新高三数学上期中第一次模拟试卷带答案

新高三数学上期中第一次模拟试卷带答案一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则＝A． B． C． D．2．在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（）A．810 B．840 C．870 D．9003．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是()A． B． C． D．4．设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）.A． B． C． D．5．已知数列的首项，数列为等比数列，且．若，则（）A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A．4 B．5 C．6 D．4或57．已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（）．A．1 B．6 C．7 D．6或78．已知：，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于()A． B． C． D．11．如果等差数列中，++=12，那么++…+=（）A．14 B．21 C．28 D．3512．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2016(a4－1)＝1，(a2013－1)3＋2016·(a2013－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2016＝－2016，a2013>a4B．S2016＝2016，a2013>a4C．S2016＝－2016，a2013<a4D．S2016＝2016，a2013<a4二、填空题13．若数列满足，，数列的通项公式，则数列的前10项和___________14．已知数列、均为等差数列，且前n项和分别为和，若，则_____．15．已知等差数列的前n项有最大值，且，则当时n的最小值为________.16．设不等式组表示的平面区域为，平面区域与关于直线对称，对于任意的，则的最小值为__________．17．已知函数，，在时取到最小值，则实数的所有取值的集合为______.18．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．19．的内角的对边分别为，若，则________．20．若已知数列的前四项是、、、，则数列前项和为______.三、解答题21．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和.22．在等比数列中，公比为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.23．已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.24．在等比数列中,,且,又的等比中项为16.（1）求数列的通项公式:（2）设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对任意恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.25．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．26．设函数．(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】：先设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，得出通项公式，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。【详解】：设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，那么，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，所以，故选D【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。2．B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为，选B.3．C解析：C【解析】【分析】利用先求出，然后计算出结果.【详解】根据题意，当时，,,故当时，,数列是等比数列,则，故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.4．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数的几何意义表示直线的纵截距，即，（1）当时，直线的斜率为正，要使得的最大值、最小值分别在处取得，则直线的斜率不大于直线的斜率，即，.（2）当时，直线的斜率为负，易知最小值在处取得，要使得的最大值在处取得，则直线的斜率不小于直线的斜率，.（3）当时，显然满足题意.综上：.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】由已知条件推导出an=b1b2…bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21．【详解】数列{an}的首项a1=1，数列{bn}为等比数列，且，∴…．故选B．【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．6．B解析：B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．7．B解析：B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.8．A解析：A【解析】【分析】若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为,,,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.9．D解析：D【解析】【分析】由正弦定理化简，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，，结合正弦定理，化简可得，所以，则，所以，得或，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．10．C解析：C【解析】试题分析：由成等差数列可得，，即，也就是，所以等比数列的公比，从而，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前项和.11．C解析：C【解析】试题分析：等差数列中，，则考点：等差数列的前项和12．D解析：D【解析】∵(a4－1)3＋2016(a4－1)＝1，(a2013－1)3＋2016(a2013－1)＝－1，∴(a4－1)3＋2016(a4－1)＋(a2013－1)3＋2016(a2013－1)＝0，设a4－1＝m，a2013－1＝n，则m3＋2016m＋n3＋2016n＝0，化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2016)＝0，∵，∴m＋n＝a4－1＋a2013－1＝0，∴a4＋a2013＝2，∴.很明显a4－1>0，a2013－1<0，∴a4>1>a2013，本题选择D选项.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发解析：【解析】【分析】对于，当n=1，代入得-4,依次得发现规律，利用，求出.【详解】由，当n=1，代入得-4,依次得发现规律，利用，得b=-，，求出.故答案为【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题解析：【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案.【详解】因为数列、均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时n的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档解析：14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值，可知，由，知，，，所以，，，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n项和有最大值，可知，再由，知，，且，又，，，所以，，，当时n的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使的n的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC构成其中作出直线显然点A到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区解析：【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分，由三角形ABC构成，其中，作出直线，显然点A到直线的距离最近，由其几何意义知，区域内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：，所以区域内的点与区域内的点之间的最近距离为，即.点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数解析：【解析】【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得取离最近的正整数使达到最小，得到，，解得即可.【详解】∵，，∴，当时，恒成立，则为增函数，最小值为，不满足题意，当时，令，解得，当时，即，函数在区间上单调递减，当时，即，函数在区间上单调递增，∴当时，函数取最小值，又，∴应取离最近的正整数使达到最小，又由题意知，时取到最小值，∴或，∴且，即且，解得.故实数的所有取值的集合为.故答案为：.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.18．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得解析：【解析】【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．19．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sin解析：【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用解析：【解析】【分析】观察得到，再利用裂项相消法计算前项和得到答案.【详解】观察知.故数列的前项和.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.三、解答题21．（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，从而.由此能求出数列的通项公式；（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，求出，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差是.由已知，∴，∴，得

，∴数列的通项公式为.（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，.【点睛】本题考查数列的通项公式和前项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.22．（1）（2）【解析】【分析】（1）由公比结合等比数列的性质得出，，，再确定公比，即可得出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为公比为的等比数列中，所以由成等比数列得出，当且仅当，，时成立.此时公比，所以.（2）因为所以∴∴故数列的前项和【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.23．(1)；(2)Tn＝(n－1)·2n＋1.【解析】试题分析：（1）设数列的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意得解得d＝1，q＝2.所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝2·20＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①－②得：－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝(n－1)·2n＋1.24．（1）（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意可得，又，故，由此可得等比数列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，从而，求和可得，所以可得，故存在满足题意得，且的最小值为3．试题解析：（1）设等比数列的公比为，∵的等比中项为16．∴，又，，∴，∴．（2）由（1）得，∴数列为