2021高考数学真题圆锥曲线汇编（含答案解析）

2021年高考数学圆锥题目汇总

22

5.（2021年新高考I）已知K，F,是椭圆C：二+二=1的两个焦点，点〃在C上，

94

则|阿卜|儿里|的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

14.已知0为坐标原点，抛物线C：丁=2内（〃>0）的焦点为尸，P为C上一点,PF

与X轴垂直，。为“轴上一点，且若怛。|=6,则。的准线方程为.

21.在平面直角坐标系X。），中，已知点月（—J万,0）、工（国,0）附间一眼用=2,点M

的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=，上，过丁的两条直线分别交。于A、3两点和P,。两点，且

2

|7X|-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

第1页共23页

5.（2021年全国高考甲）己知耳，鸟是双曲线C的两个焦点，一为。上一点，且

/4Pg=60。，归耳|=3户闾，则C的离心率为（）

A.立B.巫C.V7D.V13

22

22

15.已知耳，心为椭圆0土-+匕=1两个焦点，尸,0为C上关于坐标原点对称的两点，

164

且|尸。|=旧可，则四边形P£Q用的面积为_______.

20.抛物线，的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x=l交。于尺0两点，且

OPLOQ.已知点“（2,0）,且与1相切.

（1）求C,M的方程；

（2）设4，人,43是C上的三个点，直线AA「4A3均与M相切.判断直线人4与M

的位置关系，并说明理由.

第2页共23页

工+父

11.（2021年乙）设3是椭圆C:=1(。＞分＞0)的上顶点，若。上的任意一点P都

«2b1

满足区2人，则c的离心率的取值范围是()

A.［制41

13.已知双曲线C：L—V=i(机＞o)的一条渐近线为&+^=0,则。的焦距为

m

21.已知抛物线。：/=2〃＞，(/?＞0)的焦点为尸，且尸与圆M：/+(y+4)2=l上点的

距离的最小值为4.

(1)求〃；

(2)若点尸在M上，PAP8是C的两条切线，A6是切点，求△PAB面积的最大值.

第3页共23页

C:---Fy2=1Ipnl

11.（河南省2021）设8是椭圆5”的上顶点，点产在。上，则甲勺的最大值

为（）

A.-B.>/6C.yfsD.2

22

14.双曲线三一匕=1的右焦点到直线x+2y-8=O的距离为.

45

20.已知抛物线C:丁=2px（p>0）的焦点b到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点一在C上，点。满足PQ=9QF,求直线。。斜率的最大值.

第4页共23页

29

xy

16.（2021年浙江）已知椭圆J+=l(a>Z?>0),焦点片(-c,0),F(C,0)(C>0),

a'2

若过”的直线和圆（x—g

c+y2=c，2相切，与椭圆在第一象限交于点只且「鸟_Lx轴，

7

则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.

21.如图，已知尸是抛物线y2=2px（〃>0）的焦点，也是抛物线的准线与不轴的交点，且

\MF\=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点£的直线交抛物线与46两点，斜率为2的直线1

与直线x轴依次交于点尸，0,兄儿且

=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.

第5页共23页

16.（2021年乙）已知6,E为椭圆C：土+匕=1的两个焦点，P,0为C上关于坐标

164

原点对称的两点，且|PQ|=|耳6|,则四边形尸大。亮的面积为.

21.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在X轴上，直线/：x=l交C于只。两点，且

OPA.OQ.已知点用（2,0）,且O/与/相切.

（1）求C,一”的方程；

（2）设4,4,4是C上的三个点，直线A4，均与M相切.判断直线与M

的位置关系，并说明理由.

第6页共23页

答案

22

5.（2021年新高考I）已知耳，K是椭圆C：工+匕=1的两个焦点，点”在。上，

94

则|阿卜|儿里|的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至制+|噌|=2。=6,借助基本不等式

\MF{\-\MF2\<际|+附居|即可得到答案.

I2）

【详解】由题，/=9,〃=4,则|阿|+|昨|=2。=6,

所以|孙卜阿玛区也当竺力=9（当且仅当|町|=|帆|=3时，等号成立）.

