题型专练04-新高考开放性试题（解析版）

新高考开放性试题题型专练041．在统计中，由一组样本数据，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是（）A．直线至少经过点，，中的一个点B．直线必经过点C．直线表示最接近与之间真实关系的一条直线D．，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小【答案】BCD【解析】理解回归直线的含义，逐项分析．A．直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A错；B．直线必过样本点中心即点，故B正确；C．直线是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；D．相关系数的绝对值越接近于，表示相关程度越大，越接近于，相关程度越小，故D正确．故选：BCD．2．已知A、B两点的坐标分别是，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A．当时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）【答案】ABD【解析】M的坐标为，直线AP的斜率为，由已知得，化简得点M的轨迹方程为，对A，当时，方程为，故A正确；对B，当，方程为，表示椭圆，故B正确；对C，当，方程为，不表示抛物线，故C错误；对D，，方程为，表示双曲线线，故D正确；故选：ABD．3．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第三天走了四十八里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列．所以，解得．，所以A正确，由，则，又，所以B正确．，而，所以C不正确．，则后3天走的路程为而且，所以D正确．故选：ABD4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断．以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则而，所以A正确．=0，所以B正确．向量，显然为等边三角形，则．所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则C不正确又，则，所以，所以D不正确．故选：AB5．若α，β为锐角，且，则（1+tanα）（1+tanβ）＝；（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）＝．【答案】2，223【解析】∵，∴tan（α+β）＝＝1，故tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，则（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2；由上式可得，（1+tan1°）（1+tan44°）＝（1+tan2°）（1+tan43°）＝…（1+tan22°）（1+tan23°）＝（1+tan45°）＝2，所以（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）＝223．故答案为：2，2236．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值等于；的最小值等于．【答案】9，3【解析】因为正数x，y满足x+y＝1，则＝（）（x+y）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且x+y＝1即x＝，y＝时取等号，此时取得最小值9，＝＝，当且仅当且x+y＝1即x＝y＝时取等号，此时取得最小值3．故答案为：9，3．7．（2020•北京模拟）已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，___．是否存在正整数k，使得Sk＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从①q＝2，②q=12，③q＝﹣【解析】选择①．∵a3＝12，∴a1×22＝12，解得a1＝3．∴Sn=3（2n-1）2-1=3（2n﹣1），∴3（2k∴存在正整数k，使得Sk＞2020，k的最小值为10．8．给定数列{An}，若对任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{An}中的项，则称{An}为“H数列”．设数列{an}的前n项和为Sn．（1）请写出一个数列{an}的通项公式，此时数列{an}是“H数列”；（2）设{an}既是等差数列又是“H数列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差d的所有可能值；【解析】如：an＝2n．对任意m，n∈N*且m≠n，an+am＝2（n+m）＝am+n∈{an}．因此数列{an}为“H数列”．（2）设{an}既是等差数列又是“H数列”，且a1＝6，a2∈N*，a2＞6，an＝6+（n﹣1）d，6+d＞6，即d＞0．且d∈N*，a1+a2＝6+6+d＝12+d，则a1+a2＝ak，若a1+a2＝a3＝6+2d，则d＝6．an＝6n，{an}是“H数列”，若a1+a2＝a4＝6+3d，则d＝3．an＝3n+3，{an}是“H数列”，若a1+a2＝a5＝6+4d，则d＝2．an＝2n+4，{an}是“H数列”，若a1+a2＝a6＝6+5d，则d＝∉N*，舍去．k≥6时，{an}不是“H数列”．公差d的所有可能值为：2，3，6．9．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，，__________，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①解法一：因为，所以．由平方关系，解得或因为，所以．因为，由平方关系，解得．因为，所以，所以，所以．解法二：因为，所以点在角的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件②因为，所以，因为，所以，所以．由平方关系，解得．因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件③因为，所以．由平方关系，得．因为，所以．以下同方案一的解法一．10．在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间．【解析】函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，．方案一：选条件①为奇函数，，解得：，．（1），，；（2）由，，得，，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案二：选条件②，，，或，，（1），，；（2）由，，得，，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，；方案三：选条件③是函数的一个零点，，，．（1），，；（2）由，，得，令，得，令，得．函数在上的单调递增区间为，11．（2020•临朐县模拟）已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足CEEA=12，D为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B的平面角为90°，连接A1B，A1（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵正△ABC的边长为3，且ADDB=CEEA=12，∴AD△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE=1∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE．∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE，又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，∴A1D⊥平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由（1）得A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，∴A1D⊥PH．∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD．由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H＝60°．设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PBcos60°=x2，PH＝PBsin60°=3在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，∴A1H=x在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2-1由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2-12x）2＝（12解得x=52，满足0≤x∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=512．（2020•天河区二模）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次：②混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）：（ii）若p=1参考数据：ln2≈0．69，ln3≈1．10，ln5≈1．61，e≈2．72，e2≈7．39，e3≈20．09．【解析】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则P（A）=A（2）（i）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，计算P（所以E（由E（ξ1）＝E（ξ2），得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，所以p=1-（1k）1k（（ii）p=1-e-1设f（x）=lnx当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，f（所以k的最大值为8；所以k∈[2，8]时，混合检验方式好，k∈[9，+∞）时，逐份检验方式好；13．（2020•石家庄一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），点（1，32）在椭圆C上，点A（﹣3（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（t，0）使得PM→•PN→为定值？如果存在，求出点【解析】（1）由题意可得上顶点B（0，b），AB⊥BF2，所以：1a2+94b2=1，AB→⋅BF2→=0，即（3c，b）•（c，﹣b）＝0即b2解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：x24（2）由（1）可得右焦点F2的坐标（1，0），假设存在P（t，0）i）当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：x＝my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程x=my+13x2+4y2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴y1∴x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1因为PM→•PN→=（x1﹣t，y1）•（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=4-12m24+3m2-8t4+3要使PM→•PN→为定值，则t2-41=4ii）当直线MN的斜率为0时，则M（﹣2，0），N（2，0），P为（118，0），则PM→•PN→=（﹣2-118，0）•（2-11综上所述：所以存在P（118，0），使PM→•14．（2020•江苏一模）已知函数f（x）=（（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【解析】（1）f'因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为f'所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则g'①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当x∈（0，-1a）时，g'（当x∈（-1a，+∞）时，g'（所以x=-1因为g（x）存在两个零点，所以ln（-1a）-2＞0因为﹣e﹣2＜a＜0，所以-1因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在（0，-1a）因为﹣e﹣2＜a＜0，所以（-因为g[（-1a）2]=ln（-1a）2+1因为y'=2-tt＜0，所以y