2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复平面内，对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为()

A.B.C.D.

3.已知的内角、、所对的边分别为、、，若，则等于()

A.B.C.D.

4.设，表示空间中两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，，，，则

5.已知，，则()

A.B.C.D.

6.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为()

A.B.C.D.

7.如图，圆锥的母线长为，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为()

A.

B.

C.

D.

8.在中，的外角平分线交的延长线于，若则的面积与面积的比值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是()

A.若复数满足，则

B.为纯虚数

C.

D.是方程的一个复数根

10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则()

A.B.C.D.

11.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则()

A.B.

C.D.外接圆的半径为

12.一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体已知四边形是边长为的正方形，点为半圆弧上一动点点与点，不重合，则()

A.三棱锥体积的最大值为

B.存在点，使得

C.当点为上的三等分点时，二面角的正切值为

D.当点为的中点时，四棱锥外接球的体积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在正方体中，与所成的角是______．

14.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为______．

15.已知复数满足，则的最大值为______．

16.抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊如图所示，为了测量抚仙湖畔，两点之间的距离，现取两点，，测得公里，，，，则，两点之间的距离为______公里．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知复数满足，且的虚部为．

求；

若，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，求．

18.本小题分

已知向量，，且．

求的值；

若是第二象限角，求和的值．

19.本小题分

如图，在几何体中，平面，，，，为上一点，，分别为，的中点．

证明：平面．

若，证明：平面平面．

20.本小题分

在中，角，，所对的边分别为．

求；

若为锐角三角形，且，求的取值范围．

21.本小题分

已知函数的部分图象如图所示将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象．

求的解析式；

求函数的单调递减区间；

若对任意，，恒成立，求的取值范围．

22.本小题分

如图，正方形和正方形的中心重合，，，、、、分别为、、、的中点，将图中的四块阴影部分裁剪下来，然后将、、、分别沿着、、、翻折，使得点、、、与点重合，得到如图所示的四棱锥．

求直线与底面所成角的余弦值；

若为的中点，求到平面的距离．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

可知其对应的点为，

位于第一象限．

故选：．

根据复数的运算化简，再根据复数的几何意义分析判断．

本题考查了复数的运算，复数的几何意义，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：由题意得直角梯形旋转一周所得几何体为圆台，

则圆台高，

上下底面面积为，，

该几何体的体积为．

故选：．

根据圆台的体积公式计算，即可得出答案．

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

3.【答案】

【解析】解：由于：

由正弦定理：；

所以；

故选：．

直接利用正弦定理的应用求出结果．

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

4.【答案】

【解析】解：若，则或，异面，故A错误；

若，则必有，，又，，，则，故B正确；

若，，则或，相交，故C错误；

若，，，，由于，可能平行不相交，故得不到，故D错误．

故选：．

根据线面平行概念判断，根据线面平行性质及面面垂直判定定理判断，根据平面位置关系判断，由面面平行判定定理判断．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为，解得，

所以．

故选：．

根据题意利用两角差的余弦公式可得，再切化弦运算求解．

本题考查两角差的余弦公式，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：因为，，所以，

所以在方向上的投影向量．

故选：．

先求出的坐标，再根据投影向量的定义求解．

本题考查了向量坐标的数量积和加法运算，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：设底面圆半径为，由母线长为，

所以侧面展开扇形的圆心角为；

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点，

最短距离为，如图所示：

在中，斜边的长度为：

，

解得，所以，

所以圆锥的表面积为．

故选：．

设底面圆半径为，由母线长求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理求出从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点的最短距离，列方程求出的值，再计算圆锥的表面积．

本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：如图，

由外角平分线定理知，，

所以的面积与面积的比值为．

故选：．

根据外角平分线定理求解即可．

本题主要考查了角平分线定理的应用，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：设复数，，，则，

若，则，可得，故A正确；

因为，不是纯虚数，故B错误；

设复数，，，则，

则，故C正确；

因为，

所以是方程的一个复数根，故D正确．

故选：．

根据复数的相关概念与运算逐项分析判断．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，

，

解得，

由，可知，

角为第二象限的角，所以，

，故A错误，B正确；

又，，故C、均正确．

故选：．

根据任意角的三角函数的定义列方程可求出，的值，从而可求出角的其它三角函数值．

本题考查任意角的三角函数的定义及其应用，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：由余弦定理可知，，故A正确；

