黑龙江省大庆市第四高三上学期第一次检测数学（理）试题2

2020届黑龙江省大庆市第四高三上学期第一次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则等于A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，故选B.【考点】1、集合的表示；2、集合的交集.2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数=∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设出夹角，根据•（+）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角.【详解】设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=，代入数据可得22+2×1×cosθ=3，解之可得cosθ=，故可得θ=.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题.4．命题“存在实数x,，使x>1”的否定是（）A．对任意实数x,都有x>1 B．不存在实数x，使x1C．对任意实数x,都有x1 D．存在实数x，使x1【答案】C【解析】【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．5．设是等差数列的前项和，且，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】设等差数列的公差为d,∵,∴a1+10d=13a1+d=13，解得a1=−17，d=3.则a9=−17+8×3=7.故选B.6．若偶函数在上的解析式为，则切点横坐标为1的切线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用函数是偶函数，得到时，函数的表达式，然后利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】解：设，则，则，因为是偶函数，所以时，，所以此时函数的导数，，当x=1时，，所以切点坐标为(1,0)，所以切线方程为，即.故选：A．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的基本应用，属于基础题.7．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【解析】试题分析：对于A，B选项，可能相交；对于C选项，可能异面，故选D.【考点】空间点线面的位置关系.8．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，化简整理得，又由三角函数的基本关系式，求得的值，再利用两角和的正弦函数的公式，即可化简求解，得到答案．【详解】由题意，可知，即，整理得，∵，∴，又由，解得，，∴，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正弦函数的公式，合理、准确运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．函数是上的奇函数，满足，当时，，则（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由可求出，再由是上的奇函数即可求出.【详解】，，是上的奇函数，.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题.10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】由三视图可知几何体是个三棱锥，可看作棱长的正方体的一部分，则此几何体的外接球就是正方体的外接球．

由正方体的外接球半径与正方体的棱长间的关系可得外接球半径．其表面积为．故本题选．

点睛：本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.要能够牢记常见几何体的三视图.11．已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.12．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选B．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题13．已知，，，则、、从小到大的顺序为_______<______<_______．【答案】cba【解析】根据对数函数和指数函数单调性可得到答案.【详解】由指数函数的性质和单调性有：,则由对数函数的单调性有：，所以故答案为：c，b，a【点睛】本题考查了根据指数函数和对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用，属于基础题.14．已知正方形边长为3，点是边上的动点，则的最大值为______．【答案】9【解析】根据平面向量数量积的几何意义可知在方向上的投影的最大值为3，进一步得到答案.【详解】根据平面向量数量积的几何意义得：当点在点时，值的最大，此时在方向上的投影为3，又所以的最大值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型．15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积）【答案】【解析】扇形半径扇形面积等于，弧田面积圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算，得．∴，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际少平方米．故答案为．16．已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得__________．【答案】【解析】由

①；得

②；①+②得：．所以．点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列（其中数列分别是等差数列和等比数列（公比）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.…①；2.等式两边同时乘以等比数列的公比，得到…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）三、解答题17．已知向量，，．（1）求的最小正周期；（2）求的增区间【答案】（1）；（2），【解析】（1）由，将的坐标代入可得出，从而得到答案.

（2）由函数的单调区间，可直接求出答案.【详解】由向量，，则所以所以的最小正周期（2）由（1）则所以的增区间为，【点睛】本题考查向量的运算，三角函数的化简运算和三角函数的周期和单调性，属于中档题.18．锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据边角互化得，再根据锐角三角形得；（2）先根据余弦定理得：，再根据两边平方得，进而得，故.【详解】解：（1）根据正弦定理边角互化得：，因为，，所以，由于锐角三角形中，，所以.（2）结合（1）由余弦定理得：，由于，故两边平方得：，所以有：，解得：.所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，余弦定理，三角形面积公式，考查运算能力，是中档题.19．如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）连接与相交于点，连结，证明即可；（2）根据条件证明平面即可；（3）在平面内过作直线，由，，建立空间坐标系，利用向量法求解二面角.【详解】（1）证明：连接与相交于点，连结，因为四边形为正方形，所以为中点，因为为棱中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）证明：因为平面，所以，因为四边形为正方形，所以，所以平面，平面所以平面平面；（3）在平面内过作直线，因为平面平面，所以平面，由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则有，所以，取，得，又是面的法向量所以，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明以及用向量法求二面角，属于综合题.20．已知数列的前项和为，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)先根据求出递推关系式，然后利用等比数列的定义进行证明；（2）先求出，然后利用裂项相消法求和.【详解】由可得，当时，当时，有，将以上两式相减.,整理得即，所以数列是等比数列．（2）由（1）可得所以，，，．【点睛】本题主要考查等比数列的证明及数列求和，等比数列证明一般是利用定义法，数列求和一般是根据通项公式的特点选择合适的方法求解，属于中档题.21．函数．（1）当时，判断函数零点个数；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）有一个零点；（2）．【解析】（1）当时，，求导得，分析导函数取得正负的区间，得原函数的单调性，从而得出函数的最值和图象趋势，可得答案；（2）原不等式等价于，，令，等价于，求导得．分和两种情况讨论所构造的函数的单调性，得出最值，从而求得的取值范围．【详解】（1）当时，，，所以时，，在上单调递增，时，，在单调递减，所以，所以函数有一个零点．（2）当时，等价于，，令，等价于，则．，，，在单调递增，因为，所以，不合题意；，，令即，其中，当，，在单调递减，因为，，符合题意．当，，设的两根是，，且，又，所以，所以时，单调递增，，不合题意．综上得，．【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点个数，根据不等式的恒成立求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求导，研究其导函数取得正负的区间，得出原函数的最值，属于较难题．22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的