新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步全套课时作业

8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.知识点一多面体、旋转体的定义类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点四棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点.1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(×)2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(√)3.棱柱最多有两个面不是四边形.(√)4.棱锥的所有面都可以是三角形.(√)一、棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的说法的序号是________.答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.②错误，棱柱的底面可以是三角形.③正确，由棱柱的定义易知.④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.跟踪训练1下列命题中正确的是()A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案D二、棱锥、棱台的结构特征例2(1)有下列三种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案A解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.(2)下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行.A.①B.①②C.②D.③答案B解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.空间几何体的表面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.[素养提升]多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.1.下面多面体中，是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.下面图形中，为棱锥的是()A.①③B.①③④C.①②④D.①②答案C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥答案B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.4.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.组合体答案B解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°1.知识清单：(1)多面体、旋转体的定义.(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.方法归纳：举反例法.3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错答案B解析由棱锥的结构特征可得.2.下列关于棱柱的说法中，错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形答案C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确.3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱 B.②不是棱锥C.③不是棱锥 D.④是棱台答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误.4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是()答案C解析C无法将其折成三棱柱，故选C.5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案D6.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.答案487.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.答案5698.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解(1)如图折起后的几何体是三棱锥.(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2.10.一个长方体的容器里装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台成棱锥，对吗？解(1)不对，水面的形状始终是矩形.(2)不对，水的形状只能是棱柱.11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1答案C解析选项A中eq\f(A1B1,AB)≠eq\f(B1C1,BC)，故A不符合题意；选项B中eq\f(B1C1,BC)≠eq\f(A1C1,AC)，故B不符合题意；选项C中eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(A1C1,AC)，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.12.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥答案D解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.13.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()答案AC解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.14.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.答案4解析如图所示：四边形ACC1A1为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.15.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体对角线的长是________.答案eq\r(6)解析设长方体长、宽、高为x，y，z，则yz＝eq\r(2)，xz＝eq\r(3)，yx＝eq\r(6)，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝eq\r(6)，解得x＝eq\r(3)，y＝eq\r(2)，z＝1，所以eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(3＋2＋1)＝eq\r(6).16.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4eq\r(2).∴△AEF周长的最小值为4eq\r(2).第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O′O相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.知识点三圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案③④解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱答案B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥答案D解析图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由题意知腰长AB＝12cm，所以高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm).(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长.解设圆台的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面，如图所示.则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA).所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9，即圆台的母线长为9cm.1.下列说法中正确的是()A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线答案C解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.2.(多选)下列命题中正确的是()A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________cm2.答案16π或9π解析当以3cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4cm，底面积为16πcm2；当以4cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3cm，底面积为9πcm2.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B.4.若圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定答案B解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)答案①④解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)答案eq\f(\r(Q),2)解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝eq\f(\r(Q),2)，∴此圆柱的底面半径为eq\f(\r(Q),2).8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.答案eq\r(3)解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).9.一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan30°＝eq\f(2\r(3),3)(cm).SA＝eq\f(SO,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3)(cm).所以S△ASB＝eq\f(1,2)SO·2AO＝eq\f(4\r(3),3)(cm2).所以圆锥的母线长为eq\f(4\r(3),3)cm，圆锥的轴截面的面积为eq\f(4\r(3),3)cm2.10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，即蚂蚁爬行的最短距离为2eq\r(1＋π2).11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4 B.3eq\r(2)C.2eq\r(3) D.2eq\r(6)答案D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2eq\r(6)，即两底面之间的距离为2eq\r(6).12.已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是______cm.答案8解析如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由题意知，R＝10cm，由πr2＝36π，得r＝6，所以d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(100－36)＝8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.答案eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)解析如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH＝5，GF1＝eq\f(5π,2)，GE1＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4).所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是eq\f(5,2)eq\r(π2＋4).14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________.(填序号)答案①⑤解析由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()A.4B.3C.2D.0.5答案B解析如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π和8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到两个截面的距离d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.16.圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，设OB＝l，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝eq\f(π,2)，l＝20cm.∴OA＝40cm，OM＝30cm.∴AM＝eq\r(OA2＋OM2)＝50cm.即绳子最短长度为50cm.(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离.∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.8.2立体图形的直观图学习目标1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(×)2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(√)3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(×)一、平面图形的直观图的画法例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.反思感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.解画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).

