考研量子力学分类模拟9

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解答题1.一维无限深势阱(0＜x＜a)中的粒子受到微扰：

的作用，求基态能量的一级修正．

解：本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数

能量本征值

对基态n=1，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因此要计算两个积分式的和

利用定积分公式

代入(3)式得

在宽度为a的一维无限深势阱的中心，施加一作用，α为很小常数．2.求能级的一级修正，解释为何没有影响偶数n的能级?

解：能量的一级修正即为计算平均值

当n为偶数时，一级修正项为零，这是因为在波函数为零，因此感受不到此处的微扰存在．

3.求基态波函数的一级修正；

解：基态波函数的一级修正为

其中矩阵元为

而

非零矩阵元要求n=3，5，7，…，所以有

4.求能级的二级修正．

解：能量的二级修正需要计算矩阵元

只有当k和n都为奇数时，矩阵元才不为零，所以

当n=1时，有

当n=3时，有

推广到一般情况，级数除了项无法抵消以外，其余均可以相互抵消掉，所以有

粒子在二维无限深方势阱中运动，

5.写出能级和能量本征函数；

解：对于二维无限深势阱：

6.加上微扰(λ是小量，实数)，求：(a)基态能级的一级微扰修正；(b)第一激发态能级的一级微扰修正．

解：(a)基态为：n1=n2=1，一级微扰修正为

(b)第一激发态：

n1=1，n2=2或n1=2，n2=1

2×2矩阵：2重简并：

利用，并分部积分计算得：

故，求其本征值可得

因而第一激发态能量一级微扰修正为：

7.边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量，如微扰哈密顿量，试求对能量的一级修正(式中b为常量)

解：刚性立方势箱的能级及波函数为：

当nx+ny+nz=1，基态：

当时，可选：

nx=ny=1，nz=2；ψ112=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(2πz/a)

nx=nz=1，ny=2；ψ121=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(2πy/a)sin(πz/a)

ny=nz=1，nx=2；ψ211=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(πz/a)

简并度为3，第一激发态：

从已知条件知，电子处于第一激发态，3重简并，利用简并态微扰论求解问题．取：，计算H在张开的3×3空间中矩阵元．

由于波函数与微扰算符都是实的，所以微扰矩阵为实矩阵，并且关于对角元对称．另外考虑到，与z分量无关，由波函数之间的正交性条件可得：

由波函数在微扰下的对称性知

解的本征值，由可得能量的一级修正为

8.在无限深立方势阱(立方边长为a)中(a/4，a/2，3a/4)处施加微扰作用

求基态和第一激发态的能级一级修正．

解：基态

由上题知基态波函数为

，能级无简并利用能级一级修正计算公式可得

(2)第一激发态

由上题知，第一激发态三重简并，采用上题中的波函数编号方式，计算子空间的矩阵元

所以有

设本征值为4V0λ，解久期方程

可得本征值为λ=0，0，2

所以第一激发态的能量一级修正为0，0，8V0，原有的简并部分消除．

考虑竖直放置的谐振子势(固有频率为ω)内有一质量为μ的粒子．9.请利用微扰方法求引力对基态的影响(准确至二级微扰)；

解：因为

对于基态|0〉，其能量一级修正为

考虑到，所以

由能级二级修正计算公式可得

故有近似到二级微扰的基态能量为

10.给出基态精确解，并与第一问进行比较．

解：因为

引入，所以有

其能级为

显然，对于二级微扰给出的能级与精确解一致．

一维谐振子的哈密顿量为，考虑微扰11.求对基态和第一激发态能级的一级修正；

解：由，易于算出

结合本征函数的正交归一性有

对第n个能级的一级修正为

对于基态和第1激发态分别为

12.微扰论在此能适用，参量λ应满足什么要求?

解：要使得微扰论能够适用，修正不能超过原能级间距．对于第一激发态来讲，需要满足

解得

13.一维谐振子系统，设受到微扰的作用，求对第n个谐振子能级的一级微扰修正．

解：微扰哈密顿量可以改写成坐标的形式．

未微扰系统的哈密顿量写为

由位力定理可知：

因为

所以能级一级修正为

由上题可得

14.质量为μ的粒子限制在xy平面上运动，其哈密顿量是

其中λ是小参数．把λxy项当作微扰，试计算能量为的能级的分裂．

解：由题意，故其本征函数为两谐振子本征函数之积，能量为两谐振子系统能量之和，即

当nx=1，ny=0或者nx=0，ny=1时为第一激发态，，2重简并．

现计算在第一激发态对应的2×2空间中矩阵元：

取，则有

由于，故，因此

同理：

故久期方程为

由对应行列式为零，解得：

所以能级分裂为两条，能级间距为，即

15.一个二维谐振子体系的哈密顿量是，属于第二激发态(能量为)的三个简并态可以在粒子数表象写为|nx，ny〉形式，它们分别是：|20〉，|11〉和|02〉．

(1)加入微扰(λ为小量)，在粒子数表象(或占有数表象)中，求在这个简并子空间的矩阵表示．一维谐振子的下降、上升算符分别是

(2)在粒子数表象中，求出该体系的第二激发态能量加入微扰后的一级修正值，并且求出简并态微扰论的零级波函数．

解：二维谐振子对应的能级为：，n1、n2=0，1，2，…基态为：|00〉；第一激发态为|10〉或|01〉；第二激发态为|20〉，|11〉或|02〉

(1)取

现计算在简并3×3子空间中H的矩阵元：

(利用了波函数和算子的宇称特性，在宇称下坐标和动量均为奇算符)

