新高一数学下期中试卷及答案

新高一数学下期中试卷及答案一、选择题1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．2．已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的2倍，则直线的方程为（）A． B．C． D．3．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A． B．C． D．4．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球O的半径为()A．3 B．1 C．2 D．45．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为，若四边形的面积最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．26．已知正四面体中，为棱的中点，设是（含边界）内的点，若点到平面，平面，平面的距离相等，则符合条件的点（）A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在7．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B． C．或1 D．2或19．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形10．在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．11．已知实数满足，那么的最小值为（）A． B． C． D．12．在长方体中，，点在线段上运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．15．已知直线与圆O：交于M，N两点，则线段MN中点G的轨迹方程为______．16．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l，m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．17．将正方形沿对角线折成直二面角，①与平面所成角的大小为②是等边三角形③与所成的角为④⑤二面角为则上面结论正确的为_______．18．已知圆，是轴上的动点，，分别切圆于，两点，则动弦的中点的轨迹方程为__________.19．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为，则圆台的侧面积为_____．20．若圆C：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为______．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点.（1）若与相交于点P，求直线AP的方程；（2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程.22．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，，，为的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．23．如图，直角梯形中，，等腰梯形中，，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．24．已知圆外有一点，过点作直线．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．25．如图，在中，，斜边，可以通过以直线为轴旋转得到，且平面平面．动点在斜边上．（1）求证：平面平面；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值．26．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D【解析】设直线的倾斜角为，则斜率，所以直线的倾斜角为，斜率，又经过点（1,0），所以直线方程为，即，选D.3．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.所以该陀螺模型的体积.故选：.【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径．利用截面的性质即可得到三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于的方程，即可求出，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为，球的半径．，，平面，三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．，．故选：C．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥的体积看成是两个小三棱锥和的体积和，属于中档题．5．D解析：D【解析】【分析】当且仅当垂直于时，四边形的面积最小，求出后可得最小面积，从而可求的值.【详解】圆方程为，圆心，半径为1．因为，为切线，且．当最小时，最小，此时最小且垂直于．又，，，故选D.【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.6．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面，平面，平面的距离相等的点的轨迹，与所在平面的公共部分即符合条件的点.【详解】在正四面体中，取正三角形中心，连接，根据正四面体的对称性，线段上任一点到平面，平面，平面的距离相等，到平面，平面，平面的距离相等的点都在所在直线上，与所在平面相交且交于内部，所以符合题意的点只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.7．A解析：A【解析】如图，分别取的中点，连，则，∴即为异面直线和所成的角（或其补角）．又由题意得，.设，则.又,∴为等边三角形，∴，∴异面直线AC与BD所成角为，其余弦值为．选A．点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．8．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．10．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．11．A解析：A【解析】由题意知，表示点到坐标原点的距离，又原点到直线的距离为，所以的距离的最小值为，故选A.12．B解析：B【解析】【分析】当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积．【详解】如图，当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，∴当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积：=====．故选:B．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故解析：④【解析】【详解】连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握解析：【解析】【分析】直线过定点，设，，代入方程利用点差法计算得到答案.【详解】直线过定点，设，，则，，两式相减得到，即.故，整理得到：.故答案为：.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.16．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m可以和面β成任意角度，①不正确；l⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.17．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC,DH⊥AC,则∠BHD为二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=∠BHD=-故二面角不是综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．18．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：【解析】【分析】转化条件点、、三点共线、即可得到点满足的条件，化简即可得解.【详解】由圆的方程可知圆心，半径为.设点，，点、、三点共线，可得，由相似可得即，联立消去并由图可知，可得.故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.19．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为，得到半径比，设出上底半径为，下底半径为，由因为母线与底面的夹角是，得到母线长为，高为.就可以根据轴截面的面积解出，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为，则半径比为所以设圆台的上底半径为，下底半径为，由于母线与底面的夹角是，所以母线长为，高为.由于轴截面的面积为，所以，解得.所以圆台的上底半径为，下底半径为.母线长为.所以圆台的侧面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.20．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆=关于直线=对称,所以圆心在直线=上,所以,即,又圆的半径为,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为=,所以切线长的最小值为=.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时.三、解答题21．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线的方程；（2）根据题意，设，则，利用点在直线上，得，，再利用到角公式得，即可得到的直线方程.【详解】（1）由题意，联立，解得，即两直线的交点，所以，直线的斜率，故直线的方程为：.（2）设点B的坐标为，则点，又点在直线上，即，解得，故，所以，直线的斜率，由到角公式得，，即，解得，所以BC所在直线方程为，化简得.【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.22．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出，，利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面，即可证明出；（2）延长，过点作延长线的垂线，垂足记为，说明直线与平面所成的角为，求出三边边长，利用余弦定理求出，即可求出直线与平面所成角的大小．【详解】（1）取的中点，连接、，为等边三角形，为的中点，，、分别为、的中点，，，，，平面，平面，；（2）延长，过点作延长线的垂线，垂足记为，平面，平面，，，，平面，所以，直线与平面所成的角为，由（2）知，，，.是边长为的等边三角形，.在中，，，由余弦定理得，.由余弦定理得，，.在中，由余弦定理得.，，因此，直线与平面所成角的大小为.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23．（1）见解析（2）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设，计算后可证OF//BE，从而由已知可证OF⊥平面ABCD，因此可以OA，OB，OF为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角．试题解析：（1）∵平面平面，，平面平面，又平面，∴平面；（2）设，∵四边形为等腰梯形，，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，∴平面，∴为与平面所成的角，∴，又∵，∴，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，∵平面，∴平面的法向量为，设平面的一个法向量为，由得，令得，，，∴二面角的余弦值为．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再