电磁场与电磁波课件之镜像法

电磁场与电磁波课件之镜像法第1页，课件共30页，创作于2023年2月1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像

一.接地导体平面的镜像

上半场域边值问题(导板及无穷远处)(S为包围q的闭合面)(除q所在点外的区域)导体表面上感应电荷第2页，课件共30页，创作于2023年2月由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线与等位面的分布电偶极子的上半部分完全相同。z

电场线等位线电荷守恒：当点电荷q

位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。第3页，课件共30页，创作于2023年2月例求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷离地面高度为h方向指向地面整个地面上感应电荷的总量第4页，课件共30页，创作于2023年2月例真空中，电量为的点电荷位于点处，平面是一个无限大的接地导体板。⑴求轴上电位为的点的坐标；⑵计算该点的电场强度。解:⑴根据镜像法可知上半空间的电位由可解得第5页，课件共30页，创作于2023年2月将代入，得⑵当时，轴上的电场强度将代入，得当时，轴上的电场强度第6页，课件共30页，创作于2023年2月2.

线电荷对无限大接地导体平面的镜像在的上半空间中，电位函数为沿轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方其镜像电荷仍是无限长线电荷第7页，课件共30页，创作于2023年2月3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由４个点电荷所引起的。第8页，课件共30页，创作于2023年2月

q半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角等于

的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5

个镜像电荷。

/3

/3q若两导体平面相交成角,，为整数为个只要就可用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的，第9页，课件共30页，创作于2023年2月例线电荷密度为的无限长直导线位于无限大导体平板（处）的上方处，沿轴方向。试求该导体板上的点处的感应电荷密度。解:去掉导体平板，在处放置线电荷密度为的镜像线电荷替代其作用。P点电场强度为第10页，课件共30页，创作于2023年2月P点处的感应电荷面密度则为第11页，课件共30页，创作于2023年2月1.点电荷对接地导体球面的镜像

二.导体球面的镜像

设点电荷位于一个半径为的接地导体球外，与球心距离为。导体球面将产生感应电荷，导体球外的电位应由点电荷和感应电荷共同产生。这类问题可用镜像法求解。把导体球面移去，用一个镜像电荷来等效球面上的感应电荷。为了不改变球面上的电荷分布，镜像电荷必须放置在导体球面内。由于对称性镜像电荷应位于球心与点电荷的连线上。第12页，课件共30页，创作于2023年2月设镜像电荷，与球心距离为。任一点电位函数为导体球接地有第13页，课件共30页，创作于2023年2月解得（舍去）由惟一性定理，球外的电位函数为球面上的感应电荷面密度为导体球面上的总感应电荷为第14页，课件共30页，创作于2023年2月当点电荷位于接地导体球内，与球心距离为（）。镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷的连线的延长线上。设镜像电荷，与球心距离为。可得由于，所以必有。即在这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量。球壳外的电位，球壳内的电位函数为球面上的感应电荷面密度为导体球面上的总感应电荷为这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。第15页，课件共30页，创作于2023年2月2.点电荷对不接地导体球面的镜像

设点电荷位于一个半径为的不接地导体球外，与球心距离为。注意到：①导体球面是一个电位不为零的等位面；②由于导体球未接地，在点电荷的作用下，球面上总的感应电荷为零。可用镜像法计算球外的电位函数。分析：先设想导体球接地，情况如前。点电荷和镜像电荷使导体球的电位为零，不符电位条件，球面上总感应电荷也不为零。第16页，课件共30页，创作于2023年2月再断开接地线，并将电荷加于导体球上，球面感应电荷为零。且使在球面上均匀分布，保证为导体球面为等位面。这样电荷可用一个位于球心的镜像电荷来替代。球外任一点电位函数为第17页，课件共30页，创作于2023年2月点电荷位于不接地导体球附近的场图第18页，课件共30页，创作于2023年2月三.导体圆柱面的镜像1.线电荷对导体圆柱面的镜像一根线电荷密度为的无限长线电荷位于半径为的无限长接地导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为。为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱面内部且与轴线平行的无限长线电荷。第19页，课件共30页，创作于2023年2月设镜像线电荷密度为，由于对称性其必定位于线电荷与圆柱轴线所决定的平面上，设镜像电荷距圆柱的轴线为。第20页，课件共30页，创作于2023年2月对任意都成立，再对求导，可得有解得（舍去）由惟一性定理，导体圆柱面外的电位函数为由得第21页，课件共30页，创作于2023年2月导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上单位长度的总感应电荷为即，导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。第22页，课件共30页，创作于2023年2月由于电场相互影响，导致导体表面电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。2.两平行圆柱导体的电轴应用线电荷对接地导体圆柱面的镜像法，分析两半径相同、带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱周围的电场问题。两半径都为的平行导体圆柱，轴线间距为，单位长度分别带电荷和。带电细导线所在的位置称为带电圆柱导体的电轴，这种方法又称电轴法。设想：将两导体圆柱撤去，其表面电荷用线密度分别为和、且相距为的两根无限长带电细线来替代。实际是将和看成是互为镜像。第23页，课件共30页，创作于2023年2月电轴的位置解得导体圆柱外空间任一点的电位函数（为线电荷密度分别为和的两平行双线产生的电位叠加）电轴法的基本原理也可以应用到两个带有等量异号电荷但不同半径的平行无限长圆柱导体间的电位函数的求解问题。第24页，课件共30页，创作于2023年2月四.介质平面的镜像1.点电荷对电介质分界平面的镜像含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。在计算电介质1中的电位时，用置于介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质。在计算电介质2中的电位时，用置于介质1中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为的均匀介质。第25页，课件共30页，创作于2023年2月空间任意一点的电位函数为和的量值，由边界条件确定得解得第26页，课件共30页，创作于2023年2月点电荷位于不同介质平面上方的场图第27页，课件共30页，创作于2023年2月2.线电荷对磁介质分界平面的镜像在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为的均匀介质。在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流