故选：C.

【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到.

14.已知0为坐标原点，抛物线C：丁=2内（〃>0）的焦点为尸，P为C上一点,PF

与x轴垂直，。为“轴上一点，且若怛。|=6,则。的准线方程为.

【答案】》=一三

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得〃，即得结果.

【详解】不妨设P（g,p），Q（6+g,0）,尸。=（6,—p）

因为PQ_LOP,所以Ux6“=oQp>o...p=3...。的准线方程为x=—g

3

故答案为：x=—

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点［（-比7,0）、鸟（历,0）|吗|一四用=2,点M

的轨迹为C.

第7页共23页

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=1上，过T的两条直线分别交。于A、3两点和P,。两点，且

2

\T^-\TB\^\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线产。的斜率之和.

【答案】（1）X2--^=1（%＞1）;（2）0.

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、乃为左、右焦点双曲线的右支，求

出。、〃的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）设点T,设直线AB的方程为y-f=匕［］一；，设点A（石,凹）、8（9,%），

联立直线AB与曲线。的方程，列出韦达定理，求出|酬­|7^|的表达式，设直线尸。的斜

率为网，同理可得出17H•|丁。|的表达式，由|24卜|7^=|72卜|丁。|化简可得匕+/：2的值.

【详解】因为|"制一|"|=2＜忸闻=2后,

所以，轨迹C是以点匕、K为左、右焦点的双曲线的右支，

22_________

设轨迹C的方程为三一,=1（。＞0力＞0）,则2a=2,可得a=l,/?二府二7=4,

2

所以，轨迹。的方程为了2-匕v=1（尤21）；

（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，

{

不妨直线AB的方程为y~-f%--,即,=k］x+t—^k］,

.1,

y=k.x+t——k.

联立，121,消去y并整理可得

16x2-y2=16

（左；—16）x?+%］（2.—4）x+［.—耳左］）+16=0»

第8页共23页

设点A(%，X)、8(%,%)，则玉〉g且

m+16

kr-2k,t

L

由韦达定理可得％+x2=个---,

Aq--16中

2^2—16

所以,

附•附=(i+#)•内_曰•卜_g=(i+幻｛中2―+\=«+；："：；')，

(产+⑵(1+团

设直线PQ的斜率为&2，同理可得|TP”TQ|=

^-16

因为网如研盛即审了二审翳

整理可得片=片,

即化一%)(%+4)=0,显然匕一七工0,故占+&=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2021年全国高考甲

5.己知耳，工是双曲线。的两个焦点，户为。上一点，且/耳桃=6()。,归国=3仍用，则

C的离心率为()

A.也B.叵C.V?D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|班|,|尸耳|,结合余弦定理可得答案.

【详解】因为归制=3|尸闾,由双曲线的定义可得|「制一忸由|=2|「的|=勿,

所以|P周=a,归周=31；

因为/月尸鸟=60。，由余弦定理可得4c2=9"+/一2x3a・a•cos60°，

第9页共23页

整理可得4c2=7/,所以e2=g=Z,即e=YZ.

a242

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立“，c间的等量关系是求解的

关键.

22

15.己知E，凡为椭圆G工+二=1两个焦点，R0为，上关于坐标原点对称的两点，

164

且|尸。|=山用，则四边形PGQ鸟的面积为.

【答案】8

【解析】

【分析】根据已知可得？耳，尸玛，设|P耳|=九|P8|="，利用勾股定理结合加+〃=8,

求出相〃，四边形P耳。鸟面积等于加〃，即可求解.

【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，

且IPQR6鸟I,所以四边形为矩形，

2

设|P4|=m,\PF2\=n,则=+〃=8,〃/+n=48.

所以64=（加+n）2=nr+2mn+n2=48+2mn,

〃加=8,即四边形P片。鸟面积等于8.

故答案：8.

20.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于只。两点，且

OPA.OQ.已知点M（2,0）,且0M与/相切.

