新人教版高中数学必修第二册第七章复数全套课时作业

7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.知识点一复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.知识点二复数的分类1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(×)2.复数i的实部不存在，虚部为0.(×)3.bi是纯虚数.(×)4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(√)一、复数的概念例1下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④答案D解析对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.反思感悟复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是()A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C.若b＝0，则a＋bi为实数D.i的平方等于1答案ABD解析对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.所以ABD均错误.二、复数的分类例2当m为何实数时，复数z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数.解(1)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))即m≠5且m≠－3时，z是虚数.(2)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.延伸探究1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？解当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5时，z是实数.2.已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围.解∵z是虚数，∴(3－m)≠0，且1＋m>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1<m<2或2<m<3.∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3).反思感悟解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0.②z为虚数⇔b≠0.③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.跟踪训练2若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.－1答案B解析根据复数的分类知，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1或a＝2，,a≠1，))即a＝2.三、复数相等的充要条件例3若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.解由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))延伸探究若关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.解设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).反思感悟复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.跟踪训练3复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.答案5解析因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋7＝m2－8，,m2－2＝4m＋3，))解得m＝5.1.在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析eq\f(2,7)i，(1－eq\r(3))i是纯虚数，2＋eq\r(7)，0.618是实数，8＋5i是虚数.2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.eq\r(2)，1 B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5 D.±eq\r(2)，1答案C解析令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq\r(2)，b＝5.3.(多选)若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值可以为()A.－1 B.2C.1 D.－2答案AB解析因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝________，y＝________.答案11解析∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1舍.))1.知识清单：(1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件.2.方法归纳：方程思想.3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式.1.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.2.给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析①错误，例如z＝i，则z2＝－1；②错误，因为2i－1虚部是2；③正确，因为2i＝0＋2i.3.在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则()A.a＝0或a＝2 B.a＝0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2答案B解析因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2019i＝2－bi，则a2＋bi等于()A.2019＋2i B.2019＋4iC.2＋2019i D.4－2019i答案D解析因为a＋2019i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2019，即a＝2，b＝－2019，所以a2＋bi＝4－2019i.5.(多选)下列命题中错误的有()A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应答案ABCD解析取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错；BC错；对于D，a＝0时，ai＝0，D错.6.设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.答案－2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))得m＝－2.7.如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.答案eq\f(1,4)1解析由复数相等可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x，,y＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝1.))8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1则实数m的值为________.答案2解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1>1，))解得m＝2.9.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.解由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15≠0，,m2＋5m＋6＝0))时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15＝0，,m2＋5m＋6＝0))时，复数z是0，∴m＝－3.10.分别求满足下列条件的实数x，y的值.(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.解(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2.))(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.11.若sin2θ－1＋i(eq\r(2)cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A.2kπ－eq\f(π,4)(k∈Z) B.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)C.2kπ±eq\f(π,4)(k∈Z) D.eq\f(k,2)π＋eq\f(π,4)(k∈Z)答案B解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ－1＝0，,\r(2)cosθ＋1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ＋\f(π,4)，,θ≠2kπ±\f(3π,4)，))k∈Z，∴θ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.12.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A.3＋i B.3－iC.－3－i D.－3＋i答案B解析由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.13.已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件.答案充分不必要解析当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件.14.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________.答案{3}解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10，))解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}.15.若复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是纯虚数(i为虚数单位)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值为()A.7 B.－eq\f(1,7)C.－7 D.－7或－eq\f(1,7)答案C解析∵复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是纯虚数，∴cosθ－eq\f(4,5)＝0，sinθ－eq\f(3,5)≠0，∴sinθ＝－eq\f(3,5)，∴tanθ＝－eq\f(3,4)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4))＝－7.16.