二、空间几何体的直观图例2用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.解(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.反思感悟空间几何体的直观图的画法(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.跟踪训练2用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解画法：(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).三、直观图的还原与计算例3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.2eq\r(2)答案C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为eq\f(1,2)，又直观图与原平面图形面积比为eq\r(2)∶4，所以原图形的面积为eq\r(2)，故选C.反思感悟平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝eq\f(\r(2),4)S原.跟踪训练3如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形答案C解析如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形.1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B解析由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.90°D.45°或135°答案D解析因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.4.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是________.(填序号)答案①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.答案2.5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.1.知识清单：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.(2)空间几何体直观图的画法.(3)直观图的还原与计算.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.1.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是()A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点答案ACD2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()答案C解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面积是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.4.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是()A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直答案B5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形答案A解析由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.∵A′O′＝eq\f(\r(3),2)，∴AO＝eq\r(3).∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形.6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).7.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.答案16解析由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8.所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×4×8＝16.8.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.9.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA.连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.10.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高(两底面圆心连线的长度)为4cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3cm，画出此几何体的直观图.解(1)画轴.如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.(3)在Oz上截取OO′＝4cm，过点O′作平行于Ox轴的O′x′轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.(4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′＝3cm.(5)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示.11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A.2B.4C.2eq\r(2)D.4eq\r(2)答案D解析设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2eq\r(2)S直观图，所以eq\f(1,2)×OB×h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4eq\r(2).12.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.答案eq\f(\r(2),2)解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为eq\f(\r(2),2)·eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(2),4)OA＝eq\f(\r(2),2).13.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.答案8cm解析由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝eq\r(2)cm，对应原图形平行四边形OABC的高OB＝2O′B′＝2eq\r(2)cm，如图所示.所以原图形中，OA＝BC＝1cm，AB＝OC＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm).14.如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.答案20eq\r(2)解析由题意知，S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·AD＝10，故这个平面图形的实际面积S＝eq\f(4,\r(2))S梯形ABCD＝20eq\r(2).15.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________.答案6eq\r(2)解析如图所示，过C′作C′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，则∠C′D′B′＝45°，∵B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，∴C′D′＝3eq\r(2).根据斜二测画法知△ABC的边AB上的高等于2C′D′＝6eq\r(2).16.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积.解如图所示，作AD⊥BC于点D，在BD上取一点E，使DE＝AD.由AC＝1可知，BC＝2，AB＝eq\r(3)，AD＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(\r(6),2).由斜二测画法知，B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝eq\r(6).所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)B′C′·A′E′＝eq\f(1,2)×2×eq\r(6)＝eq\r(6).8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×)3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(√)4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(√)一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.解如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.∴直四棱柱的底面积S底＝eq\f(1,2)AC·BD＝20eq\r(7).∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq\r(7)＝160＋40eq\r(7).反思感悟棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.跟踪训练1已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.解∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×eq\f(1,2)AB×SE＝2×5×eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝25eq\r(3)，S表＝S侧＋S底＝25eq\r(3)＋25＝25(eq\r(3)＋1).二、棱柱、棱锥、棱台的体积例2(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案D解析设三棱锥B1－ABC的高为h，则＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).(2)正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2.求其体积.解正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∵S侧＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，∴O1O＝eq\r(132－10－52)＝12(cm).故该正四棱台的体积为V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).