2020-2021第二学期概率论题库答案

第一章答案

一题

1-5:DADBA6-10:ABCBC11-14:CDBD

二题

1.0.42.5/243.2/34.0.35.0.08

6.{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}

7.1/128.7/15

三题

1.对2.对3.错4.对5.对6.对7.对8.错

四题

1.（1）设至少有2片是安慰剂的事件为A

》,云山+，5:+—产+-^=---

或C；53003

(2)设前3次取得都是安慰剂的事件为B

P(B)=AX±X2_=A

15141391

2.设孩子得病的事件为A，母亲得病的事件为B，父亲得病的事件为

Co由题意得：

皈）=0.4,尽NA）=0.5,网。A3）=0.4

由乘法公式得

P（AB）=P（A）xA）=0.2,

「（ABC）=P（AB）xP（C|AB）=0.08

于是

P（ABC）=P（AB）-P（ABC）=0.12

3.设男性事件为A则女性事件为鼠患色盲事件为。

由题意得：

P（A）=P（1）=l/2

P（C|A）=0.05,P（C|A）=0.0025

于是，由全概率和贝叶斯公式得

P⑷凤平）

P⑷P（C|A）+P（N）P（CW）

-x0.05+-xO.0025

22

4.设第一种花籽发芽的事件为A,第二种花籽发芽的事件为B.由题意

得：

P（A）=0.8,P⑻=0.7

（1）尸（AB）=P（A）P（B）=0.56

（2）P（4DB）=P（4）+P（B）-P（M=0.94

（3）P（AB）+P（AB）=P（AuB）-P（AB）=0.38

5.设加工零件A的事件为A,加工零件B的事件为B,停工的事件为C

由题意得

P（A）W，P（叫

P（C|A）=0.3,P（C|B）=0.4

由全概率公式得：P（C）=尸⑷P（C|A）+P（6）P（C|B）=口

第二章答案

一、选择题

1-5:BCDBD6-10:DDBBB11-15:ACCCA

二、填空题

1.-2.-3.4.1-e-25.

35

0.2

6.0.34137.a-/38.4&(_二)9.F(-^)10.-

2x2x*26

三、判断题

1-5:XVXVV6-10:XVVXX

四、计算题

1.解:⑴因概率密度"X）在x<l,x>e处都等于零，即知

当x<l时，F(x)=f/(x)dx=fOdx=O;

J—XIJ-<o

当时,F(x)=[/(x)dx=1-[/(x)dx=l-fOdx=l;

J-<cJxJ.r

当"xKe时，F(x)==£xOdx+J；ldx=Inx.

0,x<1；

BPF(x)=<Inx,1<x<e；

1,x>e.

⑵尸{0<x<2}=J；，dx+J：—dx=In2.

x

2.解：因概率密度f(x)在x<0,x>4处都等于零，即知

当x<0时,尸(x)=「「(x)dx=「0dx=0;

J-COJ—00

当x24时，F(x)=['/(x)dx=l-「"/a)dx=l-「'0dx=l;

J-00JxJx

2

当04x<3时，F(x)=j/(x)dx=jOdx+Jo.dx=A；

=[0dx+P-dx=2x-—

当3Wx<4时，F(x)=ff(x)dx

J-oOJ-oOh64

0,x<0；

x2

，0<x<3；

12

即F(x)=<

„2

2x---3,3<x<4；

4

1,x>4.

3.解：x的二次方程4炉+4心+长+2=0有实根的充要条件是它的判别

式

△=(4K)2-4X4X(K+2)N0

即A=16(K+1)(K—2)20

解得A=KN2或K4—1

由假设K在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为

0cx<5

人(*)=“5'

0,其它

故这个二次方程有实根的概率为

p=P{(K22)D(K4-1)}=P{K22}+P{K4-1}

=[九(x)dx+J]fK(x)dx

r51,,3

=|-dx+|Odx=—.

J25J-o5

4.解：以X表示汽车站某天该时间段内汽车出事故的辆数，由题设

X~b(1000,0.0001),因〃=100()>100,且〃〃=0.1<10,故可利用泊松定理计

算P{XN2},即令；1=""=0.1,有

P{X=k}=C："(l—p)i

k\

从而P{XN2}=1-P{X=0}-P{X=1}81一-e~0」xO.l=0.0047.

