2021-2022学年高二数学期中测试卷03（解析）

2021-2022学年高二上学期期中测试卷03

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.抛物线y=2x?的焦点坐标为（）

A.（―,0）B.（0,-）C.（―,0）D.（0,—）

2288

【答案】D

【分析】

把方程化为标准方程后可得焦点坐标.

【解析】

抛物线的标准方程是2P=g,p=：,

焦点为坐标为（（）,：）.

o

故选：D.

2.直线八（2a-3及--+2=0不过第二象限，则a的取值范围为（）

A.（3,0]B.[0,3）

C.[3,+oo）D.（-oo,0]U（3,+oo）

【答案】A

【分析】

分。=0与两种情况分别分析，当。片0时，将直线化为斜截式的形式，再分析得出答案.

【解析】

2

若4=0,则直线/的方程为x=该直线不过第二象限，合乎题意；

若awO,可得直线/的斜截式方程为>

aa

因为直线/不过第二象限，所以，解得a<0.

-<0

综上所述，«<o.

故选：A

3.以下四个命表述正确的是()个

①若点4(1,2),圆的一般方程为』+y2+2x-4y+l=0,则点A在圆外

②圆C：*2+》2-2刀-8〉+13=0的圆心到直线4犬一3、+3=0的距离为2

③圆G：x2+)，2+2x=0与圆C?：炉+/-4》-8、+4=0恰有三条公切线

④两圆V+y2+4x-4y=0与d+y?+2x72=0的公共弦所在的线方程为：x+2y+6=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

①将点A(l,2)代入圆可判断；②将圆化为标准方程，得出圆心，利用点到直线距离公式可得；③求出两

圆圆心和半径，判断位置关系可得：④两圆方程相减即可求出.

【解析】

①点A(l,2)代入圆可得F+22+2xl-4x2+l=0,所以点A在圆上，故①错误；

②由x2+y2-2x-8y+13=0可得(x-l)2+(y-4)2=4,则圆心为(1,4),由点到直线的距离公式可得圆心到

14x1-3x4+31

线4x-3y+3=O的距离为一/.1=1,故②错误；

③圆G化为(x+1)?+丁=1,圆心为G(-1,0)，半径4=1,圆G化为(x—2)2+(y—4)2=16,圆心为C2(2,4),

半径4=4,则圆心总巨|CG|=J(-l-2)2+(0-4)2=5=(+4,故两圆外切，公切线有3条，故③正确；

④两圆方程相减可得x-2y+6=0,故公共弦所在方程为x-2y+6=0,故④错误，

综上，正确的有1个.

故选：A.

2

4.已知椭圆C：乂2+v二=1的焦点分别为Fi,Fi,P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是()

2

A.|PFI|+|PF2|=2

B.即斗正2面积的最大值是0

c.椭圆c的离心率为渔

2

D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-&=0相切

【答案】D

【分析】

结合已知条件分别求出椭圆标准方程中对应的。、h.c,对于选项AC：根据椭圆定义以及椭圆离心率的概

念即可求解；对于选项B：利用椭圆的焦点三角形的特征即可求解；对于选项D：求出以线段F1F2为直径的

圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线x+y-&=0距离即可求解.

【解析】

由题意可知，椭圆C：x2+[=l的焦点在y轴上，长半轴长。=正，短半轴长匕=1,

设月(―c,0),6(c,0),则0=疝不=1，设尸(辱，力)，

对于选项A：|PFI|+|PF2|=2&，故A错误；

对于选项B：因为回PF1F2面积为耳鸟II外区;x2cx6=gx2xl=l,故B错误；

对于选项C：椭圆的离心率e=£=3=也，故C错误；

a422

对于选项D：以线段F1F2为直径的圆的圆心为原点。。0),半径r=c=l,

故原点。。0)到直线x+y-&=0的距离d=叱°一伪=1,

VI2+12

从而以线段F1F2为直径的圆与直线x+y—夜=0相切，故D正确.

故选：D.

5.已知圆C是以点网2,2⑹和点汽俭,-2⑹为直径的圆，点尸为圆C上的动点，若点4(2,0),点8(1,1),

则2|E41Tp目的最大值为()

A.y/26B.4+V2C.8+5&D.叵

【答案】A

【分析】

由题设可知圆c：a-4)2+r=16,在坐标系中找到a-4,0),应用三角线相似将2|/训转化到再利

用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.

