2023-2024学年广东省广州市荔湾区西关高一下册期中数学模拟试题

2023-2024学年广东省广州市荔湾区西关高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数A． B． C． D．【正确答案】B【详解】试题分析：因为,由题意可得,解得.故B正确.复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和的性质，属于容易题．解题时一定要注意和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错.2．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（

）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．【正确答案】D【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.故选：D.3．在中，，则为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.【详解】由正弦定理可得：，而，所以，则，即易知，所以在三角形中，所以.故选：C.4．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为．A． B． C． D．【正确答案】B三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，即可求出其侧棱长．【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是，所以球的半径为1，所以正方体的对角线的长为2，设侧棱长为a,则.所以侧棱长为．故选．本题主要考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，推理能力，解题的关键就是将三棱锥扩展成正方体，属于中档题．5．在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（

）A． B． C．4 D．【正确答案】D【分析】本题首先可以结合题意绘出图像，然后根据求出、长，再然后在中通过余弦定理求出，最后在中通过余弦定理即可求出长.【详解】如图，结合题意绘出图像，因为，，所以，，因为，所以，在中，，即，解得或（舍去），，在中，,即，解得，故选：D.关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式为，考查计算能力，是中档题.6．如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】首先利用平行关系，作出截面，再求截面面积.【详解】取中点G，中点H，则△AGH就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，其中，，GH边上的高为，所以△AGH的面积.故选：D7．平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、，，，，所以，，，，则，因此，.故选：A.关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.8．如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【正确答案】D【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值．【详解】依题意可得如下图形，

在中，，，，由正弦定理得，解得，在中，，所以，所以红豆树的高度为千米．故选：D．二、多选题9．已知复数z满足，则下列结论中正确的是（

）A．z没有实部 B． C． D．【正确答案】BCD【分析】先根据复数的除法运算法则化简复数，结合复数实部的定义、共轭复数、复数的乘方法则、复数模的运算公式逐一判断即可.【详解】因为，所以，所以z的实部为0，，，.故选：BCD10．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（

）A． B．C． D．【正确答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别判断即可【详解】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故选：AD.此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题11．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，则（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为【正确答案】BD【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，设，根据求出，即可确定点位置，从而判断A、C，根据即可判断B，再根据向量数量积的坐标表示及向量模的坐标运算判断D；【详解】解：由题意知，为的中点，，以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，，设，，则，，因为，所以，解得，即为的中点，即，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：，，所以因为，故C错误；对于D：因为，，在方向上的投影为，所以在方向上的投影为，故D正确．故选：BD．12．下列说法正确的有（

）A．若一个圆台的上，下底面半径分别为，，则其内切球的表面积为B．正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为C．已知边长为的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为D．正三棱锥的所有棱长均为，其外接球体积为【正确答案】AC【分析】画出球内切于圆台、正三棱锥的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，即可判断A；分别取线段，，的中点为，，，即可得到经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，求出其面积可判断B；根据平面图形的原图形与直观图面积的关系可判断C；将三棱锥放到棱长为的正方体中，则正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算即可判定D．【详解】对于A，球内切于圆台的轴截面如图：

其中，，，，为球的直径，球的半径为，其表面积为，故A正确；对于B，分别取线段，，的中点为，，，

则经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，其边长为，面积为，故B错误；对于C，边长为1的菱形中，，菱形的面积为，用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为，故C正确；对于D，正三棱锥的所有棱长均为，此三棱锥一定可以放在正方体中，

我们可以在正方体中寻找此三棱锥，如图所示三棱锥．正方体的棱长为．此正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为，外接球的体积，故D错误．故选：AC．三、填空题13．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．【正确答案】【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，，所以，所以的周长为.故答案为.关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.14．已知正方形的边长为，边，的中点分别为，，则________．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可.【详解】以为原点，，方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，∴，，，∴，∴.故答案为.15．已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.【正确答案】4【分析】写出侧面积表达式，求出，即可得圆台的母线长．【详解】解：，，．故416．已知平行四边形，，，为锐角，且，点是边上一定点，点是边上一动点，若恒成立，则______．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出动点的坐标，计算的最小值，即可求出点的坐标，从而求出的值．【详解】平行四边形中，，，为锐角，且，所以，建立平面直角坐标系，如图所示：

因为，解得，又因为，解得，所以；又，，，设，，则，，所以，当时，取得最小值为，此时，若恒成立，则，所以．故．四、解答题17．已知复数z满足，其中i是虚数单位，a为实数．(1)若，求实数a的值；(2)若复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【正确答案】(1)或(2)【分析】（1）根据方程求出，然后利用复数的模长公式，解出即可；（2）首先求出，然后根据复数对应的点所在象限列出不等式，求出的范围.【详解】（1）由，得，所以．因为a是实数，所以，所以，解得或．（2）由（1）得，因为复数对应的点在第四象限，且a是实数，所以解得，所以实数a的取值范围是．18．设，，向量，，，且，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解，的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角．【详解】（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，则，则；（2）因为，，所以，，设向量与夹角为，则，故，即向量与夹角为．19．如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．(1)证明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．【正确答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理即可求证，（2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于为三角形内角,所以，由(1)知,故因此,进而得20．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点．(1)求证：平面PAB；(2)求点C到平面PMN的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行，证明线面平行.（2）利用等体积法，即可求点面距离.【详解】（1）在上取一点E，使得，，四边形BCME为平行四边形，，又平面，平面PAB，直线平面PAB；（2）取AQ的中点T，连接AN，DN，TN在中，，在中，，在中，，在中，，，因为，，所以，因为，所以因为平面ABCD，所以平面ABCD，．设点C到平面PMN的距离为d，则即，解得21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的值；(2)若，求的值以及．【正确答案】(1)(2)，．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，结合正弦定理和已知条件即可求解；（2）将已知条件平方，再结合余弦定理得到，结合已知条件和正弦定理以及（1）的结论即可求解.【详解】（1）在△ABC中，由，得，由正弦定理，得结合已知条件得，A为△ABC中的一个内角，∴，解得．（2）由，平方得①由余弦定理，得②联立①②解得，∴．由，，结合正弦定理，可得，．联立解得．22．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