反思感悟求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.跟踪训练2如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________.答案eq\f(1,3)解析由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和eq\r(2)，四棱锥的高为eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).几何体体积的求法典例1等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解由，∵＝eq\f(1,2)EA1·A1D1＝eq\f(1,4)a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,12)a3，∴＝eq\f(1,12)a3.典例2分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.[素养提升](1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.1.若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为()A.27cm3B.60cm3C.64cm3D.125cm3答案B解析V长方体＝3×4×5＝60(cm3).2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A.48eq\r(6)B.64C.16D.96答案B3.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为()A.16eq\r(3)B.48eq\r(3)C.64eq\r(3)D.eq\f(32,3)答案A解析如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，所以PE＝2eq\r(3)，则S侧＝4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝16eq\r(3).4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.答案6＋2eq\r(2)解析V棱台＝eq\f(1,3)×(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________.答案eq\f(1,6)解析＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.2.方法归纳：等积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A.22B.20C.10D.11答案A解析所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是()A.8B.16eq\r(2)C.8＋12eq\r(2)D.8＋16eq\r(2)答案D3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2答案A4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A.1∶9B.1∶8C.1∶4D.1∶3答案B解析两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8.5.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析∵V三棱锥C－A′B′C′＝eq\f(1,3)V三棱柱ABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴V四棱锥C－AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.答案9eq\r(3)解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为______.答案1解析∵正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，∴底面B1DC1的面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).A到底面的距离就是底面正三角形的高eq\r(3).三棱锥A－B1DC1的体积为eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.8.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________.答案eq\f(5,6)解析易知V＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).9.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，∴A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.10.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.解∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))2)＝eq\r(3)，∴一个侧面等腰梯形的面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，∴四棱台的表面积为4＋16＋3eq\r(3)×4＝20＋12eq\r(3).11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，eq\r(2)，1，∴S表＝2×22＋4×[22＋(eq\r(2))2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.答案eq\f(1,12)解析连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，∵E，H分别为AD1，CD1的中点，∴EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC.∵F，G分别为B1A，B1C的中点，∴FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，∴四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为eq\f(1,2)，∴四棱锥M－EFGH的体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).13.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点.设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.答案1∶24解析设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.∵D，E分别为AB，AC的中点，∴△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又∵F为AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.14.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，三棱锥P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析设点A到平面PBC的距离为h，∵D，E分别为PB，PC的中点，∴S△BDE＝eq\f(1,4)S△PBC，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(VA－DBE,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△BDE·h,\f(1,3)S△PBC·h)＝eq\f(1,4).15.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.答案8解析如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.解(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4cm，∴大棱锥的底面边长为8cm，又PA＝12cm，∴A1A＝6cm.又梯形ABB1A1的高h′＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)(cm)，∴S棱台侧＝6×eq\f(4＋8,2)×4eq\r(2)＝144eq\r(2)(cm2)，∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144eq\r(2)＋24eq\r(3)＋96eq\r(3)＝(144eq\r(2)＋120eq\r(3))(cm2).8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(√)3.球的体积是关于球半径的一个函数.(√)4.球的表面积是球的体积的6倍.(×)一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶eq\r(3)C.1∶eq\r(5)D.eq\r(3)∶2答案C解析设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r，∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq\r(5).(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3答案A解析设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.反思感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A.4πSB.2πSC.πSD.eq\f(2\r(3),3)πS答案A解析设底面半径为r，则πr2＝S，∴r＝eq\r(\f(S,π))，∴底面周长为2πr＝2πeq\r(\f(S,π))，又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π\r(\f(S,π))))2＝4πS.二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是()A.eq\f(288,π)cm3 B.eq\f(192,π)cm3C.288πcm3 D.192πcm3答案AB解析当圆柱的高为8cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq\f(288,π)(cm3)，当圆柱的高为12cm时，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq\f(192,π)(cm3).(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3)B.eq\f(128π,3)C.64πD.128eq\r(2)π答案A解析作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝eq\r(2)r.由S侧＝π·r·PB＝16eq\r(2)π，得eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，所以r＝4.则