【解析】

由题设，知：C(4,0)J1.|MN|=7(-2\/3-2^)2+(6-2)2=8.即圆C的半径为4,

回21PAl-|P8|=|PD|-|P31,在国依。中I电>I-1P81<|8。|,

团要使IP。ITP81最大，P,B,D共线且最大值为|BD|的长度.

叫BD\="（1+4）"=726.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：首先求出圆C方程，找到定点。使奈=箓，进而将21PAi转化到其它线段，结合三角形三

边关系求目标式的最值.

6.在平面直角坐标系内，设加（内,乂），N（%,力）为不同的两点，直线/的方程为6+外+c=。，

cax,+by.+c

s=—；:A——,下面四个命题中的假命题为（）

ax2+by,+c

A.存在唯一的实数15,使点N在直线/上

B.若5=1,则过M,N两点的直线与直线/平行

C.若5=-1,则直线经过线段M,N的中点；

D.若6>1,则点M,N在直线/的同侧，且直线/与线段M,N的延长线相交；

【答案】A

【分析】

根据题意对6——分析，逐一验证.

【解析】

cax,+by,+c

解：对于A,3=-----------化为：g+〃％+c-S（%+蜘+c）=OU%+如+c*0）,即点N®,%）不在直线/

ax2+by2+c

上，因此A不正确.

对于5,3=\,则4（与一%2）+优必-%）=0，即过仞，N两点的直线与直线/的斜率相等，又点N（&,）3）不

在直线/上，因此两条直线平行，故8正确；

对于C,5=-1,则g+如+。+（眶+奶+c）=0,化为:七+•>'+c=0,因此直线/经过线段MN的

中点，故C正确；

对于£）,5>1,则（叼+孙+<?）、（畛+摄2+<?）=5（畛+奶+。2>0,则点M,N在直线/的同侧，故。正确；

故选A

【点睛】

本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属

于难题.

7.AABC的三个顶点为4（一2,2）、8（-2,1）、C（0,3）,已知“ABC与VAEC关于直线4x—3y—1=0对称，户、

。分别是AABC与VA5c上的点，则|PQ|的最小值为（）

1224

A.2B.yC.4D.—

【答案】C

【分析】

计算出AABC三个顶点到直线4x-3y-l=0的距离，比较大小后可得出|PQ|的最小值.

【解析】

.卜8-6-1|

点A到直线4x-3.y-l=0的距离为也=I,,=3,

肚+（-3）

,1-8-3-1112

点B到直线4x—3y—1=0的距离为〃=/,,、，=-T，

1-9-11

点C至U直线4x-3y-1=0的距离为4=I,,、z=2,则分<乙<服，

g+（-3）

所以，当点P、。分别与C、C'重合时，与直线4x-3y-1=0垂直,

故忸GL=2%=4.

故选：C

8.已知抛物线丁=22彳（P是正常数）上有两点A（x,，x）,8（孙力），焦点产，

2

甲：

乙：乂必二一"2

.----------3,

丙：=

112

丁：日+勾=一以上是"直线A5经过焦点尸'的充要条件有几个（）

\FA\|FB|p

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

先证明必要性：设过抛物线C：V=2px（〃＞（））的焦点尸的直线为：x=my+^,代入抛物线方程得：

y2-2pmy-p2=0,计算乂%、为々、OAOB＞即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设

|E41|FB\

2

直线A3的方程为：+代入抛物线方程得：y-2pmy-2pt=0,由韦达定理验证四个结论成立时，

实数f的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.

