数分课件第一章

§1.4复合函数反函数初等函数一.复合函数二.反函数三.初等函数四.双曲函数与反双曲函数一、复合函数在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间t的函数关系y

=

sin(

w

t

+

j

)就是由三角函数y

=sin

u

和线性函数u

=w

t

+j“叠置”而成的，设

y

=

u,u

=

1

-

x

2

,y

=

1

-

x

2定义:设函数

y

=

f

(u)的定义域D

f

,

而函数u

=

j(

x

)

的值域为Z

j

,

若Df˙

Zj

„˘

,

则称函数y

=f

[j(x

)]为x

的复合函数.u

‹中间变量,x

‹

自变量,

y

‹

因变量,注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;Zj

Df„

˘例如y

=arcsin

u,——复合条件u

=

2

+

x2

;

y

„

arcsin(2

+

x2

)复合函数的定义域D

=

{x

|

x

˛

Dj$u

˛

Df

使u

=j

(x)˝

DjZj

˝

Df复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.x例如y

=cot2

,2y

=

u

,

u

=

cot

v,

v

=

x

.1

-

x

2

,

x

<

1;例1设

f

(x)

=

求

f

[

f

(x)].x

2

+1,

x

‡

1.解：f

[f

(x)]是由f

(u)与u

=f

(x)复合而成的复合函数.f

[

f

(x)]

=1

-[

f

(x)]2

,

f

(x)

<

1;[

f

(x)]2

+1,f

(x)

‡

1.=1

-[ 1

-

x

2

]2

,

0

<

x

<

1;x

‡

1.2

,

x

=

0;(x

2＋1)2

+1,f

(x)

<

10

<

x

<

1f

(x)

‡

1x

‡1或x

=0f

[

f

(0)]

=

f

2

(0)

+1

=

2.当0

<x

<1时，f

(x)

=

1

-

x2

.当x

‡1时，f

(x)

=

x

2

+1.当x

=0时，f

(0)=1,=1

-[ 1

-

x

2

]2

,

0

<

x

<

1;x

=

0;x

‡

1.=2

,(x2＋1)2

+1,x

,x

=

0;0

<

x

<

1;x

‡

1.=x

‡

1.-1

<

x

<

0;x

=

0;0

<

x

<

1;2

,x

4＋2x

2

+

2,-

x

,2

,x

,x

4＋2x

2

+

2,.例2设j(x),f

(x),y

(x)都是单调递增函数,证明若j

(x)£

f(x)£

y

(x)，则j[j

(x)]£

f

[f(x)]£

y

[y

(x)].证明:

j

(x)

£

f

(x)

£y

(x)\

j[j

(x)]

£

f

[j

(x)]

£y

[j

(x)]

f

(x)是单调递增函数且f

(x)£y

(x)\

j[j

(x)]

£

f

[j

(x)]

£

f

[

f

(x)]

£

f

[y

(x)]

£y

[y

(x)]即j[j(x)]£

f

[f

(x)]£y

[y

(x)].二、反函数y0y0xyx0DW函数y

=f

(x)oxx0DW反函数x

=j(y)o设函数

f

:

D

fif

-1

:

f

(D)

fi

D

,f

(D)是单射，则它存在逆映射称此映射f

-1为函数f的反函数.yf

:

X

fi

Yf

=

I

:

X

fi

X反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域显然有f

-1

f

-1

:

Y

fi

X(恒等变换）(恒等变换)f

f

-1

=

I

:Y

fi

Y(

f

-1)-1

=

f

:

X

fi

Y。函数

y

=

f

(x)

的反函数，记为

x

=

f

-1

(

y)直接函数y

=f

(x

)xyoQ(b,

a)P(a,

b)反函数y

=f

-1

(x)从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为y

=

f

-

1

(

x

)这样直接函数与反函数的图形关于直线

y

=

x

对称.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函

数有反函数。但1-1

对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子

3-x,0£x

<11£x

£2f

(x)

=

x,它的反函数即为它自己.0xyy

˛

Yf

(x)

=

yxyy

=

f

-1(x)实际求反函数问题可分为二步进行：(1).

