0701高一数学（人教A版）随机事件与概率（第四课时）1教案

教案教学基本信息课题随机事件与概率（第四课时）学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学实施者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学指导者康舒真北京教育学院丰台分院课件制作者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1．理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；2．通过类比函数的性质，揭示事件的关系与运算，研究概率的性质，培养学生的类比与归纳的数学思想，提升从特殊到一般的分析问题的能力；3．用实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思维，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养．教学重点：概率的性质教学难点：概率的性质与运用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．类似的，在给出概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．介绍本节课的研究方法：从定义出发，研究概率的基本性质．新课思考1：从概率的定义出发，可以研究概率的哪些性质？由概率的定义可知，因为所以：任何事件的概率都是非负的；即．性质1对任意事件A，都有．在每次实验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．得到特殊事件的概率：性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，．在“事件的运算和关系”中，我们研究过事件的某些关系，具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？思考2设事件A与事件B互斥，和事件的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？为了同学们方便完成这个探究问题，请大家看我们已经做过的一个题目：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．求下列事件的概率：事件R=“两次都摸到红球”；（2）事件G=“两次都摸到绿球”，（3）事件=“两次摸到的球颜色相同”．分析：用数组(x,y)表示摸球的结果，x是第一次摸到的球的标号，y是第二次摸到的球的标号，则样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．n(Ω)=12．解：（1）事件R=“两次都摸到红球”，所以R={(1,2)，(2,1)}，n(R)=2，n(Ω)=12，所以，．（2）事件G=“两次都摸到绿球”，所以G={(3,4)，(4,3)}，n(G)=2，n(Ω)=12，所以，．（3）事件=“两次摸到的球颜色相同”，所以，n()=4，n(Ω)=12，所以，．回顾解题过程：事件R与事件G是互斥事件，所以，事件R与G的和事件包含的样本点恰好是事件R包含的样本点和事件G包含的样本点；所以，4==2+2，将上式的每一项都除以n(Ω)：由概率的定义，可得：．因此，从特殊到一般，如果A、B是一个随机试验中的两个互斥事件，那么A与B不含有相同的样本点，所以，这等价于，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和．所以，我们有互斥事件的概率加法公式：性质3如果事件A与事件B互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率值和，即．回到刚才的问题：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件N=“两个球颜色不相同”，求P(N)．解：事件N是两个球颜色不相同，所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，n(N)=8，n(Ω)=12，所以，．还可以用其他方法求事件N的概率吗？事件M与事件N互为对立事件，所以，，．所以，．所以，．如果A、B是一个随机试验中的两个对立事件，用同样的方法可以证明：．由此得到：性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么，．例从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”．求（1）C=“抽到红花色”，求P(C)；（2）D=“抽到黑花色”，求P(D)．分析：（1）一副不包含大小王的扑克牌，有红心，方片，黑桃，梅花四种花色，事件C是抽到红花色，即抽到红心或方片，所以，因为随机抽取一张扑克牌，抽到红心和方片是不可能同时发生的，所以事件A与事件B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，即可得到．事件A=“抽到红心”，红心从A到k共有13张，由概率的定义，可知，同理，．所以，．解：（1）因为，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得．分析：（2）事件D抽到黑花色，与事件C抽到红花色，是不可能同时发生的，而且从一副扑克牌中随机抽取一张，不是黑花色就是红花色，也必然发生其中之一，所以事件C与事件D互为对立事件．由对立事件的概率公式，可得．由（1）知，，所以，．解：（2）因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件．因此．思考3一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件R1与事件R有什么关系？他们的概率又具有怎样的关系？分析：事件R1=第一次摸到红球，所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，事件R=两次都摸到红球，所以R={(1,2)，(2,1)}，，所以，对于事件R与R1，，即事件R发生，则事件R1一定发生，且，于是，由概率的定义，得到：．所以，对于一个随机试验中的两个事件A、B，如果，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A发生的概率不超过事件B发生的概率．于是我们有概率的单调性：性质5如果，那么．由性质5可得：对于任意事件A，因为，所以．思考4：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4）从袋中不放回地依次随机摸出2个球．事件R1=“第一次摸到红球”，事件R2=“第二次摸到红球”，那么与之间有什么关系？分析：事件R1=第一次摸到红球，所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，所以，．事件R2=第二次摸到红球，所以R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，，所以，．和事件R1∪R2=“两个球中有红球”，所以R1∪R2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，，所以，．通过计算我们发现：．为什么不相等呢？因为，={(1,2)，(2,1)}，所以事件R1与事件R2不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式计算和事件的概率．那么如何计算呢？对三类事件的样本点进行分析，可以发现：，，，因为={(1,2)，(2,1)}，，所以：．将上式的每一项都除以n(Ω)：．由概率的定义，可得：．于是，我们得到，一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式：性质6设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有．显然，性质是性质的特殊情况．说明本节课的研究内容及研究方法．概率的取值范围特殊事件的概率以古典概型概率的定义为出发点，采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性质性质---互斥关系的事件概率间的关系利用性质3推出性质4----对立关系的事件概率间的关系想要正确的运用我们学习的这两个公式，需要分析清楚事件之间的基本关系，明确公式成立的条件，才能利用相应的性质，使问题迎刃而解．利用定义推导具有包含关系的事件之间概率关系性质5--包含关系的事件概率间的关系，完善概率的取值范围．由具体实例出发研究，一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式．由特殊到一般得到性质6，一个随机试验中的两个事件概率的关系．例题例、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？分析：从一箱中随机抽出2罐饮料，共有4种情况：第一种情况：两罐都中奖；第二种情况：第一罐中奖，第二罐不中奖；第三种情况：第一罐不中奖，第二罐中奖；第四种情况：两罐都不中奖．在一次试验中，有一种情况发生，则另外三种情况不可能同时发生．从一箱中随机抽出2罐能够中奖的饮料，包含前三种情况．解：我们不妨用事件A=“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件=“两罐都中奖”，事件=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，事件=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且．因为两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得．借助树状图，来求相应事件的样本点数．样本空间包含的样本点总个数，每个样本点都是等可能的，是古典概型问题．因为，所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：．所以，从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率等于．上述解法需要分若干种情况计算概率，有没有更简便的方法呢？对于这个问题也可以这样进行思考：分析：事件A=“中奖”的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，所以只要求出两罐都不中奖的概率，这样就可以利用对立事件的概率公式来求事件A=“中奖”发生的概率．另解：事件=“两罐都不中奖”，通过树状图，可得：，由概率的定义，可得，因此，利用对立事件的概率公式，可得．所以，从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率等于．利用互斥事件、对立事件概率公式解决问题遇到一个较复杂的概率问题，首先要不重不漏地将试验结果分类，用简单事件表示复杂事件，分析清楚事件的关系和运算，再利用概率的性质，运用公式进行计算．总结以古典概型为具体的实例支撑，由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系（互斥、对立、包含）时，它们的概率之间的关系，得到概率的6条性质，利用概率的性质，可以简化概率的计算．作业已知．（1）如果，那么，．（2）如果互斥，那么，．指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率是0.5；（2）如果事