【解析】

必要性：设过抛物线C：V=2px（p＞0）的焦点F的直线为：x=+g

代入抛物线方程得：/,2pmy-p2=0；

由直线上两点AQ,%）,8（乙,力），

2

则有yty2=-p，

22

=吟％+会出+、)

段2+当2+^-=£

OAOB=xlx2+yly2=?)-

X1+x2+p2

=p~〃/

彳+ja十二P

故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，

充分性：设直线A8方程为：x股+r,则直线45交X轴于点(r,0),

2

抛物线焦点「6，°)将直线A8的方程与抛物线方程得：y-2pmy-2pt=0,

由直线上两点AQ,y),3(孙为)，

对于甲：

若不%=(叼1+"(叼2+f)='"x%+""(%+%)+/

=m2(-2pt)+tin-2pm+r=9,

可得r=±4,直线A3不一定经过焦点F.所以甲条件是"直线A3经过焦点F"的必要不充分条件；

对于乙：若M%=-p2=-2pr,则/=5,直线A8经过焦点F,所以乙条件是“直线AB经过焦点F"的充要

条件；

2

对于丙：OAOB=x,x2+y]y2=-2Pt+f=-^p,可得或"当，直线A3不一定经过焦点F,所以

丙条件是"直线A3经过焦点尸'的必耍不充分条件；

11_x+x+p

..-----1-----l2

对于丁：|幺||FB|玉+/)(马+f)王*2+^&+々)+。

X]+入2+〃_2

=2乙"、p2=[可得"-直线AB不一定经过焦点F.所以丁条件是"直线48经过焦点F"的必

+

t+—x2)+~2

要不充分条件；

综上，只有乙正确，正确的结论有1个.

故选：B

【点睛】

结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论

设A8是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸的弦，若AQ,%),8(%,%),则：

2

/“、P~>

(1)x1x2=—,>防=一，；

(2)若点A在第一象限，点B在第四象限，则朋=,°,忸尸|二P,

1-coscz1+cosa

2P

弦长|A8|=X]+X2+p=(a为直线AB的倾斜角);

sin2a

（3）--------1--------=—•

|E4||FBIp'

（4）以AB为直径的圆与准线相切；

（5）以4F或8尸为直径的圆与＞轴相切.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）

9.下列说法正确的是（）

A.经过任意两个不同的点耳（西,乂），2伍,必）的直线都能用方程（广乂）（毛-%）=（*-引（%-乂）表示

B.直线6+2y+6=0与直线x+（a-l）y+/—1=0互相平行，则a=—1；

C.经过点（1,1）且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0.

D.若直线/沿x轴向左平移3个单位长度，再沿V轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直

2

线/的斜率为

【答案】ABD

【分析】

利用直线方程的一般式判断A;直线平行的充要条件判断B;对于C,当直线经过原点时，经过点（1,1）的

直线为x-y=o,当直线不经过原点时，根据截距式方程，即可求解；写出平移后的直线与原方程一致判断

D.

【解析】

对于A,由直线方程的两点式可知过（为，y）,a2,y2）（且x产乂2，）叶为）两点的所有直线方程为

上二人=土玉，化为整式后小工加%没限制，所以经过任意两个不同的点虫为，乂）、租三，无）的直线都

%一乂占一%

可以用方程（y-X）（X2-X1）=（X-X|）（%一%）表示，正确.

对于B,直线以+2y+6=o与直线x+（a-l）y+a2-l=0互相平行，则。（a-1）=2,则。=—1或〃=2,当a=2

时，两直线重合（舍去），所以B正确；

对于C,当直线经过原点时，经过点（1,1）的直线为x-y=0,

当直线不经过原点时，设在坐标轴上的截距为“，即直线方程为二+2=1,

aa

•••直线经过点（1,1）,

..—।——1，解得。=2,

aa

故直线方程为无+y-2=0,

综上所述，经过点（1,1）且在入轴和y轴上截距都相等的直线方程为无+y-2=0或者x-y=O.故C错误；

对于D,设直线/为了=丘+"由题意得'=以＞+3）+6+2=履+3%+6+2,

2

则弘+〃+2=b,，％=-§,.【D正确，

故选：ABD

10.已知圆。的方程为产+/=1,过第一象限内的点P.,与作圆。的两条切线以、P8,切点分别为A、B,

下列结论中正确的有（）

A.若P在直线3犬+”-10=。上，则四边形。AP8的面积有最小值2

B.四点0、A、P、8共圆

C.直线A8的方程为公-+by-l=0

D.若尸。.方=8，则a+〃的最大值为3亚

【答案】BCD

【分析】

求出圆心到直线3x+4）」10=0的距离后可求四边形OAPB的面积有最小值，故可判断A的正误，利用对角

为一对直角可判断B的正误，利用切点弦的计算方法可判断C的正误，利用向量的数量积可求得黯+从=9,

从而可求a+6的最大值，故可判断D的正误.

