【同步训练】浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形4.7图形的位似（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考）（含解析）

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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形

4.7图形的位似

【知识重点】

知识点一：位似图形的概念：一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.

注意：位似图形必须同时满足两个条件：

1.两个图形是相似图形；

2.两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点．

知识点二：1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.

2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点.

如图所示.

知识点三：位似图形的性质

1.位似图形的对应角相等，对应边成比例.

2.位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点，这个点就是位似中心.

3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.

4.位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.(仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况)

5.两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

知识点四：画位似图形

画位似图形的一般步骤：

1.确定位似中心(位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点)，并找出原图形的关键点；

2.分别连接位似中心和原图形的关键点；

3.根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置；

4.顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.

知识点五：坐标原点为位似中心位似图形的性质

当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx,－ky）.

【经典例题】

【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是.

【例3】如图，与是位似图形，点O是位似中心，，，求DE的长.

【例4】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（）

A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2

【例5】如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（）

A．4B．6C．16D．18

【基础训练】

1．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（）

A．B．C．D．

2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A．B．C．D．

3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（）

A．1：2B．1：3C．1：9D．9：1

4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（）

A．3B．4C．9D．16

5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）

A．B．

C．或D．或

6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（）

A．6B．9C．18D．27

7．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（）

A．4B．6C．16D．18

8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为．

9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为．

10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点.若，则的长为.

11．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1).试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的。

12．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点为放映机的光源，是胶片上面的画面，为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是，放映的银幕规格是，光源与胶片的距离是，则银幕应距离光源多远时，放映的图象正好布满整个银幕？

13．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.

（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；

（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和关于点E成中心对称，

⑴在图中标出点E，且点E的坐标为；

⑵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的，此时的坐标为，的坐标为；

⑶若和关于点F成位似三角形，则点F的坐标为.

15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.

（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；

（2）若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标.

16．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．

(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；

(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为．

【培优训练】

17．在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（）

A．B．

C．或D．或

18．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（）

A．位似中心是点B．位似中心是点

C．位似比为D．位似比为

19．如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（）

A．B．C．D．

20．如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（）

A．B．C．D．

21．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（）

A．平移B．对称C．位似D．旋转

22．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是．

23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为．

24．如图，在中，O是的中点，以点O为位似中心，作的位似图形.若点A的对应点D是的重心，则与的位似比为.

25．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上．

（1）若点的坐标为，直接写出点和点的坐标；

（2）若正方形的边长为，求点的坐标．

26．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.

（1）沿OA的方向放大为原图的2倍；

（2）沿AO的方向放大为原图的2倍．

27．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点在格点上，请使用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，以点O为位似中心，作格点，使它与的位似比为2：1；

（2）在图2中，作格点（D与B不重合），使它与相似，且AC为公共边，∠A为公共角.

28．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上．

（1）以点为位似中心，将放大2倍后得到，画出；

（2）找出的中点C，将绕点C旋转得到，画出．

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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）

4.7图形的位似

【知识重点】

知识点一：位似图形的概念：一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.

注意：位似图形必须同时满足两个条件：

1.两个图形是相似图形；

2.两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点．

知识点二：1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.

2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点.

如图所示.

知识点三：位似图形的性质

1.位似图形的对应角相等，对应边成比例.

2.位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点，这个点就是位似中心.

3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.

4.位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.(仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况)

5.两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

知识点四：画位似图形

画位似图形的一般步骤：

1.确定位似中心(位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点)，并找出原图形的关键点；

2.分别连接位似中心和原图形的关键点；

3.根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置；

4.顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.

知识点五：坐标原点为位似中心位似图形的性质

当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx,－ky）.

【经典例题】

【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是．

【答案】（3，1）

【解析】∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，

∴位似比为3：1.

∵A（9，3），

∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.

故答案为：（3，1）.

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是.

【答案】（6，3）

【解析】∵原点O是位似中心

∴△ABC与△DEF位似

∴

∴DE=6

过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴

∵A（1,0）B（2,1）,D为OG的中点，OD=DG=3，且OD=OH，E的横坐标为6，纵坐标为3.

故答案为：(6,3).

【例3】如图，与是位似图形，点O是位似中心，，，求DE的长.

