2014概率论与数理统计第6章

数理统计从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.概率论与数理统计是两个有密切联系的学科,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对试验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征,从而推断总体的规律性.概括起来可以归纳成两大类:参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行检验.它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.数理统计的核心问题——由样本推断总体第6章 数理统计的基本概念总体和样本数理统计中的某些常用分布抽样分布6.1

总体和样本一、总体与个体二、样本与简单随机样本三、统计量一、总体与个体总体:

所研究的对象的全体,也称母体.一般用

X

表示某工厂生产的产品的某项指标民意测验的全体对象某林区的树木直径个体：组成总体的单个对象,一般用Xi

表示X和Xi均是随机变量二、样本与简单随机样本抽样:从总体中抽取一部分个体的过程随机抽样:从总体中随机抽取一部分个体的过程简单随机抽样:总体中每个个体等可能被抽取的随机抽样样本:

经抽样取得的个体的集合简单随机样本:经简单随机抽样取得的个体的集合一般用

(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)表示样本点:样本中的个体样本容量:样本中包含的个体的数量样本观测值:对样本进行观测的结果,以后未经声明抽样即为简单随机抽样样本即为简单随机样本一般用(x1

,x2

,

,xn

)表示常见的要求和叙述:设(X

1

,X

2

,

,Xn

)为来自总体X的一个样本则(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)为一个随机向量

X为一个随机变量X1

,X

2

,

,Xn相互独立,且具有和总体X同样的分布样本的同分布性和相互独立性三、统计量对所研究的对象收集了有关样本的数据后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关信息,利用数学的工具进行加工.引入统计量的概念定义设(X1

,X

2

,

,Xn

)为来自总体X的一个样本,若n元函数f

(X1

,X

2

,

,Xn

)不含任何未知参数,则称f

(X1

,X

2

,

,Xn

)为X1

,X

2

,

,X

n的一个统计量.f

(X1

,X

2

,

,Xn

)是否为统计量关键是不含未知参数例12设(X

1

,X

2

,

,Xn

)为来自总体N

(m,s

)的一个样本当m,s

2为未知参数时nXn

ii

=11(1)

f1

(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)

=为一个统计量nnXn

2ii

=12121(2)

f

(

X

,

X

,

,

X

)

=为一个统计量

ninni

=12(

X

-

EX

)1(3)

f3

(

X1

,

X,

,

X

)

=不是统计量=m，而m未知因为EX

in

in

i

=122215(

X

-

X

)1s(5)

f

(

X

,

X

,

,

X

)

=为一个统计量

n不是统计量

kini

=116-

X

)(

X1(6)

f

(

X

,

X

2

,

,

Xn

)

=其中k为常数n

n

ii

=1214(

X

-

X

)1(4)

f

(

X

,

X

2

,

,

Xn

)

=为一个统计量ini

=1n其中X

=

1

X常见统计量:样本均值n

iXX

=121nn=

(

X

+

X

+

+

X

)样本方差

i

=1n

iS

=22(

X

-

X

)1n1显然

i

=1nS

=22i2-

2

Xi

X

+

(

X

)

][

Xn1

i

=1n

iXn22i

n-

2

X

X

+

n(

X

)

]i

=1=

[n1

=i

=1nX22i-

2

X X

+

(

X

)1222n1ni

=1niX

-

(

X

)S

=

i

=1样本均方差样本标准差n

inS

=

S

=

i

=122(

X

-

X

)1‡

0样本修正方差

n

iS

=i

=12*

2(

X

-

X

)n

-

11显然S

2nn

-

1S

*

2

=‡

S

2nS

2

=

n

-

1

S

*

2

£

S

*

2样本k阶中心矩n

k

ini

=1(

X

-

X

)1b

k

=n

kiXni

=11a

k

=样本k阶原点矩显然X

=

a

1S

2

=

b26.2

数理统计中的某些常用分布一、c2

分布二、t

分布三、F

分布一、c2

分布c2分布的定义及概率密度设随机变量X1

,X

2

,

,Xn独立同分布,且Xi

~

N

(0,1),i

=1,2,

,n,若随机变量c

2

=X

2

+X

2

+

+X

2

,则称随机变量c

2服1

2

n从自由度为n的c

2

-

分布.记为c

2

~

c

2

(n).c2分布的密度函数为

212e x

‡

0x

<

0G(n

2)0f

(

x,

n)