（1）求C,的方程；

（2）设4，A2，A3是，上的三个点，直线A4,AA3均与M相切.判断直线44与M

的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）抛物线C:y2=x,M方程为*-2）2+丁=1：（2）相切，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利

第10页共23页

用对称性设出P,。坐标，由QP_LOQ,即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半

径，即可得出结论；

(2)先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若44,斜率存在，

由4,4,A3三点在抛物线上，将直线A4,44,44斜率分别用纵坐标表示，再由

44，A4与圆M相切，得出必+为，%。为与y的关系，最后求出M点到直线44的

距离，即可得出结论.

【详解】(1)依题意设抛物线C:y2=2px(p>O),P(l,yo),Q(l,-y0)，

OP±OQ,:.OPOQ=l-yl=l-2p^O,:.2p=i,

所以抛物线。的方程为V=x,

M(0,2),M与x=l相切，所以半径为1，

所以CM的方程为(x—2)2+丁=1；

(2)设4(%%)，4(%2，%)，4。3，)’3)

若44斜率不存在，则A4方程为X=1或x=3,

若44方程为x=i,根据对称性不妨设A(L1)，

则过4与圆M相切的另一条直线方程为y=1,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在&,不合题意;

若44方程为x=3,根据对称性不妨设A(3,6),4(3,—百),

则过4与圆M相切的直线44为y—6=*

d），

y—%11率，%=°，

又

ky内一&y+为6+%

刍=0,4(0,0),此时直线4人3,44关于X轴对称,

所以直线44与圆”相切;

若直线Aa，AIA3，4A3斜率均存在,

第11页共23页

I11

则々、,+、,，&伙=

X+%%+为

所以直线44方程为y—x=---------（》一玉）,

'x+%

整理得x-（y+%）y+y>2=°，

同理直线4A3的方程为x-（M+必），+必必=0，

直线42人的方程为彳一（y2+乂））'+必为=0，

|2+弘为11

与圆M相切‘飞+……

整理得（#-1）£+2、%+3-犬=o，

AA与圆”相切,同理（犬一1）¥+2必%+3-＞：=0

所以为，为为方程（#-1）9+2%卜+3-才=0的两根,

v+v---v7-2z£

%十必一21，，2%—21，

弘-1必-1

M到直线4A3的距离为：

i2+^i|

|2+%%1_犬-1

1+（%+%『2巫y

\y.2-i

一〃及；+1|一3+i=i

7（^-1）2+4/犬+1

所以直线42人与圆M相切；

综上若直线A4与圆M相切，则直线44与圆M相切.

【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示,

将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A4，A4的对称性，抽象出

%+力，＞2.必与必关系，把必，为的关系转化为用M表示.

2021年乙

第12页共23页

11.设3是椭圆。:0+斗=1(。>人>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足

IPB|<2b,则C的离心率的取值范围是()

「近八「1八L1]

A.,1B.一』|C.0,D.0,—

L2)L2)(2「I2」

【答案】C

【解析】

【分析】设尸(%,%),由5(01),根据两点间的距离公式表示出|尸耳，分类讨论求出归目

的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.

22

【详解】设P(%,%)，由8(0,。)，因为其+4=1,所以

a~b~

234

„,(v2>,r(hYh

|PB|=%O+(J-b\=a~1--1-+(%-)=-Qy+~+—+a2+b2,

0kh)bI0c)c

因』&为",当一W《—b,即从Ze?时，=4凡即户用=2/>,符合题

/।Imax1imax

意，由可得a222c2,即0<e4注；

2

当上>-b,即。<。2时，|p剧2=*/+/,即4+/+644〃,化简得，

c21lmaxc2c2

(c2-/>2)2<0,显然该不等式不成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出归却的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要

根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.

2

13.已知双曲线C:工一y2=i(机>o)的一条渐近线为0X+加>=0,则。的焦距为

m

【答案】4

【解析】

第13页共23页

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中后,从对应关系，联

立求解加，再由关系式求得c,即可求解

【详解】由渐近线方程+=化简得y=-@x,即2=同时平方得耳=3，

mamam

又双曲线中a2=m,b2=\,故A=-，解得加=3必=0（舍去），

m~m

c2=a2+^2=3+l=4=>c=2,故焦距2c=4

故答案为：4

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求

解是关键

21.已知抛物线。：/=2刀（〃>0）的焦点为尸，且尸与圆M：/+（y+4）2=l上点的

距离的最小值为4.

