测试系统的基本特性

第三章测量系统的基本特性1、了解测量系统的数学描述2、理解线性定常系统基本特性3、掌握测量系统的静态、动态特性4、理解动态测量误差及补偿本章学习要求：

测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称，由传感器、信号调理与处理、显示记录等环节组成。

简单测试系统(光电池)V一、测量系统的数学描述复杂测试系统(轴承故障检测)

加速度计带通滤波器检波器自动检测系统实例独立单元

黑盒子:只关注测试系统的输入输出间的关系输入：系统激励

x输出：系统对输入的反映，也称为系统响应

y测试系统输入x输出y传感器信号调理数据采集计算机对象

无论测量装置复杂程度如何，把它作为一个系统来看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。工程测试中需要解决的三个方面的实际问题系统辨识:已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性响应预测:已知系统的输入量和传递特性，求系统的输出量载荷识别:已知系统的传递特性和输出量，推知系统的输入量系统h(t)输入x（t）输出y(t)测试系统的基本要求

理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。

xy线性xy线性xy非线性例：余弦信号通过非线性系统（二极管），则输出被整流，其频率成分被改变。输出信号yx0y(t)|X(

)|

0|Y(

)|

02

0非线性系统特性输入信号tx(t)一阶常系数线性微分方程

一阶线性定常测量系统实例分析1弹簧阻尼系统输入力x(t)、输出位移y(t)的微分方程液柱式温度计输入温度x(t)和输出显示y(t)的微分方程

X(t)y(t)实例分析2动圈式仪表的振子系统

系统的输入为被测电流i(t)，输出为转子的偏转角度θ(t)，根据系统的动力学特性可以建立以下运动微分方程：

式中，J为振子转动惯量；C为阻尼系数；kθ为张紧弹簧扭转刚度；ki为电磁转矩系数弹簧质量阻尼系统输入力F(t)和输出位移y(t)的微分方程为

式中，m质量；C阻尼系数；K弹簧刚度二阶常系数线性微分方程

二阶线性定常测量系统

一般测量系统输入x(t)和输出y(t)间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。其中：a0，a1，…，an和b0，b1，…，bm均为常数，则称该系统为定常线性系统或时不变线性系统。叠加性：

当几个输入同时作用于线性系统时，则其响应等于各个输入单独作用于该系统的响应之和线性系统的各个输入所产生的输出是互不影响的线性测试系统可以测量各种复杂信号研究：复杂信号简单信号，简化测试复杂输入一系列简单输入一系列简单响应之和二、线性定常系统的基本特性比例特性：对于任意常数a，必有若线性系统的输入扩大k倍，则其响应也将扩大k倍测试系统可以测量量程内大小不同的信号可微性系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数同频性：若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）信号则系统的稳态输出必是、也只是同频率的简谐信号

在测试工作中的作用

测量信号受到其它信号或噪声的干扰时：分清/确认信号，排除干扰：依据频率保持特性，可以认定测得信号中只有与输入信号相同的频率成分才是真正由输入引起的输出，其它频率成分就是干扰，设法剔除，得到测试信号主要频率成分1、测量系统的静态特性

如果测量时，测试装置的输入、输出信号不随时间而变化，则称为静态测量。静态测量：理想线性系统：y=(b0/a0)x=Sx

y与x是单调、线性、比例关系实际线性系统：静态特性：在静态测量的情况下，描述实际测试装置与理想定常线性系统

的接近程度。表示静态响应特性的参数，主要有灵敏度、非线性度和回程误差等。

测试系统输入X输出Y测量范围

正常工作条件下，测试系统能够测量的输入量范围通常以测量范围的下限值Al和上限值Ah来表示例如：测温仪测量范围-50℃

～+150℃、±100℃在测量范围内，测试系统的性能有保证

*量程：满度值F.S（FullScale)