已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.解(1)∵z1为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝λ＋2sinθ，,m－2＝cosθ－2，))∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.∵－1≤sinθ≤1，∴当sinθ＝1时，λmin＝2，当sinθ＝－1时，λmax＝6，∴实数λ的取值范围是[2,6].7.1.2复数的几何意义学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.知识点一复平面思考有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.知识点二复数的几何意义1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).知识点三复数的模1.定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).知识点四共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.1.复平面内的点与复数是一一对应的.(√)2.复数的模一定是正实数.(×)3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(×)4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.(√)一、复数与复平面内的点的关系例1已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上；(2)在第三象限.解(1)若z对应的点Z在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z对应的点Z在第三象限，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).故a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.二、复数与复平面内的向量的关系例2(1)已知M(1,3)，N(4，－1)，P(0,2)，Q(－4,0)，O为复平面的原点，试写出eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))所表示的复数；(2)已知复数1，－1＋2i，－3i,6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；(3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.解(1)eq\o(OM,\s\up6(→))表示的复数为1＋3i；eq\o(ON,\s\up6(→))表示的复数为4－i；eq\o(OP,\s\up6(→))表示的复数为2i；eq\o(OQ,\s\up6(→))表示的复数为－4.(2)设复数1对应的向量为eq\o(OA,\s\up6(→))，其中A(1,0)；复数－1＋2i对应的向量为eq\o(OB,\s\up6(→))，其中B(－1,2)；复数－3i对应的向量为eq\o(OC,\s\up6(→))，其中C(0，－3)；复数6－7i对应的向量为eq\o(OD,\s\up6(→))，其中D(6，－7).如图所示.(3)记O为复平面的原点，由题意得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－3).设eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－5，－5).由题意知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))故点D对应的复数为－3－2i.反思感悟复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.跟踪训练2已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是()A.－5＋5i B.5－5iC.5＋5i D.－5－5i答案B解析向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2).由向量减法的坐标运算可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.三、复数的模及其应用例3(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案B解析因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.反思感悟复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.跟踪训练3(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|答案D解析|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41).因为eq\r(34)<eq\r(41)，所以|z1|<|z2|.(2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A.(1，eq\r(10)) B.(1，eq\r(3))C.(1,3) D.(1,10)答案A解析0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(10)).复数模的几何意义典例设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2).由题意知eq\r(x2＋y2)<3，x2＋y2<9.所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.(2)根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.[素养提升]复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.2.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为()A.1B.2C.3D.4答案AC解析依题意可得eq\r(m－32＋m－12)＝2，解得m＝1或3.3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A.(－1,2) B.(－2,1)C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)答案B解析∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2,1).4.设复数z＝i，则z的共轭复数为______.答案－i1.知识清单：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数.2.方法归纳：待定系数法、数形结合.3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离.1.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则eq\f(|z1|,|z2|)等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,5)C.eq\r(5)D.5答案C解析依题意|z1|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(－12)＝1，所以eq\f(|z1|,|z2|)＝eq\r(5).2.向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是()A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i答案C解析由复数的几何意义，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0.3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8i B.8＋2iC.2＋4i D.4＋i答案C解析因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.4.已知复数z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A.－1＋eq\r(3)i B.1＋eq\r(3)iC.－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D.－2＋eq\r(3)i答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋\r(3)2)＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.5.(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中错误的是()A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z在复平面内对应的点在实轴上方D.z一定是实数答案ABD解析2m2＋2m－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方.6.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________.答案(3，＋∞)解析∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,3－x<0，))解得x>3.7.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.答案3解析复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.8.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的复数是________.答案－6－8i解析因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，－5)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的复数是－6－8i.9.在复平面内，O是原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.解(1)设向量eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1).根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.10.设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤eq\r(2)，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.解|w|＝eq\r(x＋y2＋x－y2)＝eq\r(2x2＋y2)＝eq\r(2)|z|，而1≤|z|≤eq\r(2)，故eq\r(2)≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为eq\r(2)和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(eq\r(2))2]＝2π.11.已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))即a＝－1，则复数a－ai＝－1＋i对应的点为(－1,1)，位于第二象限.12.