=

xn-1

-x

2n

2来定义.0

+¥e-t

t

x

-1dt,

x

>

0G

(

x)

=其中伽玛函数

G(

x)

通过积分c2分布的密度函数的图形且X1

,X2相互独立，则21221X

+

X

~

c

(n

+

n

),222121(1)设X~

c

(n

)~

c

(n

),

XN

(m,s

2

),(2)相互独立,都服从正态分布设X1

,X

2

,

,Xn则(

)n22

2n

1

c

=

(

X

-

m) ~

cs

2

ii

=1相互独立的c

2

-分布随机变量迭加,自由度也迭加c

2分布的可加性E(c

2

)

=

E(

X

2

+

X

2

+

+

X

2

)1

2

n=

E(

X

2

)

+

E(

X

2

)

+

+

E(

X

2

)1

2

nii

i=

nE(

X

2

)

=

n{D(

X

)

+[E(

X

)]2

}=

n(1

+

02

)

=

nD(c

2

)

=

D(

X

2

+

X

2

+

+

X

2

)1

2

n=

D(

X

2

)

+

D(

X

2

)

+

+

D(

X

2

)1

2

nii

i=

nD(

X

2

)

=

n{E(

X

4

)

-[E(

X

2

)]2

}

+¥

-¥1=

n

2-

xx4

e2p2

dx

-

12

=

n(3

-

1)=

2nD(c

2

)

=

2nE(c

2

)

=

n,c2分布的期望和方差1-aa(n)为c

2

-分布的上侧分位数记为x

=

c

2

(n)

而称x

=

c

2a

1-aa1-aP{c

2

£

c

2

(n)}=

1

-a

P{c

2

>

c

2

(n)}

=

a若c

2

~

c

2

(n)分布函数为F

(x)"

a

,0

<

a

<

1若F

(

x)

=

P{c

2

£

x}

=

a则其解称为c

2

-

分布的a

-

分位数(临界值)c

2

(n)1-aac

2

(n)0.025c2c0.95

(20)(20)2c0.9752c0.05

(20)

=

10.92

(20)

=

9.59=

31.4=

34.2例1

查表求临界值例2

设X1

,

,X

6

是来自总体N

(0,1)的样本,又设2

2Y

=

(

X1

+

X

2

+

X

3

)

+

(

X

4

+

X

5

+

X

6

)

,试求常数C

,解因为X1

+

X

2

+

X

3

~

N

(0,3)X4

+

X5

+

X6

~

N

(0,3)~

N

(0,1),所以X1

+X

2

+X

33~

N

(0,1),X

4

+

X

5

+

X

63且相互独立,于是3

34

51

2~

c

2

(2),6

3

+

X

+

X

+

X

2

X

+

X

+

X

233故应取

C

=

1

,

则有

1Y

~

c

2

(2).使CY

服从c

2

分布.XY

/

nt

=t分布的定义及概率密度设X

～

N(0,1),

Y

～

c2(n),且X,Y相互独立,称随机变量二、t分布（学生氏分布）服从自由度为n的t分布.记为t

～

t(n).t分布的密度函数为：2)-

n+1nx

2f

(

x,

n)

=

(1

+G

(n

2)

npG

[(n

+

1)

2]若随机变量

X

~

N

(m,s

2

),Y

~

c

2

(n),

X

,Y相互独立则随机变量T

=

X

-ms

Y

/

n~

t(n)若随机变量

X

~

N

(m,s

2

),Y

/

s

2

~

c

2

(n),

X

,Y相互独立s

Y

/

s

2

nY

/

n则随机变量

T

=

X

-

m

=

X

-

m~

t(n)0

.

3

50.

30

.

2

50.

20

.

1

50.

10

.

0

5

n

=

10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50.

40.

3

50.

30.

2

50.

20.

1

5

n

=

30.

10.

0

5

n

=

10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50.

40.

3

50.

30.

2

5n=

1

00.

20.

1

5

n

=

30.

10.

0

5

n

=

10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5-5-4-3-2-101234500

.

0

50

.

10

.

1

50

.

20

.

2

50.

30

.

3

50

.