（1）求P；

（2）若点p在A/上，PAPB是C的两条切线，是切点，求面积的最大值.

【答案】（1）〃=2；（2）2075.

【解析】

【分析】（1）根据圆几何性质可得出关于〃的等式，即可解出"的值；

（2）设点A（x，y）、3（占,%）、P（x（p%）,利用导数求出直线24、PB,进一步可求

得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出|A8|以及点P到直线AB

的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得△尸面积的最大值.

【详解】（1）抛物线C的焦点为|月0|=巴+4,

\2/2

所以，尸与圆M:Y+（y+4）2=l上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得〃=2；

2Y

（2）抛物线。的方程为f=4y,即旷=亍，对该函数求导得y=5，

设点A（X1，X）、3（々,必）、P（Xo，）'o），

直线P4的方程为y_y=5（"_玉），即,=当_）'|，即X科_2y_2y=0,

第14页共23页

同理可知，直线尸8的方程为%-2y=0,

再/_2%―2%=0

由于点P为这两条直线的公共点,则＜

x2xo-2y2-2yo=O

所以，点A、3的坐标满足方程飞》一2丁一2%=0,

所以，直线A3的方程为不工一2>-2yo=0,

xox-2y-2yo=0

联立“x2，可得f—2x(>x+4>0=0,

由韦达定理可得用+々=2x（）,为赴=4%,

片一4%=1-(%+4『-4%=-尤-12%-15=-(%+6『+21,

13

由已知可得—54％4-3,所以，当为=-5时，△尸A3的面积取最大值上x202=20

2

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

河南省2021

11.设8是椭圆。:三+），2=1的上顶点，点—在。上，则1PBi的最大值为（）

第15页共23页

【答案】A

【解析】

2

【分析】设点尸(天,为),由依题意可知，8(0,1),段+y：=l,再根据两点间的距离公

式得到|PB『，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

2

【详解】设点P(Xo，)'o)，因为8(0,1),.+y；=l,所以

\PBf=%+(%_1)2=5(1-尤)+(%-1)2nfdyo+GnY卜0一；)+今

而一所以当%=g时，।尸耳的最大值为g.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想

以及二次函数的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B

最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注

意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求

最值..

r2V2

14.双曲线二一乙=1的右焦点到直线x+2y-8=o的距离为

45

【答案】亚

【解析】

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，0='/+/=石百=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),

°八|3+2x0-8|5位

所以右焦点(3,0)到直线x+2y—8=0的距离为」,干+？丁-=忑=爽.

故答案为：75

20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点户到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

第16页共23页

（2）已知。为坐标原点，点尸在C上，点0满足PQ=9QF,求直线。。斜率的最大值.

【答案】（1）y2=4x；（2）最大值为L

3

【解析】

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设。（毛,%）,由平面向量的知识可得P（10M一9,10%），进而可得%=25；了9,

再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【详解】（1）抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸（5,（）］,准线方程为x=—

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为^一］-=P=2,

所以该抛物线的方程为>2=4尤；

（2）设。（毛,%），则PQ=9Q尸=（9一%,—9%）,

所以*10%-9,10%），

由P在抛物线上可得（10%）2=4（10%—9），即/=25：\+9,

k=%=%=10%

所以直线的斜率0Q/25y；+925乂+9,

10

当先=0时，左00=0;

,10

当"。时，。。-25%+2，

%

当%>0时，因为25yo------225yo——30,

%V%

193

此时。〈攵OQ<£，当且仅当25%=一，即为=£时,等号成立;

3%5

当%<0时，k°Q<0；

第17页共23页

综上，直线。。的斜率的最大值为

3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求

斜率的最值时要注意对先取值范围的讨论.

2021年浙江16.已知椭圆=+二=1(。>匕>0),焦点片(-c,O),居(c,0)(c>0),若

ab

(iv

过”的直线和圆x—+y2=/相切，与椭圆在第一象限交于点尸，且轴，

则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.

