2021届高考数学（理）全真模拟卷01（新课标Ⅱ卷理）（解析版）

新高考全真模拟卷oi(新课标n卷)

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4={洲2、>1},B={X|X2<4},则AUB=()。

A、(-2,0)

B、(—2,+co)

C、(0,1)

D、(1,+co)

【答案】B

【解析】VA={x|x>0},B={x\-2<x<2],：.AUB={x|x>-2},故选B。

2.在复平面内，复数z满足(l-i)z=l+i+(2i)2,则复数z对应的点位于()。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】C

【解析】由已知得：(1—i)z=—3+i,则2=二^比=6型匕4=王^=-2-，，

I-z(l-z)(l+z)2

...复数Z对于的点为(-2,-1),位于第三象限，故选C。

3.若a、b、ceR,且(}"<《)=则下列不等式中一定成立的是()。

A、ac>bc

B、(a-b)-c2>0

「11

C^—<—

ab

D、o'>h3

【答案】D

对于A,若c<0,则不等式不成立,

对于B,若c=0,则不等式不成立，

对于A,若a>0、h<0,则不等式不成立，

tQI2

对于D,若。3一/=（。一切32+砂+/）=（。一。）.［（。+为2+叁］>0,・・.。3>〃，

24

故选D。

4.射线测厚技术原理公式为/=/。・£“似，其中/。、/分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的

底数，/为被测物厚度，p为被测物的密度，口是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用锢-241OR加〃）

低能Y射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢板的密度为7.6,则钢板对这种射

线的吸收系数为（）。

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2«0.6931,结果精确到0.001）

A、0.110

B、0.112

C、0.114

D、0.116

【答案】C

【解析】由题意可知,=，、p=7.6、/=0.8,代入/=得：76°和，

，o22

即—7.6xO.8|i=ln』=—In2,即日=1n2r。［931。0」也,故选c。

27.6x0.86.08

5.已知a为第三象限角，且sin2a-2=2cos2a,则sin（2a-0）的值为（）。

4

7V2

、

Alo-

7

B、

10

7

C、

To

7V2

D、~W

【答案】D

【解析】由己知得sin2a-2=2（cos2a-l）则tan2a=4,由a为第三象限角，得tana=2.

故sina=-半，cosa=-乎，Asin(2a-^)=(sin2a-cos2a)=,故选D。

6.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张,

直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）。

A、

10

【答案】C

【解析】将5张奖票不放回地依取出共有或=10种不同的取法，

若恰好在第4次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第4次抽到最后1张中奖票,

共有C；=3种不同的取法，

3

概率P=±,故选C。

10

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）。

c亚

3

D、&

3

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锤P—ABC如图所不，

其中AABC是边长为2的正三角形，

作•平面ABC与点〃，

连接8”，交AC于点G,则G为AC的中点，

PH=桓、AC=2、BG=6,

VP_AKC=—x—x2x>/3xV2=,故选D。

323

8.某商业区要进行"5G”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形五，某电讯公司在正六边形的

对角顶点A、。处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以A、。为圆心，正六边形的边

长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“5G”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，

