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新教材人教版·高中必修第一册数学5．5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第五章

三角函数第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式要求1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用．

在二倍角公式的推导中，经历由特殊到一般的逻辑推理过程，发展学生的数学运算素养．复习引入同学们我们回顾一下和差角的三角函数公式推导历程：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ下上两等式相除－

代

诱导公式－

代

－

代

公式引入推导二倍角三角函数公式：令

＝

问题1以公式C(α－β)为基础，我们已经得到六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基础来推导倍角公式.1、由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ得sin2α＝sinαcos

＋sinαcos

＝2sinαcos

2、由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ得cos2α＝cosαcos

－sinαsin

＝cos2α－sin2α公式引入3、变形：cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1

cos2α

＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α公式引入于是得2倍角的三角函数公式以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.温馨提示：这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时“三”字等不可省去.公式理解由2倍角的余弦公式变形：问题2由二倍角的余弦公式我们看到，已知sin

或者cos

可以求出cos2

的值，那么已知cos2

时，是否能够反向求出sin

和cos

呢？其中sin

、cos

的符号由

所在的象限决定.公式理解同学们观察余弦2倍角公式的变形形式，它在结构上还有哪些特征呢？问题3这两个公式的变形从左向右看，角之间是倍角关系从结构上是和、差转化到乘积，从次数上是从一次变成了二次.这样无论从右向左，还是从左向右，它能实现角的改变，和式子结构、次数的改变.公式理解要灵活掌握倍角公式及其变形：巩固与练习分析：已知条件给出了2a的正弦函数值，由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.巩固与练习巩固与练习规律方法巩固与练习注意三角形的隐含条件，如每个角都是小于的正角，三角形的内角和等，其实A是锐角。巩固与练习巩固与练习巩固与练习巩固与练习我们看到，解法1相比解法2少了一个运算步骤，但它们都是对倍角、和角关系的联合运用，只是对角2A+2B，与角A，B之间关系的看法不同，本质上没有区别.同学们观察分析以上两种解法，它们有什么异同？问题3

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