【答案】(1).拽(2).正

55

【解析】

2

【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/P耳居=],再根据同角三角函数基本关系

即可求出左=1211/2"8=|石；再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.

【详解】

如图所示：不妨假设c=2,设切点为8,

\AB\2,22/-

昌=；，tan/P£K=='5

sinNPFE=sinZBFtA=

百43A/32-225

所以女=拽，由女=将，恒用=2C=4,所以|「周=量5,已用=为叵，于是

5|12155

c_2_V5

2a=\PFi\+\PF2\=4y/5,即a=26,所以e

a~2y[5~5

故答案为：乎；*

21.如图，已知尸是抛物线y2=2px(〃>0)的焦点，材是抛物线的准线与x轴的交点，且

第18页共23页

画卜2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点厂的直线交抛物线与两点，斜率为2的直线，与直线MA,MB,AB,x轴

依次交于点只。，R,N,且|/?N「=|RVHQN|,求直线1在x轴上截距的范围.

【答案】（1））2=4x；⑵卜8,-7—4>/§],[-7+46,1）（1,+8）.

【解析】

【分析】（1）求出P的值后可求抛物线的方程.

⑵设AB:x=）+l,4（3,凹）,6（号必），N（〃,0）,联立直线AB方程和抛物线的

方程后可得y%=-4,y+%=4心求出直线M4,MB的方程，联立各直线方程可求出

（/7+1V3+4产

y，y,y,根据题设条件可得一；——从而可求〃的范围.

PQR（2Z-1）

【详解】（1）因为|用曰=2,故〃=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

（2）设AB:x=/y+l,A（^,y1）,B（x2,y2）,N（n,O）,

所以直线/:%=£+〃，由题设可得〃且

22

x=(y+l.

由，2;可得>2-49一4=0,故乂%=-4，,+%=今,

y=4x

因为|RN「=|PN|.|QN|,故

第19页共23页

y=y'（x+1）/］、

-x+r72（〃+i）y

又"A：y=/h（x+i），由'1

y2玉+2-y

x=—+n

2

同理为=盘点

*"+1-2（〃-1）

由，y可得y=---------

x=-+n八2t-\

2

2

2（n-l）2（〃+1）为x2（"+l）X

所以

2r-l2x2+2-y22尤1+2-y

整理得到

〔痣Zf（2々+2-%）（2%+2-yj

4⑵-I）?

5+2一15+2f

2

4（21）2（2—1）2

3+4产

+（%+力->2%-气2txM%-2（%+y）+4

〃+1j3+4产

故1=（W1

〃一1

s+1

令s=2/-1,则r=-----且s，0,

2

3+4/52+25+424

故；-----B,21+-+—=4

（2—）ss"

（n+\

I>-fn2+14n+l>0

故，（几-1।4即《

〃H1

n，1

解得〃4一7-或一7+46«〃<1或附>1.

故直线/在x轴上的截距的范围为〃4-7-或一7+4G<〃<l或〃>1.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合

理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元

第20页共23页

法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.

2021年乙

22

16.已知与，F2为椭圆aL+上=1的两个焦点，尸,。为。上关于坐标原点对称的两点，

164

且|尸。|=旧段，则四边形至口后的面积为.

【答案】8

【解析】

【分析】根据已知可得P耳，。工，设IP片1=加,1261=”，利用勾股定理结合加+〃=8,

求出如7,四边形。片。鸟面积等于加〃，即可求解.

【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，

且|PQI=I68I,所以四边形「片。玛为矩形，

22

设I尸耳|=m,\PF21=n,则m+n=8,/n+n-48,

所以64=（m+〃>-mi1+Imn+n2=48+2mn,

〃切=8,即四边形鸟面积等于8.

故答案为:8.

21.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于2。两点，且

OPA.OQ.己知点M（2,0）,且。M与/相切.

（1）求GM的方程；

（2）设4，4，4是C上的三个点，直线A4,4人3均与CM相切.判断直线4