测试系统能承受最大输入量的能力测量范围上限值与下限值的代数之差

例如：测温仪的量程200℃*过载能力：承受超过量程而不损坏精度的能力

例如：过载能力≤150%F.S、200％F.S静态特性基本参数当特性曲线呈非线性关系时，灵敏度的表达式为：xxyyy△y△y△x△x00(a)(b)x灵敏度：测试系统对输入量变化反应的能力——放大输入x有一个变化量∆x，它引起系统输出y发生相应的变化量∆y，则定义灵敏度对于理想的定常线性系统，灵敏度为灵敏度的量纲：输出量纲/输入量纲（如：V/mm，V/℃，mV/℃，mV/g）

灵敏度越高越敏感，易受干扰分辨率：测试系统有效辨别输入量最小变化的能力以最小单位输出量所对应的输入量来表示模拟测试系统，是用其输出指示标尺最小分度值的一半所代表的输入量来表示其分辨力，如0.1℃数字测试系统，其输出显示系统的最后一位所代表的输入量即为该系统的分辨力——分度值

±5V

±2048，则分辨率为测试系统所能检测出来的输入量的最小变化量，与灵敏度有密切的关系，为灵敏度的倒数灵敏度：单位输入的系统响应量大小5mv/mm分辨率：单位响应对应的系统输入量0.001mm非线性度：

测试系统的特性曲线与拟合直线的接近/偏离程度表示形式拟合直线的确定：影响非线性度两端点连线法最小二乘法0yyixy=kx+bxI最小二乘拟合法最小二乘法拟合若实际测试点有n个，则第i个数据与拟合直线上响应值之间的残差为最小二乘法拟合直线的原理就是使为最小值，即Δi=yi-(kxi+b)重复性：标定值的分散性系统的输入量按同一方向做全量程连续多次变动时，静态特性不一致的程度。重复性定义为:

△R是一种随机误差，根据标准偏差计算

K为置信因子，K＝3时置信度99.73%yx△R-最大偏差YA量程0YA△H回程误差：迟滞、滞后、滞环系统的输入量由小增大（正行程）和由大减小（反行程）两者静态特性不一致的程度。回程误差定义为:

迟滞原因：测试系统的机械部分的摩擦和间隙、敏感结构材料等的缺陷、磁性材料的磁滞等一个电子秤称重加砝码10g---50g---100g---200g电桥输出0.5mv---2mv---4mv---10mv减砝码输出1mv---5mv---8mv---10mv精度：描述测量准确的可信程度——测量结果与被测真值一致的程度用准确度等级指数表示以最大引用误差来分级作为标准代表允许误差的大小，不是实际出现的误差ΔLmax——最大绝对误差与精度有关指标：精密度、准确度和精确度(精度)准确度：说明传感器输出值与真值的偏离程度。准确度是系统误差大小的标志。精密度：说明测量传感器输出值的分散性，精密度是随机误差大小的标志。精确度：是精密度与准确度两者的总和，精确度高表示精密度和准确度都比较高。（a）准确度高而精密度低（b）准确度低而精密度高（c）精确度高稳定性:不受时间变化影响的能力在规定工作条件范围之内，在规定时间内，测试系统性能保持不变的能力。

表示法：重复性的数值差/观测时间例如：2.1mV/8h、1％F.S/Y测试系统内部各个环节性能不稳定引起测试系统内部温度变化引起时间范围：一个小时、一天、一个月、半年或一年零漂：测量系统在零输入状态下，输出值的漂移时间零漂（时漂）：在规定时间和条件下，输出值的漂移温度漂移（温漂）：测量系统在温度变化时其特性的变化

工作温度-196～+200℃测量范围0.001～800MPa重复性0.5～1%FS灵敏度0.2～1000PC/MPa非线性0.3～1%FS迟滞1%FS固有频率75～500kHz温度漂移0.02～0.5%FS/℃加速度灵敏度0.01～100MPa/g灵敏度温度系数0.02～0.5%/℃压电式加速度传感器常见性能参数测试单元S1输入X输出Y测试单元S2输出电阻输入电阻负载