【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，

∴△ABC∽△DEF，

∵OA=AD，

∴位似比是OB：OE=1：2，

∵AB=5，

∴DE=10.

【例4】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（）

A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2

【答案】D

【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，

∴AB：DE=OA：OD=1：2，△ABC∽△DEF，

∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2

故答案为：D

【例5】如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（）

A．4B．6C．16D．18

【答案】D

【解析】∵与是位似图形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵的面积为2，

∴的面积为18，

故答案为：D.

【基础训练】

1．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为1：2，C（3，2），

∴C′（3×2，2×2），即（6，4）.

故答案为：C.

2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设直线AD的解析式为y=kx+b，

将点A（1，2），D（3，4）代入得，

解得，

∴直线AD的解析式为y=x+1，

∵直线AD与直线BEx轴的交点坐标即为位似中心，

∴当y=0时，x=-1，

∴位似中心的坐标为，

故答案为：A

3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（）

A．1：2B．1：3C．1：9D．9：1

【答案】C

【解析】在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，

，

，

，，

，即，

故答案为：C.

4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（）

A．3B．4C．9D．16

【答案】C

【解析】∵与位似，

∴与相似，

∵，

∴，

又∵的面积为1，

∴.

故答案为：C.

5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）

A．B．

C．或D．或

【答案】C

【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点P的坐标为，

则点P的对应点的坐标为或，

即或，

故答案为：C．

6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（）

A．6B．9C．18D．27

【答案】C

【解析】∵，

∴，

∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，

∴、，

∴△OAB∽△ODE，

∴，

∵，

∴，

∴.

故答案为：C.

7．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（）

A．4B．6C．16D．18

【答案】D

【解析】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，，

∴，

则四边形面积为18．

故答案为：D．

8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为．

【答案】

【解析】∵和是以点为位似中心的位似图形，，

∴，

∴和的周长之比为，

故答案为：

9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为．

【答案】

【解析】由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，

∴位似比为2：1.

∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，

∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6

故本题答案为：（4，6）.

10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点.若，则的长为.

【答案】9

【解析】∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，

∴，∵，∴，故答案为：9.

11．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1).试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的。

【答案】解：如图所示：

四边形A′B′C′D′即为所求．

12．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点为放映机的光源，是胶片上面的画面，为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是，放映的银幕规格是，光源与胶片的距离是，则银幕应距离光源多远时，放映的图象正好布满整个银幕？

【答案】解：图中是的位似图形，

设银幕距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕，

则位似比，解得).

答：银幕应距离光源为时，放映的图象正好布满整个银幕．

13．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.

（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；

（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.

【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：

（0，-2）

（2）解：如图所示：即为所求.

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和关于点E成中心对称，

⑴在图中标出点E，且点E的坐标为▲；

⑵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的，此时的坐标为▲，的坐标为▲；

⑶若和关于点F成位似三角形，则点F的坐标为▲.

【答案】解：⑴如图，连接，则的中点E即为所求；

；（0，－1）；

⑵∵点P（a，b）的对应点的坐标为（a－6，b+2），

∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到，

如图，即为所求；（－3，4）；（－2，2）；

⑶连接交于点F，点F即为所求；（－3，0）

15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.

（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；

（2）若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标.

【答案】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）解：；

16．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．

(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；

(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为．

【答案】解：⑴如图，点P为所作；

故答案为：；

⑵如图，为所作；

⑶．

【解析】（3）点M在中的对应点的坐标为．

故答案为：．

【培优训练】

17．在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（）

A．B．

C．或D．或

【答案】C

【解析】∵与关于点O位似，且，

∴与的相似比为，

∵点E的坐标为，

∴点的坐标为或，

即或，

故答案为：C.

18．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（）

A．位似中心是点B．位似中心是点

C．位似比为D．位似比为

【答案】C

【解析】

如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，

∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，

故答案为：C。

19．如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】∵和是以原点为位似中心的位似图形，

∴，

故答案为：B

20．如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.

故选：D.

21．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（）

A．平移B．对称C．位似D．旋转

【答案】C

【解析】、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；

、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；

、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；

、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；

故答案为：．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是．

【答案】或

【解析】∵，以原点O为位似中心，相似比为，

∴点B的对