【解析】

故归（加=6,所以四边形。APB的面积有最小值2xgxlx|PA|m「石，故A错误.

对于B,因为ZR4O=NP8O=90。，故四点。、4P、8共圆，故B正确.

对于C,

此圆的方程为：x（x_a）+y（y_6）=o，

故AB:x2+y2-ax-by-^x1+y?-1）=0即ax+by-1=0,

故C正确.

对于D,因为A0.pN=8，故（P4+A0•冈=8即而2=8,

所以而2=9即6+从=9，故（a+b）2+（a-b）2=18,

故（。+32418即〃+当且仅当“=匕=竽，

故的最大值为3亚.

故选：BCD.

11.已知圆。的半径为定长，A是圆。所在平面内一个定点，尸是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线/

和直线。户相交于点。.当点P在圆上运动时，下列判断正确的是（）

A.当点A在圆。内（不与圆心重合）时，点。的轨迹是椭圆;

B.点。的轨迹可能是一个定点；

C.点。的轨迹可能是抛物线.

D.当点A在圆0外时，点。的轨迹是双曲线的一支

【答案】ABD

【分析】

根据A点所在的位置分类讨论，结合椭圆、抛物线、双曲线的定义判断即可;

【解析】

由已知得

所以+|例=|/+|四=\OF\=r.

又因为点A在圆内，所以

根据椭圆的定义，点。的轨迹是以。，A为焦点，，•为长轴长的椭圆.

图］

当点A在圆上时，点。与圆心重合，轨迹为定点；

对C,由于当点A与圆心。重合时，点。的轨迹为圆，综合A,B,。可知点。的轨迹不可能为抛物线.

对D,如图3,连接QA,

由已知得|QA|=|Q".

所以|侬-依。||=阚-囱|==r.

又因为点A在圆外，所以

根据双曲线的定义，点。的轨迹是以。，A为焦点，，•为实轴长的双曲线.

故选：ABD.

12.已知平面上的线段/及点P,任取/上一点Q,称线段长度的最小值为点尸到线段/的距离，记作以尸」).

已知线段4：X=-1(-2"42),/2:x=l(-2<y<0),点尸为平面上一点,且满足段尸,/J=d(P?),若点尸的

轨迹为曲线C,A,8是第一象限内曲线C上两点，点尸(1，0)且|AF|=｝忸曰=亨，则()

A.曲线C关于x轴对称B.点A的坐标为

C.点5的坐标为停山D.ABW的面积为整

122J16

【答案】BCD

【分析】

先确定4和4对应的图象，然后对y进行分类讨论，分别研究点尸的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判

断即可.

【解析】

4：x=-l(-24y42)为线段SQ,

/,：x=l(-2”40)为线段用，

又d(尸d)=d(P,，2),

①当-24y40时，由题意可得，点尸在，轴上；

②当y<-2时，d(P,l)=PQ,d(P,止PR,此时点P在V轴上;

③当04y42时,d(P,乙)为点尸到尤=一1的距离,d(P,l2)=PF,

此时点尸的轨迹是一条抛物线，准线方程为x=-l,

所以夕=2,故抛物线的标准方程为丁=4x；

④当y>2时,d(P,l1)=PS,d(P,l2)=PF,

此时点P在"的中垂线上，而S(-1,2),F(l,0),中点坐标为(0,1),

?

所以《•〃=一「二=-1，所以点P在直线y=x+i上，故选项A错误;

又所以4+1=?,解得以=:,

故点A的坐标为(；』)，故选项B正确；

因为忸尸仁亭>|4又点B在y=x+l上，

y=x+\

联立方程组八2,(商丫，可得x=],y=。，

所以点8的坐标为(g,I),故选项C正确；

“回=9一1=［，故直线AB的方程为y=+

2-4

则直线A8与x=l的交点坐标为

119(19/3、19

所以S*B=S"GA+$△”=力而X1--+-X-X^-1=-,故选项D正确.

21U\4)21Uk2)lo

故选：BCD.