4n=

1n=

3n=

1

0N

(

0

,

1

)t

-分布的密度曲线t

-分布的密度曲线关于y轴对称n增大随着n的增大,t

-分布的密度曲线越陡n

fi

¥

时，t

-分布趋于标准正态分布N

(0,1)a

ata

(n)

t1-a

(n)记为ta

(n)a即P{T

£

t

(n)}

=

a若T

~

t(n)则"0

<a

<1称P{T

£

x}=a的解为t(n)的a

-分位数对于P{T

>x}=a

称其解x

=t1-a

(n)为t(n)分布的上侧分位数P{T

>

x}

=

1

-

P{T

£

x}=

a

P{T

£

x}

=

1

-

ax

=

t1-a

(n)由t

-分布的对称性-

ta

(n)

=

t1-a

(n)查分位数的重要公式P{T

£

-

x}

=

P{T

‡

x}查表求下列临界值=

1.8331若T

~

t(9)即x

=t0.01

(9)=

-t0.99

(9)

=

-2.821t0.05

(9)

=

-t0.95

(9)=

-1.8331t0.025

(9)

=

-t0.975

(9)

=

-2.2622则x

=

t0.99

(9)

=

2.821则P{T

£

x}=0.01例3t0.95

(9)t0.975(9)

=

2.2622若P{T

<x}=0.99若P{T

>x}=0.99则P{T

<x}=0.975若P{|

T

|<x}=0.95即x

=

t0.975

(9)

=

2.2622设随机变量

X

~

N

(2,1),例4

随机变量

Y1

,Y2

,Y3

,Y4

均服从

N

(0,4),

且

X

,Yi(i

=

1,2,3,4)

都相42

iY互独立,令T

=4(X

-2),试求T的分布,i

=1并确定

t0

的值,

使

P{|

T

|>

t0

}

=

0.01.解

由于

X

-

2

~

N

(0,1),Yi

/

2

~

N

(0,1),

i

=

1,2,3,4,故由t

分布的定义知424

44

22Y

ii

=1i

=1

2

i

=1

4

Yi

Yi

T

=

4(

X

-

2)

=

X

-

2

=

X

-

2

~t(4),424

44

22Yi

i

=1

i

=1

4

i

=1

2

Yi

Yi

T

=

4(

X

-

2)

=

X

-

2

=

X

-

2

~t(4),即T

服从自由度为4的t

分布:T

~

t(4).由P{|

T

|>

t0

}

=

0.01.t0

=

t0.995

(4)

=

4.6041.Y

/

n则称随机变量F

=X

/m

服从自由度分别为m,n的F

-分布Y

/

n记为

F

=

X

/

m

~

F

(m,

n)m,n分别为第一和第二自由度三、F

分布F

分布的定义及概率密度设随机变量

X

~

c

2

(m

),Y

~

c

2

(n),

X

,Y相互独立10

.

90

.

8

F

(

2

0

,

2

0

)

0

.

70

.

60

.

50

.

40

.

30

.

20

.

100 0

.

5

1 1

.

5

2 2

.

5

310

.

90

.

8

F

(

2

0

,

2

0

)

0

.

70

.

60

.

50

.

40

.

3F

(

1

0

,

1

0

)

0

.

20

.

100 0

.

5

1 1

.

5

2 2

.

5

30 0

.

5

1 1

.

5

2 2

.

530

.

100

.

20

.

40

.

30

.

70

.

60

.

50

.

810

.

9F

(

2

0

,

2

0

)

F

(

1

0

,

1

0

)

F

(

5

,

5

)

m,n增大F

-分布密度曲线从F

-分布密度曲线中可知随着m

,n的增大,密度曲线越来越陡服从F

-分布的随机变量的取值集中在1附近m

,n

fi

¥

时,密度曲线将近似地关于x

=1对称Fa

(m,

n)

F1-a

(m,

n)若F

~

F

(m,

n)则"0

<a

<1称P{F

£

x}=a的解为F

-分布的a

-分位数记为F

(m,

n)a即P{F

£

Fa

(m,n)}=a称P{F

>x}=a的解x

=F1-a

(m,n)为F

-分布的上侧分位数即P{F

>

F1-a

(m,

n)}

=

a

或P{F

£

F1-a

(m,

n)}

=

1

-aaa定理若F

~

F

(m,

n)

则"

0

<

a

<

1,

有1F

(n,

m)a1-a且

F

(m,

n)

=1~

F

(n,

m

),FFX

/

mY

/

n又

P{F

£

Fa

(m,

n)}

=

a证明:

