2021-2022学年成都市教院高一数学下学期期中考试卷附答案解析

2021-2022学年成都市教院高一数学下学期期中考试卷

满分：150分时间：120分钟

一、单选题

1.cos75cos15-sin75sinl5=()

A.0B.gC.-1D.1

2.已知数列｛*的通项公式为%=3"T,那么9是它的（）

A.第10项B.第4项C.第3项D.第2项

3.若sin(：—x)=—=，则cos(二+x)=()

454

A.-1B.一疸C.1D.叵

5555

4.在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,b=2,A=120,AMC的面积为百，则AMC外接

圆的半径为（）

A,也B.2C.2GD.4

5.在AABC中，D为BC上一点、,且%>=2DC,则亚=（）

A.AB+-ACB.AB--ACC.—48H—ACJD.——AC

333333

6.已知｛〃,,｝是公差为1的等差数列，s”为的前"项和，若$8=4邑，则4。=

17口19

A•万B-TC.10D.12

7.数列｛4｝中，若4=2,4用；2,则％=（）

A.-B.-C.\D.-

8774

8.AABC的内角A,B,C的对边分别为<b,c,已知其+2c=2Lcos4,则角6的大小为（)

A.JB.-c.2D.2

6336

9.如图，测量河对岸的塔高48时可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点，与〃测得/诙15°，

NBDe30：C930m,并在点。测得塔顶｛的仰角为60°,则塔高45等于（）

D

A.55/6mB.156mC.55/2m1).165/601

10.在A43C中，角4B,。的对边分别为a,b,c,b2-c2=2a2,cosB=-：,则一=()

4a

A.1B.2C.3D.4

11.在△/%中，角A,B,C所对的边长分别为a,"c,且满足csinA=6acosC,则sinA+sinB的最大值

是

A.1B.夜C.6D.3

12.己知函数/(x)=2^sin6-2)+2c吟函数g。)=/⑶-加在区间［0,4^］上恰有三个不同的零点

Xl,x2,x),则/(%+々+三)=()

A.-1B.-百C.1D.2

二、填空题

13.已知向量£与各为一组基底，若而+春与£+2族平行，则实数机=.

14.已知cos9=-g,。€(5，兀)，贝！|cos'=.

15.在数列｛a〃｝中，4=2,2an+i-lan=1,则的值为.

16.已知平面单位向量q,e,,满足12q-e2|，设£=q+e?,b=2et+e2,向量2与］的夹角为，，

则sin?0的最大值为.

三、解答题

17.已知向量1=向量5=卜6,-1).

(1)求2和5的夹角，；

(2)若a，(a+4),求实数几的值.

18.已知5“是等差数列｛4｝的前n项和，且S,,=-2〃2+i5〃.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)〃为何值时，S“取得最大值并求其最大值.

19.已知AABC的角4、8、C所对的边分别是a、Ac,设向量用=3,。)，万=(sinB,sinA),万=(人-2,。-2).

(1)若所〃为，求证：AABC为等腰三角形；

TT

(2)若海，「，边长。=2,角。=§，求的面积

2

20.已知向量/=(百cosx,—1),乃=(sinx,cos").

(1)当X=?时，求赢方的值；

(2)若xw0,—,且玩.元=2^—■!,求cos2x的值.

L4J32

21.如图，在“ABC中，产,。为边5c上的点，E为仞上的点，旦AE=8,AC=4M"吟.

(1)求CE的长；

(2)若CZ)=5,求cos/D4B的直

22.已知函数/(x)=；cos2x+sinx-(l-2sin2'|),其中xeR.

(1)求使得的取值范围；

(2)AMC为锐角三角形，。为其外心，BC=2,f(---)=^-,令”痛.死，求实数/的取值范围.

284

3

【答案】

1.A

【分析】逆用两角和的余弦公式即可求出.

【详解】cos75cos150-sin75sin15=cos（75+15）=cos90'=0.

故选：A.

2.C

【分析】由己知条件，根据通项公式求出“即可得答案.

【详解】解：因为数列｛q｝的通项公式为%=3"T,令3"-'=9,解得鹿=3,

所以9是数列｛%｝的第3项，故选：C.

3.A

【分析】依题意cos（?+,=cosx）利用诱导公式计算可得;

【详解】解：因为s呜7）7,

4.B

【分析】由题意，根据三角形的面积公式求出C的值，再根据余弦定理求出。的值，最后由正弦定理即

可求解.

【详解】解：因为在AABC中，h=2,A=no,A43C的面积为G，

所以』bcsinA=Lx2xcxsinl20=G,解得c=2,

22

所以由余弦定理有/=加+。2-2儿cosA=2?+2?-2x2x2x15=12,所以“=26，

所以由正弦定理有一乙=2月=2R（R为AABC外接圆的半径），解得R=2,

sinAsin120

所以^ABC外接圆的半径为2.

