湖南省永州市杨村甸乡中学高三数学文期末试题含解析

湖南省永州市杨村甸乡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若，且，则=（

）A.1

B.2

C.

D.3参考答案：B2.已知一次函数的图象过点（其中），则的最小值是（

）A.1

B.8

C.9

D.16参考答案：B3.已知，且，则A、B、－7C、D、7参考答案：D因为，且，所以，于是．故．4.设记“平面区域夹在直线与之间的部分的面积”为，则函数的图象的大致形状为

参考答案：C略5.如果点在以点为焦点的抛物线上，则（

）． A． B． C． D．参考答案：C抛物线的准线方程为：，∵到焦点的距离等于到准线的距离，点，∴到焦点的距离．故选．6.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：C考点：柱，锥，台，球的结构特征空间几何体的三视图与直观图试题解析：由三视图知：此四面体的外接球即棱长为1的正方体的外接球，所以所以球的体积为：故答案为：C7.已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为(

)

A．[，+∞)

B．(0，+∞)

C．[0，+∞)

D．(，+∞)参考答案：B略8.设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为

（

）A．

B．2 C．

D．参考答案：C9.在区间D上，若函数y=f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数y=f（x）为区间D上的“弱增”函数．则下列函数中，在区间[1，2]上不是“弱增”函数的为（）A． B． C．g（x）=x2+1 D．g（x）=x2+4参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据“弱增”函数的定义，判断g（x）在[1，2]上的单调性，再判断在[1，2]上的单调性，而判断单调性可通过单调性的定义，以及的单调性，和根据导数符号的方法判断即可．【解答】解：A．g（x）=在[1，2]上为增函数；∴在[1，2]上为减函数；∴g（x）在[1，2]上为“弱增”函数；B.在[1，2]上为增函数；，x增大时，增大，减小，∴增大；∴减小；∴在[1，2]上为减函数；∴g（x）在[1，2]上为“弱增”函数；C．g（x）=x2+1在[1，2]上为增函数；在[1，2]上为增函数；∴g（x）在区间[1，2]上不是“弱增”函数，即该选项正确；D．g（x）=x2+4在[1，2]上为增函数；，；∵x∈[1，2]；∴y′≤0；∴在[1，2]上单调递减；∴g（x）在[1，2]上为“弱增”函数．故选C．【点评】考查对“弱增”函数定义的理解，函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，要熟悉函数的单调性．10.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式bx2－5x＋a＞0的解集为()A．{x|－＜x＜}

B．{x|x＜－或x＞}C．{x|－3＜x＜2}

D．{x|x＜－3或x＞2}参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的实数解为________参考答案：12.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为

．参考答案：6解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，.

13.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围_____________.参考答案：14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是_____.参考答案：

【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15.下列5个判断：①若在上增函数，则；②函数只有两个零点；③函数的值域是；④函数的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。其中正确命题的序号____________.参考答案：略16.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

名.参考答案：1017.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在[3,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围.参考答案：解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0，0<x<2f′(x)<0有x<0或x>2,故a=0时在处取得极值f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.

……6分(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥.故a的取值范围为[,+∞).

……12分

19.如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，O为中点。（Ⅰ）求证：平面

；（Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：如图，连接，

…………..1分则四边形为正方形，

…………..2分，且

故四边形为平行四边形，…………..3分，

…………..4分又平面，平面

……..5分平面

…………..6分（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，…………..8分，……….9分设为平面的一个法向量，由，得，令，则………..10分又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，………..11分则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为………..12分20.已知数列{an}中，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列{an}的前2n项和，并求满足的所有正整数n.参考答案：（1）设，因为，所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）得，即，由，得，所以，，显然当时，单调递减，又当时，，当时，，所以当时，；，同理，当且仅当时，，综上，满足的所有正整数为和.21.砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52

32

41

72

43

35

45

61

53

44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44

56

38

61

72

57

64

71

58

62（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为，乙地区调查数据的平均数为，推出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高．（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望．【解答】解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为，；设乙地区调查数据的平均数为，．由以上计算结果可得，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：X的分布列为…

X0123P∵…【点评】本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．22.18．（本小题满分12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任