在实际测量工作中，测量系统和被测对象之间、测量系统内部各环节相互连接必然产生相互作用。接入的测量装置，构成被测对象的负载；后接环节成为前面环节的负载。彼此间存在能量交换和相互影响，以致系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加(并联)或连乘(串联)。负载效应

减小负载效应误差的措施：

(1)提高后续环节(负载)的输入阻抗。

(2)在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗、低输出阻抗的放大器，以便减小从前一环节吸取的能量，减轻负载效应的影响。

(3)使用反馈或零点测量原理，使后面环节几乎不从前面环节吸取能量。负载效应

ER1R2V=ER2/(R2+R1)V=ER2Rm/[R1(Rm+R2)+RmR2]VRm令R1=100K,R2=150K,Rm=150K,E=150V,得:U0=90V,U1=64.3V，误差达28.6%。若将电压表测量电路负载电阻加大到1MΩ，则U1=84.9V，误差减小为5.76%

动态特性是指测量系统的输出对随时间快速变化的输入量的响应特性：除理想状态，多数传感器的输入信号是随时间变化的，输出信号一定不会与输入信号有相同的时间函数，这种输入输出之间的差异就是动态误差。例：动态测温

水温T℃热电偶环境温度To℃T＞To2、测量系统的动态特性时间响应和频率响应是动态测试过程中表现出的重要特征（1）传递函数

从数学上可以用常系数线性微分方程表示系统的输出量y(t)与输入量x(t)的关系，这种方程的通式如下：

式中，an、an-1、…、a1、a0和bm

、bm-1、…、b1、b0均为与系统结构参数有关但与时间无关的常数。

零初始条件下，拉普拉斯变换（拉氏变换）的定义为测试系统输入X（t）输出Y（t）可以记为式中s是复变量微分特性对上式取拉氏变换，并认为和及它们的各阶时间导数的初值为零，则得

上式等号右边是一个与输入无关的表达式，它只与系统结构参数有关，因而等号右边是测量系统特性的一种表达式，是一个描述测量系统转换及传递信号特性的函数。传递函数

传递函数的物理意义：1）传递函数反映了测量系统的固有特性，不随输入信号、输出信号的变化而变化；2）不同类型的测量系统可用同一种形式的传递函数表达。3）传递函数与微分方程等价。

（2）频率响应函数对于稳定的常系数线性系统，可用傅里叶变换代替拉氏变换

称为测量系统的频率响应函数，简称为频率响应或频率特性。频率响应是传递函数的一个特例，是在频域对系统传递信息特性的描述。

频率响应函数是一个复数函数，可表示为：其中

——系统的幅频特性

——系统的相频特性

——幅频特性曲线

——相频特性曲线

H（jω）=P（ω）+jQ（ω）

H（jω）=A（ω）ejφ(ω)

对数幅频特性曲线：20logA(

)(dB)-log

对数相频特性曲线：

(

)-log

实际用伯德图（Bode）一阶系统的Bode图-40-20020L(

)/dB

-20dB/dec

(

)/

-90º-45

0

依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位，得到幅值比Ai、相位差φi。依据：频率保持性若x(t)=Acos(ωt+φx)

则y(t)=Bcos(ωt+φy)用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得。频率响应函数:直观的反映了测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况。

从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅值比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。

幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。A(

i)=Yi/Xi,

(

i)=

iA(

)动态测量系统的灵敏度(3)脉冲响应函数

若装置的输入为单位脉冲δ(t)，因δ(t)的拉普拉斯变换为1，傅立叶变换为1，因此装置的输出y（t）的拉普拉斯变换是H（s），即

Y（s）=H（s），或y（t）=L-1[H（S）]=h（t）

h（t）称为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。动态特性：传递函数——复数域描述频响函数——频域描述脉冲响应函数——时域描述h(t)H(s)H(

)傅里叶变换拉普拉斯变换s=j

高阶系统的分解其中，。

任何一个高于二阶的系统都可以看成是若干个一阶和二阶系统的并联或串联，一阶和二阶系统是分析和研究高阶、复杂系统的基础。串联环节H1(s)H2(s)Hn(s)X(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Y(s)