考虑到：

所以：

故

所以

考虑到的厄米性，可得在简并子空间的矩阵为

(2)零级近似波函数可表示为：

满足久期方程为：

能级3重简并完全解除．

(a)对于，可得：

所以，联系归一化条件可得

(b)同理对于，可得：

(c)对于，可得：

所以一级修正值及对应的零级波函

简并完全解除．

16.处在三维各向同性谐振子的第一激发态的粒子，受微扰axy(a为常量)作用，求能量一级修正．

解：三维各向同性谐振子能级和波函数可写为：

基态为：nx+ny+nz=0，N=0，

第一激发态为：nx=1，ny=nz=0或ny=1，nx=nz=0或nz=1，nx=ny=0，三重简并(f=3)，N=1，；记：

现计算在上述简并态张开的3×3空间中矩阵元：

同理：

由正交性可知：

故在H0表象中矩阵为：

能级一级修正的久期方程有非零解的条件为

解得：

所以能级一级修正为：

考虑一个沿x方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成

其中α，Ω为常量．17.当α=Ω=0时，写出能量本征值和相应的本征态；

解：当α=Ω=0时，哈密顿量为，系统为一维自由电子．

本征值：；本征函数：

18.当α≠0，Ω≠0时，写出能量本征值和相应的本征态；

解：当α≠0，Ω≠0时，取泡利表象，哈密顿量为

由于动量守恒，所以体系波函数可以表示为

将(2)式代入定态薛定谔方程可得

令，则定态方程为

由久期方程存在不为零的解的条件，可得

当时，，所以

当，所以

19.设电子处于动量为的态，将哈密顿量中的作为微扰，写出能量本征值和本征函数到一级近似；

解：由已知条件

显然有

由微扰论理论可得，能级的一级修正是微扰哈密顿量在H0表象中矩阵的矩阵元，显然有近似到一级的能量为

波函数的一级修正分别为

对于能级

对于能级

在一级近似下，总波函数为

20.接上问，在一级近似下，画出能量-动量关系示意图．

解：能量一动量关系曲线为开口向上的抛物线．

21.考虑有二重内部自由度的粒子，其简并基态|A〉，|B〉对应于同一能量E0，即

试求相互作用

引起的能量修正．

解：二重简并，各微扰矩阵元计算如下：

同理：

所以

因为为力学量，a、b为实数，故求的本征值即可．

所以

故能量修正为

设一微观体系的哈密顿，其中是微扰．在一个由正交归一函数作为基的表象中

其中c为常量．22.求的精确本征值；

解：对角化，久期方程为

解得H的本征值

23.求的准确到微扰的二级修正的本征值；

解：

所以

24.比较第一问和第二问的结果，指出其间的关系．

解：

25.体系的哈密顿量，已知力学量Q表象中，有

其中E0和ε均为大于0的实数，且．

(1)求的本征值和本征矢．

(2)求的基态能量(二级近似)及态矢(一级近似)．

(3)求出该体系能级的精确值，这个与(2)问中的结果是呈什么关系?

解：本题中未对角化，需要首先求解的本征态．

(1)的本征值与本征函数

对应本征函数分别为：

(2)基态：

鉴于给定的H0矩阵非对角，需要先计算微扰矩阵元：

同理有：

所以，近似到二级近似基态能量为

(3)精确解

存在非零本征值的条件是久期方程对应的行列式为零，即有

所以：

解得：

讨论：由于，所以有

化简并整理得，体系的能级(从小到大排列)为：

即基态的精确解在泰勒展开到一级项时，可得(2)问中结果．

26.一个取向用角坐标θ和φ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：，式中A和B均为常量，且是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并给出微扰后的零级近似波函数．

解：因，故取

的本征态为球谐函数Ylm(θ，φ)，对于p能级l=1，m=1，0，-1，故三重简并

取Φ1=Y11，Φ2=Y10，Φ3=Y1-1，计算在Φ1、Φ2、Φ3张开空间矩阵元，由对称性可知：只有不为零．

故

解H满足的久期方程得：，即

对于零级近似：2，3．代入上式可得：

(1)当时，由上述方程及归一化条件可得此时零级近似波函数

(2)当时，可得此时零级近似波函数

(3)当时，可得此时零级近似波函数

能级分裂如下图：(三重简并完全解除)

27.将质子当作半径为R的带电球壳，用一级微扰论计算由于氢原子核的非点电荷电势引起的氢原子基态能量的改变表达式．

(氢原子基态为玻尔半径)

解：若质子是半径为R的带电球壳，则氢原子的势能为：

时，上述位势对点质子库仑势的偏离可看成微扰

微扰引起的基态能级改变为

注意到ΔE＞0，所以基态能级增高，即结合能减少，从物理上看，将点质子模型与球壳模型作一比较，会发现体系在后一种情形会附加一种排斥作用．由于氢原子体系靠吸引力结合，故非点电荷性质实际上削弱了体系的吸引作用，结果势必降低结合能．

28.处于基态的类氢原子(核电荷数Z)，经β衰变突然核电荷数变成(Z+1)，求原子被激发到2s态的概率．

(已知类氢原子的状态：

解：突然衰变，态来不及改变，此时状态为ψ100(r，θ，φ)，将其用(Z+1)下的ψnlm展开：，由此可知跃迁到2s态的概率|C200|2．