探究·素养提升求函数的平均变化率(3)若设x2=x1+Δx.分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义.方法技巧即时训练1-1:(1)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(

)(A)1 (B)-1(C)2 (D)-2答案:(1)B

(2)函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2,则t=

.

答案:(2)5[备用例2]函数f(x)=2x2+5在x=1附近的平均变化率

(填“大于”“小于”或“等于”)在x=3附近的平均变化率.

答案:小于题型二求运动物体的平均速度规范解答:(2)由(1),令-2-Δx=-3,解得Δx=1.………………8分(3)由(1),令-2-Δx>-5,解得Δx<3.即Δx的范围为(-∞,3).………10分方法技巧物体在t到t+Δt这段时间内的平均变化率即为物体在这段时间内的平均速度.[备用例3]甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是(

)(A)v甲>v乙 (B)v甲<v乙(C)v甲=v乙 (D)大小关系不确定解析:设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在[0,t0]上的平均变化率v甲=kAC,s2(t)在[0,t0]上的平均变化率v乙=kBC.因为kAC<kBC,所以v甲<v乙.故选B.题型三平均变化率的应用[例3]过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求当Δx=0.1时割线的斜率.方法技巧课堂达标1.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+Δx之间)的平均变化率是(

)(A)2+Δx (B)2-Δx(C)2 (D)(Δx)2+2CC3.物体的运动规律是s=s(t),物体在t至t+Δt这段时间内的平均速度是(

)C4.如图,水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积

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