专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式-（新高考）数学高频考点重点题型

专题18诱导公式与同角三角函数基本关系式一、核心体系诱导公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(第一类\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)的偶数倍))：－α、π±α,第二类\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)的奇数倍))：\f(π,2)±α、\f(3π,2)±α))同角关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方关系：sin2α＋cos2α＝1,商数关系：\f(sinα,cosα)＝tanα))二、关键能力1.理解同角三角函数的基本关系式．eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2022年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.四、高频考点 1．熟悉三角函数的诱导公式，并完成下表（☆☆☆）组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．2．运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤（☆☆☆）(1)把求任意角的三角函数值化为求0°~360°角的三角函数值；(2)把求0°~360°角的三角函数值化为求0°~90°角的三角函数值；(3)求0°~90°角的三角函数值．3.同角三角函数的基本关系（☆☆☆）(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)．4．常用的等价变形sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；))eq\f(cosα,1－sinα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)五、重点题型考点一、诱导公式例1-1.已知α是第三象限角，且f(α)＝eq\f(sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(α＋π),tan(－α－π)·sin(－α－π))．(1)若cos(α−3π2）＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．注：（统一角：小角或已知角）解析：f(α)＝eq\f(sinα·cosα·tanα,(－tanα)·sinα)＝－cosα．(1)∵cos(α−3π2）＝－sinα，∴sinα＝－eq\f(1,5)∵α是第三象限的角，∴cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(6),5)．∴f(α)＝－cosα＝eq\r(6)．f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－eq\f(1,2)．例1-2.已知cos(75°+α)=eq\f(1,3)，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．注：（含相同变量的复合角之间关系）解析：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=．训练题组一（统一角：小角或已知角）1.设f(α)＝eq\f(2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，则f(7π6)＝____.解析：∵f(α)＝eq\f(（－2sinα）（－cosα）＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα（1＋2sinα）,sinα（1＋2sinα）)＝eq\f(1,tanα)，∴f(7π6)＝eq\f(1,tan\f(7,6)π)＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).训练题组二（含相同变量的复合角之间关系）1.已知，求的值．解析：因为，，所以原式===．考点二、同角三角函数基本关系式例2-1(1).若，为钝角，则的值为_____(用表示).【答案】(亦可)注：（知一求二）【解析】由题知，再根据得，进而得.【详解】因为，为钝角，所以，又因为，所以，即，所以，故答案为：例2-1(2).（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A注：（知一求二）【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.例2-2.已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.【答案】3注：（弦切互化）【分析】将=2左端分子分母同除以，得，解得，.故答案为：；例2-3.已知sinα+cosα=15，α∈A．724B．−724C．−【答案】B注：（sinα，cosα【方法一】由题意知，sinα+cosα=∴sinα+cosα2∴2sinα⋅cosα=−2425∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cos∴sinα−cosα=由①②解得sinα=45∴tanα=【方法二】tan例2-4.在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．（1）求的值；（2）化简并求的值．【答案】（1）；（2）.注：（平方与根式处理）【解析】（1）由已知条件可知求得，，已知式变形为，代入可得答案；（2）由已知得，，代入可得答案.解：（1）由已知条件可知：，又，所以，，，（2），又，所以，从而；.对点训练一（知一求二）1.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（）AB.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.2.【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，且为锐角，，故正确，，故正确，，故错误，，故错误.故选：.对点训练二（弦切互化）1.(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)＝()A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(6,5)答案:C解析:法一(通解)：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(2,\r(5))，,cosθ＝－\f(1,\r(5))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(2,\r(5))，,cosθ＝\f(1,\r(5))，))所以eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθsinθ＋cosθ2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝eq\f(4,5)－eq\f(2,5)＝eq\f(2,5)．故选C．法二(优解)：因为tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθsinθ＋cosθ2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5)．故选C．2.若，则________.【答案】【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为，所以.故答案为：对点训练三（sinα，cos1.已知，且，则________．【答案】【解析】已知等式平方求得，利用可解得，注意由已知条件判断出，从而得正确结论．【详解】因为，所以，，又，所以，所以，即．所以，解得．又，，而，所以．所以．故答案为：．2.已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】切化弦可得，将利用平方和为1转化为，代入计算可得结果.【详解】解：，则..故选：D.对点训练四（平方与根式处理）1.（2021·河南高一期中（文））（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；（2）计算的值．