因为F

=

X

/

m

~

F

(m,

n),

则

1=

Y

/

n

~

F

(n,

m)1F

Fa

(m,

n)则

P{

1

‡1}=

1

-

P{

1

£}

=

aa}

=

1

-

a1F

F

(m,

n)P{

1

£F

Fa

(m,

n)1F

(m,

n)a1-a=

F

(n,

m)0.025F0.05

(10,8)

=例5

查表求下列分位数F0.95

(10,8)

=

3.35F0.99

(10,8)

=

5.811

1=3.85=F0.95

(8,10)

3.071

1F0.975

(8,10)F

(10,8)

==

0.3257=

0.2597x

=

F0.975(15,12)

=

3.18例6

若F

~

F

(15,12),

求x，使下列等式成立

.(1)

P{F

£

x}

=

0.975(2)

P{F

>

x}

=

0.975P{F

£

x}

=

0.0250.02510.975F

(12,15)x

=

F

(15,12)

=2.961==

0.3378例7

设总体

X

服从标准正态分布,

X1

,

X

2

,

,

Xn是来自总体X

的一个简单随机样本,试问统计量

5

-

1XnY

=5

n=1

i

=6

i

i

2

2i252X

,n

>5

服从何种分布?nii

=1

i

=6iX

~

c

(5),

X

~

c

2

(n

-

5),且解

因为

X

~

N

(0,1),

2

i5i=12iX与

nXi=62i相互独立, 所以5X

(n

-

5)

~

F

(5,

n

-

5),X

5n

2ii

=6

2ii

=1再由统计量Y

的表达式,

即得

Y

~

F

(5,

n

-

5).作业P156

练习6.21.

2.6.3

抽样分布一、一个正态总体的抽样分布二、二个正态总体的抽样分布设(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)为来自总体X的一个样本且EX

=

m,

DX

=

s

2

inX

=

n

n

inX

S

=i

=1

i

=122(

X

-

X

)1

1

n

iS

=i

=12*

2(

X

-

X

)n

-

11样本均值 样本方差样本修正方差X

,S

2

,S

*

2仍是随机变量它们的数学期望或方差为1n

iE(

X

)

=

E(X

)=n

iEXni

=11=

n

nm

=

m1n1=1i

=1nn

iD(

X

)

=

D(

Xi

)

=nn211n2

DXi

=i

=11s

2nns

2

=一、一个正态总体的抽样分布122n

i

=1inE(

S

)

=

E[(

X

-

X

)

]=nin

i

=12

E(

X

-

X

)1=ni2E[(

X1-

m)]-

m)

-

(

Xn122

=

i

=1ni

=1ii-

2(

X-

m)

]-

m)

+

(

X-

m)(

XE[(

X

-

m)n1=nii+

DX

][DX

-

2E(

X

-

m)(

X

-

m)n12

=

i

=1ni

=1ns

2[s

-

2E(

Xi

-

m)(

X

-

m)

+

n

]ninn

i

=11=

-2(n

+

1)s

2E(

X

-

m)(

X

-

m)

+ninn

i

=11=

-2E[(

X

-

m)(

X

-

m)]

+nn(n

+

1)s

2n

i

=11E

(

S

2

)=

-2(n

+

1)s

2

E(

Xi

-

m)(

X

-

m)

+n2(n

+

1)s

2=

-2E[(

X

-

m) ]

+n(n

+

1)s

2=

-2DX

+nns

2(n

+

1)s

2=

-2

+n(n

-

1)s

2=nn

-

1E(

S

*

2

)

=

E(nn

-

1S

2

)

=E(

S

2

)

=

s

2E(

X

)

=

mns

2D(

X

)=nE(S

2

)

=

(n

-1)

s

2E(S*2)

=s2因此(3)nS

2

niXni

=11(2)

X

=定理s

2~

N

(m,

n

)=n

ii

=12(

X

-

X

)1s

2

s

2~

c

2

(n

-

1)s

2(n

-

1)S

*

2~

c

2

(n

-

1)或设(X1

,X

2

,

,Xn

)为来自正态总体X的一个样本总体X

~

N

(m,s

2

),

则(1)