本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位

置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知圆C：/+了2-2〃吠+4〃?)，+5/-20=0(机€/?)上存在两个点到点41,-2)的距离为不，则机的取

值范围是___________

【答案】(—2,0)52,4)

【分析】

写出以A为圆心，“=石为半径的圆A的方程，判断圆A与圆C的位置关系，进而根据圆心距与两圆半径

的关系求〃?的取值范围.

【解析】

以A(l,-2)为圆心，以｛=逐为半径的圆A：(x-l>+(y+2)2=5,

圆C：x2+y2-2mx+4my+5m2-20=0(meR)：圆心为C("4-2〃。，半径&=26，

0|AC|=7(W-1)2+(-2/M+2)2=yj5m2-i0m+5，

由题意知：两圆相交，即百<55%2—10〃?+5<3后，解得机W(-2,0)U(2,4).

故答案为：(-2,0)0(2,4)

14.唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马德交河”，诗中隐含着一个有

趣的数学问题一一"将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎

样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为8(-2,0),若将军从山脚下的点

处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3,则"将军饮马"的最短路程为.

【答案】叵

3

【分析】

先求得点B关于直线x+2y=3的对称点则点A,C之间的距离即为所求.

【解析】

如图所示:

则白沙，解得

即"将军饮马"的最短路程为山竺

3

故答案为：叵

3

15.己知椭圆;■+与=1（。＞匕＞0）的左、右焦点分别为"、K，关于原点对称的点48在椭圆上，且满

a~b~

JTJI

足,日即I，若令4钻=。且。G则该椭圆离心率的取值范围为------------

【答案】性用

【分析】

由|43=|百目得A^B鸟为矩形，则明=2c・sine,A4=2c-cose=BK,故e=£=~结合正弦

asin0+cos0

函数即可求得范围.

【解析】

由已知可得M=2c,且四边形鸟为矩形.

所以BF[=2c・sin6,A£=2c・cos8=BF2,

又因为BF]+BF2=2at所以2c・sin6+2c・8se=2a.

e=—c=---1---=----1---

得离心率asin+cos0拒sin(0+1，

因为，所以O+y>|-，可得sin((9+?

1H五指

从11而ee—

故答案为:

16.已知点尸（2,0）,动点。满足以P。为直径的圆与y轴相切，过点P作直线x+（加-1）尹2加-5=0的垂线,

垂足为R，则|QP|+|Q?|的最小值为.

【答案】纪叵

2

【分析】

由抛物线定义可知Q的轨迹方程，直线x+WTy+2〃L5=0过定点，结合圆的性质，可知R点的轨迹为

圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.

【解析】

由动点Q满足以QP为直径的圆与y轴相切可知：动点Q到定点P的距离等于动点Q到直线X=-2的距离,

故动点。的轨迹为y2=8%,

由工+（加一1））?+2〃2—5=0可得%—丁一5+01（丁+2）=0,

%—y—5=0

■^=22解得D（3,—2）,即直线工+（加-1）'+2加一5=0过定点。（3,—2）,

又过P作直线x+（〃Ll）y+2m-5=0的垂线，垂足为R,

所以R点在以P。为直径的圆上，直径式方程为（尤-2乂>3）+可丁+2）=（）,

化为标准方程为：（x-gj+（丫+1）2=1,圆心呜,-1）半径「考

过。做QM垂直准线，垂足为M,过E做EG垂直准线，垂足为G

则|。尸|+|刎*\QM\+\QE\-^->\EG\-^-=£-亭=9J

故答案为：纪叵

四、解答题（本大题共6小题，第17-18题10分，第19-21题12分，第22题14分，共70分.第23题为

附加题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知两点A（—3,4）,5（3,2）,过点P（LO）的直线/与线段A3有公共点.

（1）求直线/的斜率上的取值范围；

（2）求直线/的倾斜角a的取值范围.

【答案】（1）（e,T]U[l,y）;（2）450<a<135°.

【分析】

（1）在平面直角坐标系中作出线段AB,标出点P（l,0）,计算七,以及左即，数形结合可得&2%/或％4即.，

即可求解;

(2)直线/的倾斜角介于直线P8与小的倾斜角之间求出小、/>8的倾斜角，即可求解.

