函数的周期性

09函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以为周期的周期函数。2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若为的周期，则也是的周期(4)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(5)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即型(6)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(7)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为型”即型(8)若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(9)若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(10)若函数是奇函数，且关于点对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、对称，则是周期函数，是它的一个周期。（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型（11）分式递推型：即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是经典习题（提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一.选择题1.设是上的奇函数，，当时，，则（）A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.52.是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间内解的个数的最小值是（） A．5 B．4 C．3 D．23.已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）A.B.C.D.__________20.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则21.若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为22.设，记，则23．已知函数满足，则三.解答题24.设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值25.已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值.26.已知函数是定义为上的奇函数，且它的图像关于直线对称（1）求证：是周期为4的周期函数；（2）若，求时，函数的解析式。27.已知函数的定义域为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。28.设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．(1)试判断函数的奇偶性；(2)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.29.定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式参考答案（一）选择题1～5BBBCB6～10CABDD11～15ADDDC16～17CC4、特取13、特取16、由是定义在上的正值函数及得，，，所以，即的一个周期是6（二）填空题18、119、20、021、22、，可见，23、令得同理两式相加得，由此可得（三）解答题24、解：（1）；（2）因为函数是定义域上的奇函数，且，所以在中，令得25、解：由在中，令得在中，令得所以，而，所以又，所以，26、解：（1）（2）时，时，，从而又当时，，从而（）又因为也满足上式，（）27、解：（1）（2）时，时，，从而故又当时，从而由图象可知在上使的所有的个数为502。28、解:（1）由,从而知函数的周期为又而，故函数是非奇非偶函