由，解得，故C错误；

由，解得，故B正确；

因为，

所以三角形外接圆直径，即，故D错误．

故选：．

根据余弦定理可求出判断，由余弦的半角公式求出判断，再由余弦定理求出判断，由正弦定理求外接圆半径判断．

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：当到平面距离最大值时，

取得最大值，故选项A正确；

若存在点，使得，又，可得平面，

从而可得，在直角三角形不可能，故选项B错误；

当点为上的三等分点时，过作于，过作于，

则为二面角的平面角，如图，

中，故选项C正确；

当点为的中点时，可取的中点将四棱锥补成三棱柱，

则其外接球的半径为，如图，

四棱锥外接球的体积为，故选项D正确．

故选：．

转换顶点求体积可知，则取得最大值可求，故可判定选项A；

从反推平面可得，故可判定选项B；

利用二面角的平面角的作法，即可计算其正切值，故可判定选项C；

利用补形法可将四棱锥补成三棱柱，即可求得外接球的体积，故可判定选项D．

本题考查三棱锥的体积的最值的求解，线线垂直的判断，二面角的概念，四棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：如图，连结、和，

在正方体中，

由，，可知，

所以就是异面直线与所成角，

在正方体中，、和是其三个面上的对角线，它们相等．

所以是正三角形，

故异面直线与所成角的大小为．

故答案为．

通过平移直线作出异面直线与所成的角，在三角形中即可求得．

本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．

14.【答案】

【解析】解：函数在上有且仅有个零点，

由，，得，

所以，即，

所以的取值范围为．

故答案为：．

结合余弦函数的性质可得，进而求解即可．

本题主要考查余弦函数的性质，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：设，

，

则，表示以为圆心，为半径的圆，

表示圆上的点到点的距离，

故的最大值为．

故答案为：．

根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：在中，，

由正弦定理可得：，

即，

在中，，

所以，则，

在中，由余弦定理可得：，

即．

故答案为：．

在中，由正弦定理可得，在中，等边对等角可得，则在中，由余弦定理可得．

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属中档题．

17.【答案】解：设，

则，

所以，解得，

故；

由知，，所以，故，

，所以，，且为锐角，即，

所以．

【解析】根据复数的平方运算及复数相等列方程求出实部即可得解；

由复数的几何意义求出点，坐标，分别求出与即可得解．

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

18.【答案】解：因为，，，

所以，得，

所以，

因为，，所以，

因为是第二象限角，所以，，

所以，

．

【解析】由可得，然后利用诱导公式化简式子，再代入计算即可；

由结合及的范围，可求出，，再利用三角函数恒等变换公式化简计算即可．

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

19.【答案】证明：连接，，如图，

由，，可知四边形为平行四边形，

又为的中点，所以，，三点共线，且为的中点，

因为为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面，

所以，又，，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

又，所以四边形为正方形，

所以，又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面．

【解析】证明是的中点，利用中位线可得，由线面平行判定定理求解即可；

先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解．

本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．

20.【答案】解：，

因为，所以，

于是由，

因为，所以，

因此有；

由正弦定理得，所以，

所以

，

所以，

因为为锐角三角形，可得，解得，

所以，所以，所以，

所以

【解析】根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；

根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可．

本题主要考查了正弦定理，和差角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．

21.【答案】解：由图象知，，所以，

即，

又，所以，

因为，所以，

故，

由，可得，

所以．

由，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，

得到，

令，，

解得，

所以函数的单调递减区间为，．

由可得，对任意，恒成立，

所以只需，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以的取值范围是

【解析】根据“五点法”结合图象求函数解析式；

由图象的伸缩及平移变换得出函数解析式，利用余弦函数单调性求解；

由题意转化为，分别求出函数的最值即可得解．

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．

22.【答案】解：如图，取的中点，连接．

如图，连接、，设、的交点为，连接．

由题意得，所以，．

因为，四边形为正方形，则四棱锥为正四棱锥，

又因为，所以，平面，

所以，与底