【答案】（1）（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到，，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，，．原式；（2）原式．2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B巩固训练一、单项选择题1．sin1050°＝()A.eq\f(1,2)B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.－eq\f(\r(3),2)解析：选B.sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).2．(2022·河北冀州中学期末)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，则cos(π＋α)＝()A．－eq\f(2,5) B.－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：选B.因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5)，所以cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(1,5).3．已知tanθ＝2，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（2π＋θ）)＝()A．2 B.－2C.0 D.eq\f(2,3)解析：选B.eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（2π＋θ）)＝eq\f(cosθ＋cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.4．(2022·天津西青区模拟)已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)等于()A．2B.eq\f(1,2)C.－2 D.－eq\f(1,2)解析：选A.由已知得1＋2sinαcosα＝2，所以sinαcosα＝eq\f(1,2)，所以tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.5．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为()A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)答案：B解析：sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).6．若，，则___________.【答案】【解析】根据三角函数的诱导公式，求得，结合，进而求得的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，又因为，所以.故答案为：.7．当时，函数的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得所以，当时，，设所以，所以当时，函数取最大值.所以的最大值为-4．故答案为：8．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5) C．－2 D．2答案：A解析：由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).二、多项选择题9．在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，n))(n>0)，将角α的终边按逆时针方向旋转eq\f(π,2)后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为()A．tanα＝eq\f(3,4)B.sinβ＝eq\f(4,5)C．tanβ＝eq\f(4,3) D.Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))解析：选ABD.由题意知cosα＝eq\f(4,5)，角α的终边在第一象限，则n＝sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，A正确．由题意知β＝α＋eq\f(π,2)，所以cosβ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝－eq\f(3,5)，sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝eq\f(4,5)，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝－eq\f(4,3)，即Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，所以可得B，D正确，C错误．10．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC解析：选ABC.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确．sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．三、填空题11．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝eq\f(12,25)，且0＜α＜eq\f(π,4)，则sinα＝________，cosα＝________．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝eq\f(12,25).因为0＜α＜eq\f(π,4)，所以0＜sinα＜cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).答案：eq\f(3,5)eq\f(4,5)12．化简eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),cos40°－\r(1－sin250°))＝________．解析：原式＝eq\f(\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°),cos40°－cos50°)＝eq\f(|sin40°－cos40°|,sin50°－sin40°)＝eq\f(|sin40°－sin50°|,sin50°－sin40°)＝eq\f(sin50°－sin40°,sin50°－sin40°)＝1.答案：113．若tanα＝2，则eq\f(2sin2α＋1,sin2α)的值为．答案：eq\f(13,4)解析：法一：(切化弦的思想)：因为tanα＝2，所以sinα＝2cosα，cosα＝eq\f(1,2)sinα．又因为sin2α＋cos2α＝1，所以解得sin2α＝eq\f(4,5)．所以eq\f(2sin2α＋1,sin2α)＝eq\f(2sin2α＋1,2sinαcosα)＝eq\f(2×\f(4,5)＋1,\f(4,5))＝eq\f(13,4)．法二：(弦化切的思想)因为eq\f(2sin2α＋1,sin2α)＝eq\f(3sin2α＋cos2α,2sinαcosα)＝eq\f(3tan2α＋1,2tanα)＝eq\f(3×22＋1,2×2)＝eq\f(13,4)．14．已知α为第二象限角，则cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinαeq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________．答案：0解析：原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式等于0．二、解答题15．(1)求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；(2)已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1．解析：(1)tan2αsin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，则原等式得证．(2)因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，从而2cos2α=cos2β，于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证．16．在ΔABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求ΔABC的三个内角．解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\a