在复平面内，把复数3－eq\r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转eq\f(π,3)，所得向量对应的复数是()A.2eq\r(3) B.－2eq\r(3)iC.eq\r(3)－3i D.3＋eq\r(3)i答案B解析复数对应的点为(3，－eq\r(3))，对应的向量按顺时针方向旋转eq\f(π,3)，则对应的点为(0，－2eq\r(3))，所得向量对应的复数为－2eq\r(3)i.13.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－tanA)＋itanB对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B，sinA>cosB，cosB－tanA＝cosB－eq\f(sinA,cosA)<cosB－sinA<0，又tanB>0，所以点(cosB－tanA，tanB)在第二象限，故选B.14.若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________.答案5解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.15.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是()A.一个圆 B.两个圆C.两点 D.线段答案B解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆.16.已知O为坐标原点，eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数为－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为2a＋i(a∈R).若eq\o(OZ1,\s\up6(→))与eq\o(OZ2,\s\up6(→))共线，求a的值.解因为eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数为－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为2a＋i，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(－3,4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(2a,1).因为eq\o(OZ1,\s\up6(→))与eq\o(OZ2,\s\up6(→))共线，所以存在实数k使eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝keq\o(OZ1,\s\up6(→))，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8).))即a的值为－eq\f(3,8).7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.知识点一复数加法与减法的运算法则1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).知识点二复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.思考类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？答案|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.1.两个虚数的和或差可能是实数.(√)2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(√)3.复数与复数相加减后结果只能是实数.(×)4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.(×)一、复数代数形式的加、减运算例1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x＝5，,2－y＝－6，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，))所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.反思感悟解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).跟踪训练1复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.二、复数加减法的几何意义例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数；(3)对角线eq\o(OB,\s\up6(→))表示的复数.解(1)因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数为－3－2i.(2)因为eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以对角线eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以对角线eq\o(OB,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思感悟复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.跟踪训练2已知平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))对应的复数；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数.解(1)因为ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq\o(AD,\s\up6(→))对应的复数是－2＋2i.(2)因为eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数是5.三、复数模的综合问题例3如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A.1B.eq\f(1,2)C.2D.eq\r(5)答案A解析设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.反思感悟|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.跟踪训练3△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案A解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心.1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A.－1＋i B.1－iC.i D.－i答案A解析原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.3.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A.－2B.4C.3D.－4答案B解析∵z＋(3－4i)＝1，∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案－1解析∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________.答案5－2i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－1))，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.1.知识清单：(1)复数代数形式的加减运算法则.(2)复数加减法的几何意义.(3)复平面上两点间的距离公式.2.方法归纳：类比、数形结合.3.常见误区：忽视模的几何意义.1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为()A.－4＋20i B.－2＋10iC.－8＋20i D.－2＋20i答案B解析z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.2.复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是()A.m<eq\f(2,3) B.m<1C.eq\f(2,3)<m<1 D.m>1答案B解析∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，∴m－1<0，∴m<1.3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A.3B.2C.1D.－1答案D解析z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.4.如果一个复数与它的模的和为5＋eq\r(3)i，那么这个复数是()A.eq\f(11,5) B.eq\r(3)iC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)i D.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i答案C解析设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).由题意知a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5，,b＝\r(3)，))解得a＝eq\f(11,5)，b＝eq\r(3).∴所求复数为eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.5.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A.eq\r(5)B.5C.2eq\r(5)D.10答案B解析依题意，eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.6.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________.答案4－3i解析z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.7.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.答案±2eq\r(3)－2i解析因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.8.设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.答案eq\f(3,4)＋i解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2).∴x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.9.计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)i))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2i))；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i＝3＋(2＋eq\r(3)－2)i＝3＋eq\r(3)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数及A，B两点之间的距离.