...H(s)H(s)=H1(s)H2(s)···

Hn(s)X(s)Y(s)并联环节Y(s)H1(s)+X(s)H2(s)

++Hn(s)...H(s)X(s)Y(s)H(s)=H1(s)+H2(s)+

+Hn(s)(1)一阶系统3、典型系统的动态特性温度酒精湿度3、典型系统的动态特性（1）一阶系统一阶测量系统微分方程的通式式中：——具有时间的量纲，称为系统的时间常数，一般记为τ——系统的灵敏度s，具有输出/输入的量纲。

在讨论任意测量系统时，令=1

则τ=c/k一阶系统的传递函数频率特性幅频特性相频特性一阶系统的Bode图-40-20020L(

)/dB

-20dB/dec

(

)/

-90º-45

0

由图中看出，一阶系统时间常数越小，频率响应特性越好。脉冲响应一阶系统阶跃响应（2）二阶系统加速度典型二阶测量系统的微分方程通式为传递函数：

频率响应函数：幅频特性：相频特性：式中:——测量系统的固有频率弹簧－质量－阻尼系统式中——测量系统的阻尼比二阶系统的Bode图0.1110-40-30-20-1001020

=0.05

=0.1

=0.2

=0.3

=0.5渐近线L(

)/dB

/

n

=0.7

=1.0-18000.1110-90

(

)/

/

n

=0.05

=0.1

=0.2

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0可见系统的频率响应特性好坏，取决于系统的固有频率和阻尼比二阶系统的阶跃输入和响应

二阶系统的脉冲输入和响应

特征：振荡4.实现不失真测试的条件

设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系

y(t)=A0x(t-t0)

该系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已。这种情况下，认为测试系统具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)时域条件

y(t)=A0x(t-t0)

Y(jω)=A0e-jωt0X(jω)

不失真测试系统幅频特性和相频特性应分别满足

A(ω)=A0=常数

φ(ω)=-t0ω做傅立叶变换

频域条件幅值失真：不等于常数所引起的失真。

相位失真：与不是线性关系所引起的失真。

应该指出：

满足上式波形不失真的条件后，装置的输出仍滞后于输入一定的时间。如果测量的目的只是精确地测出输入波形，那么上述条件完全满足不失真测量的要求。

如果测量的结果要用来作为反馈控制信号，那么还应当注意到输出对输入的时间滞后有可能破坏系统的稳定性。这时应根据具体要求，力求减小时间滞后。

信号中不同频率成分通过测量系统后的输出

各输出信号相对输入信号有不同的幅值增益和相角滞后。对实际测量装置，即使在某一频率范围内工作，也难以完全理想地实现不失真测量。人们只能努力把波形失真限制在一定的误差范围内。为此，首先要选用合适的测量装置，在测量频率范围内，其幅、相频率特性接近不失真测试条件。其次，对输入信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪声。

5、一、二阶测量系统不失真条件讨论1）一阶测量系统

对一阶系统而言，如果时间常数越小，则装置的响应越快，近于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶装置的时间常数，原则上越小越好。转折频率一阶系统动态测量误差：标准：理想一阶系统动态幅值误差和相位误差为不同频率下的动态幅值误差如下表所示－3dB2）二阶测量系统ω＜0．3ωn：φ(ω)的数值较小，且φ(ω)—ω特性曲线接近直线。A（ω）在该频率范围内的变化不超过10％，波形输出失真很小。ω＞（2.5～3）ωn：φ(ω)接近180o，在实际测量电路中或数据处理中减去固定相位差或把测量信号反相180o，则其相频特性基本上满足不失真测量条件。但是此时输出幅值太小。ω在（0.3ωn，2.5ωn）区间：一般来说，在ζ>0.6～0.8时，可以获得较为合适的综合特性。当ζ=0.7O7时，在0～0.58ωn的频率范围内，A（