则他刚好在“5G”信号盲区内的概率约为（）。

A、

3

16兀

B、1----------

9

C、1----------

18

4岳

1---------

27

【答案】D

【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，

设正六边形1的边长为a,

贝！］S阴彩=2x《x型=型/，

c_A12V3_3A/32

S正大边形ABCDEF=6xax—=，

则该游客刚好在“5G”信号盲区内的概率约为：

2兀2

1——=1一^1=1_心，故选D。

S正六边^ABCDEF3,3227

-----CL

2

9.函数/（x）=2cosgx+：）（3>0）的图像关于x=/对称，且在（方兀）上单调递增，则函数/（x）在区间

［苫中上的最小值为()。

A、—2

B、—5/2

C、-1

D一挺

2

【答案】B

【解析】由题意得：33+二=2女兀+7i(&eZ),解得8=4火+3(&eZ),且工之工，

242co2

3

故0vcoW2,，co=—,

2

即/(x)=2cosgx+3),V--<x<->：.--<-x+-<—,

24232244

故/（x）在区间［-冕］上的最小值为-亚，故选B。

10.已知函数/（X）=；/+H+C,在％］处取得极大值，在々处取得极小值，满足为€（-1,0）,

x2e（0,l）,则竺丝士i的取值范围是（）。

a+2

A、［0,31

B、（0,3）

C、［1,3］

D、（1,3）

【答案】D

【解析】:/（x）=gx3+bx+c,/.//（x）=x2+ax+b,

・・,函数/（x）在区间（-1,0）内取得极大值，在区间（0,1）内取得极小值，

・,・/（%）=/+@+h=0在（T,O）和（01）内各有一个根,/（o）<o,r（-i）>o,r（i）>o,

b<0

即1一〃+。>0,在坐标系中画出其表水的区域，竺竺±3=1+2x92,

,八a+2a+2

令m=二三二其几何意义为区域中任意一点与点（—2,-1）连线的斜率，

a+2

分析可得0<29<1,则1<"+2"+4<3,...”+*±4的取值范围是（］,3）,故选D。

a+2a+2a+2

22

11.已知尸（-5,0）是双曲线二一二=1（。>0,Z?>0）的左焦点，过尸作一条渐近线的垂线与右支交于点P,

ab

垂足为A,且|Q4|=3|4/I，则双曲线方程为（）。

%2

A、=1

205

B、¥__匕

520

C、*1

16

工一21

D、

916

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为片，连接期，

左焦点尸(-c,0)到渐近线y=的距离为,故|姑|=3b,

a

在AE4O中，cosZAFO--,由双曲线定义得|「乙|=46—2a,

C

在APFF,中，由余弦定理得(4b-2ay=(4/7)2+(2c)2-2x4bx2cx-,

c

整理得16/-16必=4(c、2-a2)=4/,即%=而，又。2+/=25,

22

解得/=9、/=]6,故双曲线方程为：—-^-=1,故选D。

916

12.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面A3CO为正方形，

4?=2,侧面△2£＞为等边三角形，线段3C的中点为E,若PE=1,则所需球体原材料的最小体积为()。

8居

AA、-----

3

D28兀

3

C、9兀

n147371

D、------

3

又PE=1、EF=AB=2,:.PFLPE，：.ZPEF=6ff,

又PE=BE=CE=1,：.E为△/汨C外心，

则球心。一定在过点E旦垂直于侧面PBC的垂线上，

AOELPE.：.ZOEG=30°,：.OG=—EG=—,

33

又「AG=；AC=V^,r=AO=〃G2+OG2=r2+；=粤，

此时球心0在四棱锥P-ABC。外，不是最小球，浪费材料，

可把底面A3CD的外心G看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥P-ABCD的外接球,

但这时候原材料最省，最小球的半径R=AG=忘，兀汽3=当曹，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量a=(2,l),b-(xA-x),c=a+b,若c_L〃，则|c|=。

【答案】4百

【解析】由已知得+。.5=6+%=0,解得％=-6,

则b-(-6,7),c=a+b=(-4,8),故|c|=J16+64=4百。

2

14.若函数/(x)=sinr+—A/4-X,且n=^2f(x)dx，则(工-J-y)"的展开式中含盯的项的系数

71\IX

为。

【答案】60

2

［解析］〃=^2f(x)dx=f2(sinx+』yl4-x)dx=f^2sinxdx+f^2—-=0+—yl4-^dx=6,

71--兀71

故展开式中含孙的项为C〉(-W•C；•》?.《.(-才)3=60中，故其系数为60。

15.在A43c中，点。是5c的中点，ZR4O+NC=3,且A5>AC,仞=6，则/0C+/5=,

2

BC=»(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】26

JTTT

［解析】ZBAD+ZC=-,；.ZDAC+NB=—,

22

在ABAD和AZMC中，分别由正弦定理得一^―=—,―^―=—,

sinZBADsinBsinZDACsinC

又BD=CD，,两式相比得*mI1一。="上,即sinNZMC-sinB=sin/BA£>sinC,

sinZBADsinB

即sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，

则ZB=NC或NB+/C=3,又AB>AC,/.ZB+ZC=-,故3c=24。=2百。

22

16.设函数/(x)="e*-gx-3的零点为演、々、…x,，［幻表示不超过x的最大整数，有下述四个结论:

