矩形菱形正方形 全国一等奖

第五章四边形第五章四边形

第24讲矩形、菱形、正方形1.(2020·盐城)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC的中点，AC＝6，BD＝8.则线段OH的长为()A.

B.C.3D.5B2.(2020·天津)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A.(6，3)B.(3，6)C.(0，6)D.(6，6)D3.(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长是()A.2.2

cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cmD4.(2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A.OA＝OC，OB＝ODB.当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形B5.(2020·菏泽)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分C6.(2020·湖州)四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A.1B.C.

D.B7.(2020·嘉兴)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：

_________________________，使□ABCD是菱形.AD＝DC(答案不唯一)8.(2020·营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为_____.49.(2020·苏州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是___________.10.如图，在矩形ABCD中，AB∶BC＝3∶5，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与边AD交于点E，则的值为_________.411.(2020·常州)如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG＝________.12.(2020·湘西)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE；证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°.在△BAE和△CDE中，AE＝DE，(∠EAB＝∴△BAE≌△CDE(SAS)．(2)求∠AEB的度数.解：∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∵∠EAB＝150°，∴∠ABE＝2(1)×(180°－150°)＝15°.13.(2020·连云港)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.(1)求证：四边形BNDM是菱形；证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD.在△MOD和△NOB中，OD＝OB，(∠MOD＝∴△MOD≌△NOB(AAS)，∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形．∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形．(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝2(1)BD＝12，OM＝2(1)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理，得BM＝∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52.14.(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长为()A.13B.10C.12D.5B15.(2020·泰安)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个D16.(2020·菏泽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_________.17.(2019·青岛)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD＝4

cm，则CF的长为______________cm.18.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以点A为圆心，任意长为半径画弧交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，交边BC于点E，则△AEC的面积为__________.1519.如图，已知AB＝2a，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边，在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE.点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为________.20.(2019·天门)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF.过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF.求证：(1)AE⊥BF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF.(2)四边形BEGF是平行四边形.证明：延长AB至点P，使BP＝BE.连接EP，则AP＝CE，∠P＝45°.∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG.在△APE和△ECG中，∴△APE≌ECG(ASA)，∴AE＝EG.∵AE＝BF，∴EG＝BF.∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．21.(2020·黑龙江)以Rt△ABC的两边AB，AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于点M，延长MA交EG于点N.(1)如图1，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；(2)如图2，∠BAC＝90°；如图3，∠BAC≠90°，(1)中的结论是否成立？若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.解：(1)中的结论成立．选择图2证明如下：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P，过点G作GQ⊥AM于点Q.∵四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP＋∠BAM＝180°－90°＝90°.∵