解因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数是2，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|－8－2i|＝eq\r(－82＋－22)＝2eq\r(17).11.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则点D表示的复数是()A.1－3i B.－3－iC.3＋5i D.5＋3i答案C解析∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，∴eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))∴点D表示的复数为3＋5i.12.复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A.3－2eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.3＋2eq\r(2) D.eq\r(2)＋1答案D解析|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|＝eq\r(1－sinθ2＋1＋cosθ2)＝eq\r(3＋2cosθ－sinθ)＝eq\r(3＋2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))max＝1，∴|z1－z2|max＝eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.13.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________.答案直角三角形解析由复数的加、减法的几何意义可知，当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°.14.在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为________.答案4－4i解析因为eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.15.若复数z满足z－1＝cosθ＋isinθ，则|z|的最小值为______，|z|的最大值为______.答案02解析∵|z－1|＝1，∴复数z对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，1为半径的圆，∴|z|的最小值为0，最大值为2.16.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i.(1)求点C，D对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的面积.解(1)∵向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AD,\s\up6(→))对应的复数为3－i，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－1).设D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0.))∴点D对应的复数为5.(2)∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，∴cosB＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(\r(2),10).∴sinB＝eq\f(7\r(2),10).∵S▱ABCD＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sinB＝eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝7，故平行四边形ABCD的面积为7.7.2.2复数的乘、除运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.知识点一复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3思考|z|2＝z2，正确吗？答案不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.知识点二复数除法的法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).1.(1＋i)(2＋i)＝________.答案1＋3i解析依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.2.i是虚数单位，复数eq\f(1－3i,1－i)＝________.答案2－i解析eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限.答案四解析因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限.4.已知复数z＝eq\f(5i,1＋2i)(i是虚数单位)，则|z|＝________.答案eq\r(5)解析|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i,1＋2i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i1－2i,5)))＝|i＋2|＝eq\r(5).一、复数代数形式的乘法运算例1计算下列各题.(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.反思感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开.②再将i2换成－1.③然后再进行复数的加、减运算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A.2－13i B.13＋2iC.13－13i D.－13－2i答案D解析(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)答案B解析因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.二、复数代数形式的除法运算例2(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，则复数eq\f(z1,z2)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，对应的点在第二象限.(2)计算：eq\f(1＋i7,1－i)＋eq\f(1－i7,1＋i)－eq\f(3－4i2＋2i3,4＋3i).解原式＝[(1＋i)2]3·eq\f(1＋i,1－i)＋[(1－i)2]3·eq\f(1－i,1＋i)－eq\f(83－4i1＋i3,3－4ii)＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－eq\f(8·2i1＋i,i)＝8＋8－16－16i＝－16i.反思感悟(1)两个复数代数形式的除法运算步骤①首先将除式写为分式.②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.(2)常用公式①eq\f(1,i)＝－i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i.跟踪训练2(1)设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.(2)计算：①eq\f(7＋i,3＋4i)；②eq\f(－1＋i2＋i,－i).解①eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.②eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.三、在复数范围内解方程例3在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.解因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以(x＋3)2＝－1，又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.反思感悟当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数.跟踪训练3已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是不是方程的根.解(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程式成立.∴1－i是方程的根.1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1答案D解析∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A.6－4i B.－6－4iC.6＋4i D.－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3.在复平面内，复数eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋1－3＋2eq\r(3)i＝－eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2\r(3)))i，对应点在第二象限.4.(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝________.答案－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i解析(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝2i－eq\f(2－i2,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i.5.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.答案±eq\r(3)i1.知识清单：(1)复数的乘法及运算律.(2)复数的除法运算.(3)复数的综合运算.(4)在复数范围内解方程.2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法.3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.1.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限.2.若z(1＋i)＝2i，则z等于()A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案D解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i.3.设z＝eq\f(3－i,1＋2i)，则|z|等于()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.1答案C解析z＝eq\f(3－i,1＋2i)＝eq\f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i，所以|z|＝eq\r(2).4.(1＋i)20－(1－i)20的值是()A.－1024B.1024C.0D.512答案C解析∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－