X与S

2相互独立-------(1)-------(2)n取不同值时样本均值X

的分布1nnis

2X

~

N

(m,

n

)

i

=1X

=的分布s

22n取不同值时(n

-1)S

*2==(

X

-

X

)nS

2

(n

-

1)S

*

2

1n

i

=1i~

c

2

(n

-

1)s

2s

2s

2S

/

n

-

1T

=

X

-

m~

t(n

-

1)推论设(X1

,X

2

,

,Xn

)为来自正态总体X的一个样本总体X

~

N

(m,s

2

),

则(1)

则由s

2式X

~

N

(m,

n

),

可知随机变量(1)U

=

X

-

m~

N

(0,1)(2)nS

2~

c

2(n

-1),可知随机变量s

2s

/

n又由(2)式/(n

-

1)nS

U

2s

2/(n

-

1)nS

2s

2X

-

mS

/

n

-

1=

s

/

n

=

X

-

m

事实上例1

设21

2

25X

~

N

(21,2

),

X

,

X

,

,

X为X的一个样本,

求:(1)

样本均值

X

的数学期望与方差;(2)

P{|

X

-

21

|£

0.24}.解(1)

由于

X

~

N

(21,22

),

样本容量

n

=

25,25

X

~

N

21,

22

,所以于是252=

0.42.E(

X

)

=

21,

D(

X

)

=

2

0.4(2)

P{|

X

-

21

|£

0.24}

=

P

X

-

21

£

0.6

=

2F

(0.6)

-

1

=

0.4514.例2在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N

(m,s

2

),这里s

2

=100米2

,现在进行了25次发射试验,用S

*2

记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本修正方差,试求超过50

米2

的概率.S

*2解根据题意,

有(n

-

1)S

*2~

c

2

(n

-

1),s

2于是

>2s

2s

2(n

-

1)50

(n

-

1)S

*2>

50}

=

P

P{S

*

10024

·

502=

1

-

P

c

(24)

£=

1

-

P{c

2

(24)

£

12}»

0.975.于是我们可以以超过97.5%的概率断言,S

*2

超过50

米2

.例3

从正态总体

N

(m,0.52

)

中抽取容量为

10

的X

是样本的均值,

若

未样本X1

,X

2

,

,X10

.知, 计算概率

102‡

4.575

i

=1

iP(

X

-

m)

2

10

i

=1

i(

X

-

X

)

<

4.225

.与P解由

X

~

N

(m,0.52

),

有

(

Xi

-

m

)

/

0.5

~

N

(0,1),0.5102210

=

4

=1

i

=1iii(

X

-

m

) ~

c

2

(10),X

-

m0.5102210~

c

2

(9),

=

4

i

=1ii=1

i(

X

-

X

)X

-

X而1022

‡

18.3

,

10i

=1

i

=1‡

4.575

=

P

4

(

Xi

-

m)P

(

Xi

-

m)故~41022102

i

=1ii

=1i(

X

-

X

) ~

c

2

(9),(

X

-

m)

c

(10)

,

4=1-

P{c2

(10)

£18.3

}=

1

-

0.95

=

0.05;

10

2

i

=1

P

(

Xi

-

X

)

<

4.225

10

2i

=1

i(

X

-

X

)

<

16.9=

P

4=

P{c

2

(9)

£

16.9

}

=

0.95.0.95(10)

=

18.3,c

20.95(9)

=

16.9,c

2例4

从正态总体

X

~

N

(m,s

2

)

中抽取容量为

162的一个样本,

X

,

S

*

分别为样本均值和样本修正D(

S

*2

)及概率P{S

*2

/

s

2

£

2.041}.解根据题意,得(n

-

1)S

*2

~

c

2

(n

-

1),s

2所以2

=

n

-

1,

(n

-

1)S

*2

E

s

(n

-

1)S

*2

D

=

2(n

-

1),s

2若m,s

2

均未知,求:S

*2

的方差于是E(

S

*2

)

=

s

2

,D(

S

*2

)

=

2s

4

/(n

-

1).方差.当n

=16

时,P{S

*2

/

s

2

£

2.041}

=

P{15S

*2

/

s

2

£

30.615}»

0.990.99(c

2

(15)

=

30.6).(n

-

1)S

*2~

c

2

(n

-

1),s

2m

n(1)s

2

s

2 1

+

2

U

=

X

-

Y

-

(m1

-

m2

)~

N

(0,1)二、二个正态总体的抽样分布定理设(X1

,X

2

,

,Xm

)为来自正态总体X的一个样本(Y1

,Y2

,

,Yn

)为来自正态总体Y的一个样本且X

~

N

(m

,