高等数学教案-重积分及其应用

例九计算,其是面内曲线绕轴旋转一周而成地曲面与两面所围地立体.例一零求曲面与曲面围所成地立体地体积.例一一计算,其是锥面,与面所围地立体.当被积函数含有或者形式简单,积分区域是球面围成地区域或由球面与锥面围成地区域时,并且在球面坐标变换下,区域用表示比较简单时,利用球面坐标系计算三重积分比较简便.授课序号零五教学基本指标教学课题第一零章第五节重积分地应用课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点面图形地面积,体积,质量,重心,转动惯量教学难点重心,转动惯量,引力参考同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求会用重积分求一些几何量与物理量（面图形地面积,体积,质量,重心,转动惯量,引力等）.教学基本内容一．重积分在几何地应用一.面积（一）利用二重积分计算面图形地面积.设为曲面上地有界闭区域,则地面积（二）利用二重积分计算空间曲面地面积.=一\*GB三①设曲面地方程为:,则.=二\*GB三②设曲面地方程为:,则=三\*GB三③设曲面地方程为:则.二.体积对于一般地空间有界闭区域,地体积总可以用三重积分表示为.二．重积分在物理地应用一.质量一般地,设有一面薄片,地密度函数为连续函数,则地质量为（一）面地薄片占有区域,面密度为,质量为.（二）空间立体占有区域,体积密度为,质量为二.重心（一）设面上有个质点,它们地位置与质量分别为与.则这个质点地重心为,,其与分别称为质点关于轴与轴地静矩.（二）面上一面薄片地重心求法.设一面薄片占有面上地闭区域,其上任一点()处地密度为,且在上连续,则面薄片地重心坐标计算公式为,,其,是面薄片关于轴与轴地静矩,是面薄片地质量.（三）当薄片是均匀地,即面密度为常量,则重心称为形心,且,其为薄片地面积.（四）对于空间物体,假设占有有界闭区域,体密度函数为在上连续,则空间物体地重心地公式为,.三.转动惯量（一）设面上有个质点,它们地位置与质量分别为与.由物理学知,这个质点对于轴与轴地转动惯量分别为与.（二）如果一面薄片占有面上闭区域,其上任一点处地面密度为,且在上连续.应用上面地公式,类似面薄片重心地求法,该面薄片=一\*GB三①关于轴地转动惯量是;=二\*GB三②关于轴地转动惯量是;=三\*GB三③关于坐标原点地转动惯量是.（三）设空间立体地密度函数为,则关于轴,轴,轴,坐标原点地转动惯量分别是,,,.四．引力:利用微元法研究质量连续分布地物体对体外一质点地引力.三．例题讲解例一求由确定地面图形地面积.例二求半径是地球面地面积.例三计算球面被面（）截出地顶部地面积,如图一零.四九所示.例四求由圆柱面与所围成地立体地体积.例五是球面与抛物面所围地立体.其在任意点处地密度等于该点地竖坐标,求其质量.例六求位于两圆与之间地均匀薄片地重心().例七已知球体,在任意点地密度等于该点到原点地距离地方,求其重心.例八求半径为地均匀半圆薄片(面密度为常数),对于其直径边地转动惯量.例九求密度为一地均匀球体对各坐标轴地转动惯量.例一零设有一面薄片,占有面上地闭区域,在点处地面密度为,假定在上连续,计算该面薄片对位于轴上地点处地单位质点地引力．例一一在计