【解析】

如图,由题意可知即小号=一1，%=言=1，

(1)要使/与线段A8有公共点,

则直线/的斜率&的取值范围是：kN%或kN%,即01或心T,

所以直线/的斜率左的取值范围田)；

(2)由题意可知直线/的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，

又尸8的倾斜角是45,小的倾斜角是135，

所以倾斜角a的取值范围是45<a<135.

18.已知圆C满足：圆心在直线*+y=0上，且过圆G：x2+yJ2x+10y-24=0与圆

C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点A,B.

(1)求弦AB所在直线的方程：

(2)求圆C的方程.

【答案】(1)x-2y+4=0；(2)圆C:x2+y2+6x-6y+8=0.

【分析】

(1)利用两圆的方程相减后可得弦4B所在直线的方程.

(2)利用圆系方程可求圆C的方程.

【解析】

(1)因为圆G：Y+V-2工+lOy-24=0,圆C2：/+V+2x+2y-8=0,

且它们的交点为A5,

故的直线方程为：x2+/-2x+10y-24-(x2+r+2x+2y-8)=0,

整理得到A8的直线方程为：x-2y+4=0.

(2)设圆C的方程的方程为：x2+y2+2x+2y-8+A(x-2y+4)=0,

整理得至U圆C:x2+y2+(2+/l)x+(2—2/l)y-8+4/l=0,

故C[-等,1),因为C在直线x+y=O上,故-学+2-1=0,

故2=4,故圆C:x?+V+6尤-6y+8=0.

19.已知圆C的圆心在直线2x—y—3=0上，且经过点A(5,2),3(3,2),

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线/过点P(2,l)且与圆C相交，所得弦长为26，求直线/的方程；

(3)设Q为圆C上一动点，。为坐标原点，点尸(2,1),试求△OP。面积的最大值.

【答案】(1)(x-4)2+(y-5)2=10；⑵x=2或y：；(3)3+—.

422

【分析】

(1)设出圆心C的坐标，根据|C4「=|C<求得圆心坐标，求得圆的半径进而求得圆的标准方程.

(2)对/的的斜率分成存在和不存在两种情况，结合勾股定理、弦长公式来求得直线/的方程.

(3)结合点到直线距离公式求得圆上的点到直线O尸的距离的最大值，由此求得△OP。面积的最大值.

【解析】

(1)•.•圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，设C(a,2a-3),

由圆经过点A(5,2),8(3,2),可得|C4『=|C8『，

B|J(a-5)2+(2(z-3-2)2=(a-3)2+(2a-3-2)2,解得a=4.

故圆心C(4,5),半径为r=|C4|=J(a-5)2+(2a-3-2)2=M,

故圆C的标准方程为(x-4>+(y-5)2=10.

(2)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,弦心距等于2,满足弦长为2卡，符合

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-l=k(x-2),即丘-y+l-2A=0.

此时，弦心距小安¥=%1

yjk2+lyjk2+l

由/+(遥产=严解得％==3,故直线/的方程为y=4=X-1：.

442

综上可得，所求的直线/的方程为x=2或y=；3x-]1.

(3)直线。P的方程为y=1x,即x-2y=0,故圆心到直线的距离为d=H；2x5|=&|

2V4+T5

故圆上的点到直线。p的距离最大为d+r=¥+Jib.再由==逐，

可得△0P。面积的最大值为；Jo叶(d+r)=3+半.

20.在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2-4x=0的圆心为M.

(1)求过点P(0,—4)且与圆相交所得弦长为2夜的直线方程：

(2)若过点P(0,-4)且斜率为k的直线/与圆M相交于不同的两点A,B,设直线。4。8的斜率分别为

kl,42.求证:kl+/f2=-l.

【答案】(1)X7-4=0或7x-y-4=0；(2)证明见解析.

【分析】

(1)设直线方程，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得圆心到直线的距离，从而得出直线方程，注意

讨论斜率不存在的直线；

(2)直线/方程为丫=履-4,设4(西,弘),8(々,%),直线方程代入圆方程应用韦达定理得王+々，&了2，然后

代入K+&可得.

【解析】

(1)圆M标准方程是(x-2)2+y?=4,圆心为M(2,0),半径r=2,

所以圆心到直线的距离为d=J,_(0)2=0,

因此斜率不存在的直线不合题意，直线斜率存在,

设直线方程为y=〃a-4,即见-丫-4=0,

所以1--..=叵,解得力=1或7.

