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全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷2018.05一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.函数（）的值域为．2.设集合和，其中符号表示不大于的最大整数，则．3.已知方程在区间内恰有两个实根，则的取值范围是．4.已知的三个角、、成等差数列，对应的三边为、、，且、、成等比数列，则．5.已知点，，，经过点，的直线和经过，的直线与直线（）所围成的平面区域为，已知平面矩形区域中的任意一点进入区域的可能性为，则．6.袋中装有个红球和个白球，.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为．7.已知关于的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是．8.已知圆围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆围成的封闭区域上（含边界）整点数的，则正实数的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.设函数，（1）求在区间（为正整数）的最大值；（2）令，（，为正整数），求证：.10.如图，矩形沿平行于的线段向上翻折（点在线段上运动，点在线段上运动），得到三棱柱，已知，.（1）若是直角三角形，这里是线段上的点，试求线段的长度的取值范围；（2）若（1）中的长度为取值范围内的最大整数，且线段的长度取得最小值，求二面角的值；（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥的体积.11.已知正整数都可以唯一表示为（*）的形式，其中为非负整数，（），.试求（*）中的数列，，，…，严格单调递增或严格单调递减的所有正整数的和.试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4.5. 6.3 7.或 8.三、解答题9.解：（1）因为，所以，当时，，即在是增函数，故在上的最大值为（2）由（1）知因为，所以又易证明，所以所以即10.（1）有题设条件可知，均为直角三角形，因此，由余弦定理：，于是：，所以：，又对，，，则：，故：的取值范围为.（2）因为，，所以就说二面角的平面角，又由（1）知，的长度为的最大整数，因此.于是：，因此时，线段的长度取得最小值，由此得：，.（3）由（1）、（2）知，，，，且.因为，，，所以：平面，故：11.设和分别表示（*）中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号表示数集中所有数的和，并将满足（*）式的正整数记为：把集合分成如下两个不交子集和，我们有.，令，则是到的双射，由此得：，从而：.又对，令，则是到的双射，其中：.因为，所以中共有个元素，因此又令表示中最高位数的正整数全体，中其余的数和零所成集合记为，则对，令则是到的双射，其

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