小学奥数之几何五大模型精编版

小学奥数之几何五大模型精编版最新资料推荐：五种几何模型一、等积变换模型等积变换模型指的是两个三角形面积相等的情况。其中包括等底等高的三角形，以及高相等或底相等的三角形。此外，若夹在一组平行线之间的两个三角形面积相等，则可知这两条直线平行。正方形的面积等于对角线长度平方的一半，而三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。二、共角定理模型共角定理模型指的是共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比。例如，在三角形ABC中，如果点D和E分别在AB和AC上，那么△ABC的面积与△ADE的面积的比值等于AB乘以AC的比值除以AD乘以AE的比值。三、蝴蝶定理模型蝴蝶定理模型指的是任意四边形中的比例关系。其中，①S1:S2=S4:S3或者S1乘以S3等于S2乘以S4；②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)。梯形中的比例关系称为“梯形蝴蝶定理”，其中包括S1:S3=a²:b²、S1:S3:S2:S4=a²:b²:ab:ab，以及梯形S的对应份数为(a+b)²/2。四、相似模型相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形，它们具有一些常用的性质和定理，如AD/AB=AE/AC，以及S△ADE:S△ABC=AF²:AG²。五、金字塔模型和沙漏模型金字塔模型和沙漏模型是两种特殊的几何模型。金字塔模型是指一个底面为正方形或矩形，侧面为三角形的几何体，而沙漏模型则是由两个相似的三角形组成的几何体。这两种模型在计算体积和表面积时都有特殊的公式和方法。相似三角形有两个重要的性质：⑴所有对应线段长度成比例，比例等于相似比；⑵面积比等于相似比的平方。燕尾定理模型可以用来求解相似三角形的面积比。例如，对于三角形ABG和AGC，它们的面积比等于BE:EC，而对于三角形BGA和BGC，它们的面积比等于AF:FC。同理，对于三角形AGC和BCG，它们的面积比等于AD:DB。举例1，一个长方形可以分成4个不同的三角形，其中绿色三角形的面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。求长方形的面积。解：设长方形的长和宽分别为a和b，则绿色三角形的面积为0.15ab，黄色三角形的面积为21平方厘米，因此另外两个三角形的面积之和为ab-0.15ab-21=0.85ab-21。又因为长方形的面积为ab，因此有0.85ab-21=ab，解得ab=140平方厘米。举例2，如图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，已知DF=DC，且AD=2DE。求两块地ACF和CFB的面积比。解：由相似三角形的性质可知，三角形ADE和三角形ACF相似，因此它们的面积比等于AD:FC的平方，即4:1。同理，三角形BDE和三角形BCF相似，它们的面积比也是4:1。因此，两块地ACF和CFB的面积比为4:1。举例3，如图所示，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，求三角形DEF的面积。解：因为三角形ABC和三角形DEF相似，所以它们的面积比等于相似比的平方。根据题意，AB:AD=1:2，BC:BE=1:3，CA:CF=1:4，因此相似比为2:3:4。又因为三角形ABC的面积为1，所以三角形DEF的面积为(2/3)^2*(1)=4/9。举例4，如图所示，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，且△AOM、△ABO和△BON的面积分别为3、2、1。求△MNC的面积。解：由相似三角形的性质可知，△AOM和△BOC相似，因此它们的面积比等于AM:MC的平方，即3:1。同理，△BON和△AOC相似，它们的面积比也是1:3。因此，△MNC和△ABC的面积比为1:3，即△MNC的面积为(1/4)*△ABC的面积。又因为△ABC和△AMC的面积之和等于△AOM、△ABO和△BON的面积之和，即3+2+1=6，所以△AMC的面积为(1/2)*6=3。因此，△MNC的面积为(1/4)*3=3/4。举例5，如图所示，四边形EFGH的面积为66平方米，且EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA。求四边形ABCD的面积。解：连接对角线EG和FH，可以将四边形EFGH分成两个三角形和一个平行四边形。设平行四边形ABCD的面积为S，平行四边形EFGH的高为h，则有S=2*(1/2)*h*(AB+BC)=h*(AB+BC)。又因为平行四边形ABCD和EFGH的面积之和等于四边形ABCD和EFGH的面积之和，即S+66=S+AB*AD，所以AB*AD=66。因为EA=AB，HD=DA，所以AD=2AB，HD=AB，因此AB*(AB+AB+HD+CB)=66，解得AB=3，BC=6，因此ABCD的面积为AB*BC=18平方米。举例6，如图所示，长方形ABCD中，EF=16，F=9，求AG的长。解：连接AG和BF，可以将长方形ABCD分成两个三角形和一个梯形。设AG的长为x，则BF的长为9-x，梯形EFBG的面积为16*(9-x)/2=8(9-x)，因此长方形ABCD的面积为8(9-x)+2*(1/2)*x*9=72-3x。又因为长方形ABCD的面积等于AB*BC，即72-3x=12*6，解得x=4，因此AG的长为4。例7：在长方形ABCD中，已知AH＝5cm，HF＝3cm，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，求AG的长度。解析：由于E为AD中点，因此AE＝ED＝1/2AD，又因为AF与BE交于G，所以AG∶GB＝AF∶FE，即AG∶(AD/2)＝(AD/2－3)∶(AD/2)，解得AG＝2cm。例8：在三角形ABC中，已知BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB的长度比。解析：根据梅涅劳斯定理，连接AE，交BD于F，则有AF∶FB＝S(CEA)∶S(CFB)＝(4/7)∶(3/11)，故AF∶FB＝44∶21。例9：在△ABC中，已知G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，求△ABC的面积。解析：连接EF，交MN于K，则KF＝FN，EK＝KM，因此△KFE与△KMN全等，又因为△ABM与△CGB相似，所以S(ABM)∶S(CGB)＝AM∶CG＝1∶2，设S(ABM)＝x，则S(FCGN)＝x－7.2，又因为S(ABM)＝S(AEK)+S(KFE)，所以x＝S(ABM)＝S(AEK)+S(KMN)，即x＝(1/2)S(ABC)，代入可得S(ABC)＝2(x＋7.2)＝2(2S(ABM)+7.2)＝4x＋14.4，故S(ABC)＝28.8平方厘米。例10：在正方形ABCD中，CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积