五、综合题

解：X〜N(160,〃)，今要求

口12。<x42001=P{吐图<X<2。。/。}

aaa

=(D(—)-①(-竺)=20(—)-1>0.8,

(J(J(J

即要求①(竺)20.9=0)(1.282),

(T

r-士4040

应有一N1.282,cr<-------=31.2,

b1.282

即允许b最大为31.2.

第三章答案

一.选择题

1.D;2.A;3.B;4.B;5.A

二.填空题

1.1；2.0；3.0.5；4.1

6

三.判断题

1.对；2.对；3.错

四.计算题

1.解：X、Y所有可能的取值均为0,1,2；(X,Y)的分布律为

P{X=i.Y=j}=Gcg'J,i=0,1,2;J=0,1,2;Q<i+j<2

3

表格法表示为

X123

01/72/71/2

1

12/74/20

1

21/200

1

2.解：（1）F(x,y)

=［「/(x,y)dxdy

J-coJ-oc

x>O.y>0

其他

(l-e-2x)(l-ev),x>0,y>0,

即有F(x,y)=<

0,其他.

（2）将（x,y）看成是平面上随机点的坐标，即有{y«x}={（x,y）eG},

其中G为XS平面上直线y=x及其下方的部分.于是

P{y〈X}=P{(X,y)eG}JJ'2er2x+>)dxdy=g

yy

3.解：当X>0时,fx(x)=Je~dy=£e~dy

00

X

e~x,x>0

工3=9

0,其他

同理

人。)=」eydx=ye~y,y>0

0,其他

4.解：/(x)=[「〃y=2x,

X0<x<1,

0,其他

[)\dx=1-y,

0<y<l

Jy

/y(y)={['\dx=\+y,

-1<y<0

J_y

0,其他

因此，当y|<i时，

o,x取其他值

5.解：.解

\-e~xx>0,l-e-yy>0,

4(y)=E(oo,y)T

FY(X)=F(x,oo)=<

0,其他u，其他.

五、证明题

1.证明亿P)的概率密度f(x,y)在区域G{(X,Y)|04x4l,04y4x}

外取零值.有

0<才41,

其他

0<^<1,

其他

#(、rr(J「4.8y(2-x)dx,0<y<1,

/y(y)=./(x，y)dx=〈Jy

[0,其他

_2.4武3-4丫+/),0<y<1,

=[0.其他

因为f{x,y)Hfx(x)fY(y)

所以随机变量X与Y不相互独立.

2.证明：

X01Pj

06/26/23/5

00

16/22/22/5

00

Pi.3/52/51

因为p{x=o,y=o}=4mP{x=o}P{y=o}

所以随机变量X与Y不相互独立.

六、综合题

［解：⑴

l=fff(x,y)dxdy=ffex1ydxdy

J-00J-00JJ

x2<y^\

=c[x2(l-x4)t/x=—.

Jo21

得c=£

(2)

f{x,y)dy=<I苧必

1-00

0,其他

—x2y2=一x2(l-x4),-1<x<l

=<8-x28

0,其他

力―平年曲其『L

0<y<l

其他

(3)当0<yWl时,

(21/4)x2y=|x2y-3/2,-y[y<x<y[y,

电(刈历=(7/2)产

0,其他

2.解：随机变量关于X的边缘概率密度为

£12/^,0<x<l_f4x\0<x<l

/x(x)=「/(x，y)dy="

J-co其他一1o,其他

0,

故当0<xWl时，有

3y2

/(x,y)0<y<x<l

4ix(ylx)=F

fx(x)

0,其他

第四章答案

一.选择题

1-5:CDCBC6-10:DACCD11-15:ABCBD16-18:CCD

二.填空题

1.18.42.123.-4.-5.4

33

6.N(2,13)

7.458.2.39.410.-11.0.912.-1

9

三.判断题

1.V2.X3.X4.X5.X6.V

四.计算题

1.解：由题意知：F(%)=0,。(%)=9

从而，E(%2)=D(x)+(E(%))2=9

所以，E(y)=E(5x2)=5E(%2)=45

2.解:

rl5001

E（%）=七打⑺八=+隽°；高(%_

015002

3000)%d%=1500(min)

3.解：由题意知:

E(X)=1,E(Y)=0,D(X)=9,E(Y)=16,

Cov(X,Y)1__，vv.,

PXY=rr^==__=>Cov(X,Y)=-6.