故选：B.

2—1—1—.?—•

5.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解.

【详解】解：因为在AABC中，D为BC上一点,且8£>=2£>C,

4

所以而=而+而=丽+§]=而+§国-砌=g通+3记

故选：D.

6.B

119

【详解】试题分析：由58=45,得8q+28d=4(4q+6d),解得4=夕4。=4+9=].

【解析】等差数列.

7.C

I11?

【分析】由已知条件进行变形可得-------=-,结合等差数列的定义，从而可求出〃“=«,进而可求的

«„+1%2n

的值.

,2a,,11111111

【详解】解：因为4M=r7,所以一=不+一，即-------=彳，又一=,

6+2«„+12ana,l+lan2%2

则[-54是以J为首项，£为公差的等差数列，即,=；+；("-1)=5,则q=2,所以。7=鼻

[an]22an1ZZn7

故选:C.

【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了数列通项的求解.本题的关键是对已知条件进行变形得出通

项公式.

8.D

【分析】由正弦定理进行边角互化可得GsinA+2sinC=2sinBcosA,结合三角形的内角和定理和两角

和的正弦公式可求出cos8=-立，进而可求出角8的大小.

2

【详解】解：由正弦定理可知，6sinA+2sinC=2sinBcosA,因为sinC=sin(A+3),

所以>/5sinA+2sin(A+8)=2sin8cosA,即GsinA+2sin4cosB=0,解得cosB=-日，则口=葛.

故选:D.

【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化.

9.D

【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC=15及，再在RtaABC中，即求A8.

【详解】在△况》中，ZCB£>=180-15-30=135,

由正弦定理得一%=一?不，解得5c=150加)，

sin30sin135

在Rt△力比中，A3=3CtanNAC8=15五x0=15#(m).故选：D

10.B

【分析】由余弦定理求出答案.

5

【详解】由"一/=2/得：COSBJ+C"解得：£=2

lac2ac2c4a

故选：B

11.C

【详解】VcsinA=73acosC,・,•由正弦定理可得sinCsinA二括sinAcosC,tanC=V3,

即C=2,则A+B=红，.-.B=—-A,0<A<—,

3333

sinA+sinB=sinA+sin(--A)=sinA+—cosA+—sinA=-sinA+cosA=-^sin(A+—),

322226

・•八》.27r.7tK54

・0VA<—，・・-V4At<—，

3666

・•・当A+£=工时，sinA+sinB取得最大值G,故选C

62

12.A

【分析】先化简函数/(X),作出了⑴的大致图象，数形结合得到不赴，工3,再计算/(X+X2+X3)即可.

X兀x兀

【详解】函数.f(x)=26sin+2cos'=>/3sin--3cos—4-2cos—=\/3sin--cos—=2sin

2~32222222~6

最小正周期为7=4兀，故xe［。,4万］时大致图象如下:

函数g(x)=/(x)-机在区间［0,4划上恰有三个不同的零点4即函数y=/(x),xe［0,4^］,与直线

X71

加有三个不同的交点，不妨设办＜工＜刍，由图象可知，三个的零点，，％满足〃

y=2XX23z=2sin2~6

X71

即sin

2~62

x兀「兀11兀］Xn兀-7兀-11兀口口初，日八8兀,

而彳,则％_2=一工或二或丁，即解得玉=0/2=工-，工3=4兀，

2o|_ooJ266663

、/八8兀)(20K.(10K兀).19K.7K..n.

故/(%+%2+%3)=/I+1=/I—^―1=2sinl———I=2sin-^-=2sin—=-2sm—=-1.

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程的根)的相关问题常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根；

6

(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

13.2

【分析】根据基底的定义及共线向量的充要条件即可求解.

【详解】因为向量2与分为一组基底，所以公与分不共线.

又因为忌+4^与£+2^平行，

所以痴+4)="卜+2q，/1€口，即痴+4^=痛+2/，

因为Z与B不共线，所以解得，,=2,2=2,所以实数机的值为2.故答案为：2.

[24=4

14.叵

10

【分析】利用二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为cos，=—%所以cose=2cos2：-lY，解得*=噜或8$5=-等，

因为仔所以9住』,所以cos《=皑故答案为:叵

U)2U1)21010

15.52

【分析】由等差数列的性质求解

【详解】由题意得。的=4+!，故他”｝是首项为2,公差为;的等差数列，

《01=4+1001=52.故答案为：52

16.—

28

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，化简可得6—/—2^1,再根据向量夹角公式求cos?〃函数关

系式，根据函数单调性求最值，即可得sin?。的最大值.