确定f

:

X

fi

Y的定义域X和值域Y

，考虑1-1对应条件。固定，解方程x

=

f

-1

(

y

)得出。(2).按习惯，自变量、因变量互换，得.三 初等函数１、基本初等函数（1）.幂函数oxy

=xm

(m是常数)yy

=

x

2y

=

x11y

=

x(1,1)xy

=

1xOyay

=

xy

=

x3y

=

x3y

=

x1/

3y

=

x1/

3(a

>

0,

a

„

1)（2）.指数函数y

=a

xy

=

e

xy

=

a

xx1y

=

(a

)(a

>

1)(0,1)（3）.对数函数y

=

loga

x

(a

>

0,

a

„

1)

y

=

ln

x=

log

a

x=

log

1

xa(a

>

1)y(1,0)yxy1O-1-2p2-

3p2-

p-pp2p3p

22py

=sin

x的性质：周期为2p的周期函数有界函数|sinx|≤1特殊值：sin

2kp

p

+=

1

2

(sin

kp

=

0

sin

2kp

p

-=

-1

2

1,–2,

.k

=

0,–•Taylor(Maclaurin)公式3

57!5!1

1

1

3!2n-1(-1

)nx

+

(2n

-1)!x

+

x

-

x7

+

+sin

x

=

x

-y

=

sin

xxy1O-1-2p2-

3p2-

p-pp2p3p

22py

=cos

x的性质：周期为2p的周期函数有界函数|cosx|≤1特殊值：2

p

+

p

=

0

cos

kcos

2kp

)=1cos

(2k

+1)p

)=

-1k

=

0,–1,–2,

.•Taylor(Maclaurin)公式x2n

+

x4

-

x6

+

+6!

(2n)!1

(-1)n14!2!1cos

x

=1

-

x2

+y

=

cos

xxOy2p--pp2py

=

tan

xy

=

tan

xy

=tan

x的性质y

=tan

x的性质：周期为p的周期函数无界函数：lim tan

x

=

+¥xfi

-

+022lim tan

x

=

-¥pxfi

p

-02渐进线：x

=–p特殊值：tan(kp

)

=

0k

=

0,–1,–2,

.y

=tan

xxOy2-

p-pp2py

=

cot

xy

=cot

x的性质：2pxfi

p

-0xfi

-

+0周期为p的周期函数无界函数：lim cot

x

=

+¥lim cot

x

=

-¥2渐进线：x

=0,x

=p特殊值：cot

kp

+

p

=

0

2

k

=

0,

–1,

–2,

.3p

22p正割函数y

=

sec

xy

=

sec

x余割函数y

=

csc

xy

=

csc

x(5)反三角函数的图象幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子

表示的函数,称为初等函数.例32

,x

-

1,

x

‡

0

x

+

2,

x

<

0,

j(

x)

=x

‡

1

e

x

,

x

<

1

求f

[j(x)].设f

(x)=

x,解

j(

x),j(

x)

<

1j(

x)

‡

1f

[j(

x)]

=

ej(

x

)

,10当j(x)<1时,或

x

<

0,

j(

x)

=

x

+

2

<

1,x

<

-1;或x

‡0,j(

x)

=

x

2

-

1

<

1,0

£

x

<

2;20当j(x)‡1时,或x

<0,j(

x)

=

x

+

2

‡

1,或x

‡0,j(

x)

=

x

2

-

1

‡

1,-

1

£

x

<

0;x

‡

2;综上所述.

0

£

x

<

2x

‡

2-

1

£

x

<

0x

<

-1

x

+

2,2

ex

-1

,

x2

-

1,

ex+2

,f

[j

(

x)]

=

四、双曲函数与反双曲函数2e

x

-

e

-

x1.双曲函数双曲正弦sinhx

=D

:

(-¥

,+¥

),奇函数.2e

x

+

e

-

x双曲余弦cosh

x

=D

:

(-¥

,+¥

),偶函数.+

e

-

xe

x

-

e

-

xsinh

x双曲正切

tanh

x

=

=cosh

x e

xD

:

(-¥

,+¥

)奇函数,有界函数,2.反双曲函数反双曲正弦y

=arsinh

x

;y

=arsinh

x=

ln(

x

+

x

2

+

1).D

:

(-¥

,+¥

)奇函数,在(-¥

,+¥

)内单调增加.y

=

ar

sinh

x双曲函数常用公式sinh(

x

–

y)

=

sinhx

cosh

y

–

cosh

x

sinh

y

;cosh(

x

–

y)

=

cosh

x

cosh

y

–

sinh

x

sinh

y

;cosh2

x

-

sinh2

x

=

1;sinh

2

x

=

2

sinh

x

cosh

x

;cosh

2

x

=

cosh2

x

+

sinh2

x.反双曲余弦y

=ar

cosh

xy=

arcosh

x=

ln(

x

+

x2

-

1).D

:

[1,+¥

)在[1,+¥

)内单调增加.y

=

ar

cosh

x反双曲正切y

=

artanhx=

1

ln

1

+

x

.2 1

-

xD

:

(-1,1)奇函数,在(-1,1)内单调增加.y=

ar

tanh

xy

=

artanh

x五、经济学中的常用函数需求函数：商品的需求量Q看作价格p的函数。 记为Q=f(p)供给函数：商品的供给量Q看作价格p的函数。 记为Q=g(p)总收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。R=pQ,

其中p---产品的价