yy1]1

(1)E(Z)=E(~+-)=-E(X)+-E(Y)=-,

32323

D(Z)=Z)(y+1)

="o(x)+；o(y)+；Gov(x,y)

=l+4-2=3

⑵Cov(X,Z)=Cov(X,—+^)

=gcov(X,X)+；Cov(X,Y)

=3-3=0

所以,Cov(X,Z)

PKZ_7D(X)7D(Z)

4.解：£1(%)=xf(x,y)dydx=+y)dydx=(

,+8「+8/2r217

E(y)=yf(x,y)dydx=y-(x+y)dydx=-

J-00J-ooJoJo86

r+oo「+cof2f214

E(xy)=Ijxyf(x,y^dydx=JJxy-(x+y)dydx=-

J—8J—8

1

Cov(xy)=E(xy)—E(x)E(y)=——

36

5.解：E(%)=窗匕xf(x,y}dydx=£xdydx=|

r+oo,+8

E(y)=Ijy)dydx=ydydx=0

J—81—8

xyf(x,y')dydx

Cov(xy')=E(xy)—E(%)E(y)=0

6,解：由题意知：(X,Y)的联合概率密度函数是

1,0<x<l,|y|<x,

f(x,y)=<

0,其他.

因此,关于X的边缘概率密度函数是

2x,0<x<l,

0,其他.

D(Z)=D(2X+1)=4[E(X2)-(E(X))2]

=4[匚(X心一(匚机(x)dx)-]

=町％法_(「2%2公)2]

=4』」)二0

299

第五章答案

1-3.BBC

1-L

二、1.1.-2.r一7^“2dt3・〃=3；£=2.4.1

4〃'-00而----------一

三、1.(X)

四、1.设第左个加数的舍入误差为X«(A=1,2,...,1500)

已知先在(-0.5,0.5)上服从均匀分布，掘(XJ=0,Q(XJ=五.

1500

记x=£x«,由中心极限定理，当"充分大时有近似公式

k=\

1500

X,-1500x0

P42=1__________________<x>«①(尤)

71500x^2

于是

p{x|>15}=1-p{x|<15}=1-p{-15<X<15}

-15X-015-()

-。<<

71500x^^271500x^2ViSOOx.JJ^

71500x^2后

»1-[0(1.342)-<D(-1.342)]

=2-2①(1.342)

=2(1-0.9099)

=0.1802

2.⑴由题可知E仅）=£（X）=2.2,D仅）=^^=号.

由中心极限定理，可认为5~N（2.2,L%）

=1-0

=1—0.8485

=0.1515

（2）一年52周，设各周事故发生数为X1,X2，...,X52.则需计算P<ZX*<100

底=1

即尸｛52又<1（X）］用中心极限定理可知所求概率为

P52X<IOOJ=PJX

=0)(-1.426)

=1—0.9230

=0.0770

3.记第i人的索赔金额为X,,则由已知条件知

E(Xj=280,£>(X*)=800\i=1,2,...,10000.

1000()

记索赔金额x=£xk,由中心极限定理，当〃充分大时有近似公式

k=l

1000()

X,-10000x280

----------<X*®①(x)

ViooooxVsoo7

于是

P{X>2700000}=1-P{X<2700000}

=<2700000

,*=i，

10000

y%,-10000x280

£入<2700000-10000x280

VlOOOOxTsOO7-VlOOOOxTsOO7

10000

-10000x2805

=l-p<I,__

V10000x780(7—4

al—(D(_L25)

=0)(125)

=0.8944

4.由题可知E(Xj=5,4(XJ=6,〃=50.a=1,2,..”50由中心极限定理知,

50

ZX«-50x5

随机变量Z/近似服从正态分布N(0,l)

,50x6

5050

故P0X火>300]=l-P<工看4300,

k=\J5=lJ

，50

VX,-50x5

k

D台/300-50x5

p\9___________<-------------------

V50x6750x6

=1-0.9981

=0.0019

5.⑴X~b(l00,0.2)即X服从二项分布，参数〃=100,p=0.2.

p{X=左}=。力)。2”(1-0.8)'<xu,k=0,1,2,…J00.

(2)E(X)=np=20,D(X)=np(n—p)=\6.

根据棣莫弗-拉普拉斯定理

P{14CO}=卓与双4以与生

V16V16V16