【详解】解：由题意，•••|2或一

(2q—1)—3,即4—4q•6+1K3,<?(,»

cos2e_(£而_(3+3,£)-_9(1+冢引_9(4+41动

a(2+2q4砧+狷.q)2(5+4e]..)8(5+4,.g)

(\

9(t1L9,127

=-1----------一一>-1---------------=—,

7

____111

，当4q=7时，cos*取得最小值，此时siif。取得最大值为前.故答案为：—.

2.2.o2o

17.(1)—；(2)毡.

63

【解析】(1)根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，即可得出结果；

(2)根据向量垂直，由(1)结合向量数量积的运算法则，列出等式求解，即可得出结果.

【详解】(1)因为向量2=(1,G),向量5

则同=717^=2,W=^7T=2,a.5=ix(-G)+百X(-I)=-2G,则3°=温=^^=一告，

又由则。=?：

6

(2)若&_1_3+方)，^\a<a+Ah)=a2+Aa^=4-2y/3xA=0,解可得2=殛.

3

18.(1)«„=17-4n；(2)n=4时取得最大值28.

【分析】(1)利用公式°*、，进行求解；

〔S,-S“T("22,"€N)

(2)对，,=-2〃2+15〃进行配方，然后结合由〃©N*，可以求出S“的最大值以及此时"的值.

【详解】(1)由题意可知：S--2/+15”，当〃=1时，«,=5,=-2+15=13,

当时，a„=5„-5„_,=-2n2+15«-[-2(n-1)2+15(H-1)]=17-4;?,

当〃=1时，显然成立，...数列｛可｝的通项公式4=17-4〃；

1s225

(2)S=­27?"+15n=—2(〃---)-H----,

“48

由“eN*,则〃=4时，S“取得最大值28,

.•.当"为4时，S,取得最大值，最大值28.

【点睛】本题考查了已知S“求4,,以及二次函数的最值问题，根据〃的取值范围求最大值是解题的关键.

19.(1)证明见解析；(2)

【分析】(1)用坐标表示谕〃花，利用正弦定理，化角为边，即得证；

(2)用坐标表示成,万，利用角C的余弦定理可得而=4,再利用面积公式即得解

【详解】(1)因为玩〃心所以asinA=/?sin5,BPa—=/>—,

2R2R

其中R是△回(?的外接圆半径，所以。=〃，所以△ABC为等腰三角形.

(2)因为阳，万，所以a。—2)+b(a—2)=0.a+b=ab

由余弦定理可知，4=々2+白一ab=(a+b§—3ab,即(。〃丫一3〃〃一4=0

8

解方程得：ab=4("=一1舍去)所以S=ga6sinC=gx4xsing=G.

20.1)1⑵拽子

311

【详解】试题分析：（1）根据向量数量积坐标表示得丽•”二（2）先根据向量数量积得而•万二

442

辰osxsinx-cos、，再根据二倍角公式以及配件公式得sin（2x-Q」=更」，即得sin（2x-三］=走，

I6；23216）3

根据同角三角函数关系得cos（2x-?）=q,最后根据角的关系2》=（2》-。+今并利用两角和的余弦

公式得cos2x的值.

试题解析：解：（1）当X=5时，庆=（孝,-1,历=（¥，；］，所以所方==

(2)mn—V3cosxsinx-cos2x

J311.\7T]]

=——sin2x——cos2x——=sin2x--,

222I6；2

若丽.五=^^—二,则sin(2x-g]-：=,B[Jsinf2x——1=-^-,

32I6J232V6；3

因为所以所以cos(2x-工]=必，

L4j663I6j3

,°[Yr万、，乃](、兀、也.(兀\'瓜6下＞\3近-上

贝micos2x=cos2xH—=cos2xx——sin2xx———x-------x—=---------.

A6jI6)2I61232326

21.(1)CE=4&;(2)3二3.

10

【解析】(1)在AA£C中可得乙4£。的大小，运用余弦定理得到关于CE的一元二次方程，通过解方程

可得CE的值；

4

(2)中先在ACQE中由正弦定理得sin/CDE=不，并根据题意判断出/8£为钝角，根据

TT

NDAB=/CDE-3,求出cosNQ45.

【详解】（1）因为4EC”-台?在AAEC中，由余弦定理得

AC2=AE2+CE2-2AECEcosZAEC,所以160=64+。炉+8卮£：，所以

CE2+8V2CE-96=0，所以CE=4夜.

CE所以5sinN8E=4及4,

⑵在△8E中,由正弦定理得

所以sinNCDE=d.因为点。在边BC上，所以NC£>E>N8=］,而&<且

5352

9

3

所以NCDE只能为钝角，所以cos/CDE=-g,

(71A717t

所以cosZ.DAB=cosIZCDE-y1=cos