+1

直线方程为x-y-4=0或7x-y-4=0；

(2)直线/方程为y=H-4,设4(%,州),8区,必),

由=°得(1+/)/—4(2左+l)x+16=0,△=16(2%+1)2-64(1+r)>0,解得及>：.

所以］+公,x}x2=-^-^,

所以仁+公=&+&==(--4)々+依2-4)/

"x}x2x}x2XyX2

=2"/-43+与)=2._4(芭+々)=2k-(2k+1)=-1

XyX2XyX2

22o

21.已知：双曲线与一春_=1(«>0,b>0)的离心率为彳且点卜2a,右)在双曲线上.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若双曲线的左顶点为a，右焦点为用，p为双曲线右支上任意一点，求心・尸思的最小值;

(3)若M是双曲线左支上任意一点，尸|为左焦点，写出|M制的最小值.

【答案】(1)--^-=1;(2)-4；(3)I.

45

【分析】

(1)根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；

(2)设P(x,y)(xN2),写出向量即利用二次函数求最值；

(3)设M(x,y)为双曲线左支上任意一点，求I例6I,利用二次函数求最值.

【解析】

c_3

a-2

Q5

(1)由题意有,/-层■=1，解得/=4,Z?2=5,

c2=a2+b2

故双曲线的标准方程为工-£=1;

45

(2)由已知得4(—2,0),入(3,0),设P(x,y)(xN2),则可=(—2—x,—y),%=(3—x,—y),

所以P\-=x2-x-6+y2=x2-x-6+^x2-5=^x2-x-ll=^x-^-,

因为x22,所以当x=2时，%取得最小值，且最小值为4

(3)设为双曲线左支上任意一点,

因为左焦点6(-3,0),

所以|A/月|=J(x+3)2+),2=J(x+3/+-x2—5-x~+6x+4(x4—2),

94

由y=一尸+6x+4(xW—2),对称轴为工=—>—2知，

43

9

当x=-2时，ymin=-x4-2x6+4=l,

所以I峙Ln=L

22.已知椭圆E：4+4=1(a>b>0)的左、右焦点分别为耳,鸟，离心率为e=立，过左焦点K作直线

a~b~2

4交椭圆E于A,8两点，AA8心的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线4：*kx+m(km<0)与圆。：V+丁=1相切，且与椭圆E交于M,N两点，|町|+加巴|是否存

在最小值？若存在，求出|砥|+|叫|的最小值和此时直线4的方程.

2

【答案】(1)—+v2=l;(2)最小值为2,x-VIy-6=0或x+应y-6=o.

4

【分析】

⑴由椭圆定义结合已知求出。，半焦距c即可得解；

⑵由直线4与圆。相切得病=二+1,联立直线4与椭圆E的方程消去y,借助韦达定理表示出阿闾+|N闾,

利用函数思想方法即可作答.

【解析】

(1)依题意，结合椭圆定义知的周长为4a,则有4。=8,即L=2,

又椭圆的离心率为e=£=3,得。=百，于是得〃=。2一。2=1,

a2

所以椭圆E的方程为三+丁=1；

4-

(2)因直线4：y=kx+m(km<0)与圆。：/+丁=1相切，则］崇!1=1，即疗=公+1，

设加(5,乂),%(々,%)，(㈤42,同42),而点M在椭圆E上，则五+弁=1,即4=1-五，又6(6,0),

+4=|彳入一2|=2-—x,

|明|二向二3&7=t

同理|N周=2-4*2，于是得|“"+|八闾=4一3（％+々）,

y=kx+m

由2_消去y得：（1+4公）x2+8knr+4//?_4=0,显然A>0,则为+々=-黑7

,T+'-'

又km<0,且疗=二+1,因此得x_8|%|_8#(*+1),

*2-1+叱-4k2+1

令"4公+121,则0+々=2J—持=2J—3(；-+'4竽,当且仅当;=；,即t=3时等号成立,

于是得|"K|+|N可存在最小值，且|MF1+|N用=4-#(占+*2)之2,|g|+|N闾的最小值为2,

/n2=k2