①函数/(X)在(0,+8)上单调递增；②函数/(X)与』里有相同零点；③函数/(X)有且仅有一个零点，且

X

［再］=2；④函数“X)有且仅有两个零点，且［再］+［超］=-6。其中所有正确结论的序号是。

【答案】①②④

【解析】fr(x)=ex-(l+x)--,当x£(0,+8)时，/(%)>0,

・・・函数/(x)在(0,+8)上单调递增，故①正确，

显然x=0不是f(x)零点、,令g(x)=/®=e*-°一

xx2

则在(F,0)U(0,+8)上，/(幻与g(x)有相同零点，故②正确,

在(—8,0)U(0,+8)上，g，(x)=e”+3>0,

x

：.g(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+00)上也单调递增，

7与

而g6=e-]<0、8出=02-2>0,.•.存在不6(1,2),使g(芭)=0,

又g(—7)=l—[<0、g(—6)=[>0,...存在的7,—6)，使8(々)=0，

e14e

：.g(x)在(-8,0)11(0,+8)上只有两个零点X|、X,,也即/(X)在R上只有两个零点到X1、巧,

且出]+[巧]=1+(-7)=-6,故③错误、④正确，正确的命题有3个，故填①②④。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)

已知等比数列｛%｝的前,项和为S„,且=2S,+1(〃w&)。

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛2｝满足%=,求数列｛2｝的前〃项和Tno

【解析】(1)当〃=1时，。2=2〃1+1,1分

当〃之2时，an+l-an=2Sn-2Sn_｝=2an,即。〃+]=3a〃，2分

.二等比数列｛4｝的公比是3,火=3q,即2q+1=3q,故q=1,3分

故数列｛4｝是首项为1,公比为3的等比数列，勺=3”一\4分

,,"|

(2)由(1)知，an=3,又册=3»「\；・b〃-l=n-l,故b〃=n,：•媪=,6分

m.T123n-2n-1n_

则乙二手+三+三+…+^^+^^+宁，7分

两式相减得:

1

4X3”T

18.(12分)

“一带一路''为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新

实践。某企业为抓住机遇，计划在某地建立舜猴桃饮品基地，进行饮品A、B、C的开发。

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条

形图。若饮品A的百件利润为400元，饮品3的百件利润为300元，饮品C的百件利润为700元，请估计

三种饮品的平均百件利润；

(2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品。的研发。己知工艺改进成功的

概率为开发新饮品成功的概率为上，且工艺改进与饮品研发相互独立；

53

①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

②若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成

功则亏损70万元，求该企业获利匕的数学期望。率频数

45

35

0ABC饮品

【解析】(1)根据样本的条形图可得：顾客选择饮品A的频率为与=0.35,

选择饮品8的频率为---=0.45,选择饮品C的频率为---=0.20,

由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品A的频率为±=0.35,

100

选择饮品B的频率为:二=0.45，选择饮品C的频率为—=0.20,

则可以得到总体的百件利润平均值为400x0.35+300x0.45+700x0.20=415元；4分

⑵①设饮品工艺改进成功为事件a，新品研发成功为事件b，

依题意可知事件a与事件b相互独立，

事件M为工艺改进和新品研发恰有一项成功，

--42113

则P(M)=P(ab)+P(6z&)=-x-+-x-=j

②由题意知企业获利&的取值为-100、10、120、230,7分

122428

Ap(^-ioo)=-x-=—,P(^=10)=-x-=

=H，

P020)=*4,%=23。)=%夫4

:—,11分

15

2Q1〜八4184

&的分布歹ij为£(&)=-100x百+10x^+120x12分

15153

19.(12分)

如图①，已知在长方形ABC。中，43=2,4)=4行，E、尸分别为A。、3C的中点，以EF为棱将

矩形ABCO折成如图②所示，使得二面角。一瓦'—3成60","为AE中点。

(1)证明：直线A/_L平面8OW：

(2)求二面角-E的余弦值。

【解析】(1)丁E尸，DE,EFLAE,OEu平面QE4,AEu平面。£4,DEC\AE=E,

二平面QE4，又DEu平面DE4,；.2分

由已知得ZDEM为二面角。—石F-A即二面角C-M—3的平面角，,ADEM=60°,

又EM」AE,AE=DE,：.DELAE,又AEnEF=E,二ZW_L平面AEF,

2

；AFu平面AEE，DW_LAF，4分

在矩形A3EE中，VAMAB=AABF=90a,处=尤=丘，

AMAB

AM4B且A4BF，AMBA=ZAFB,ZMBA+ZBAF=90°,MB±AF,

,：DMHBM=M,DWu平面BDM、BMu平面5£>M，，A/_L平面8DV/；6分

(2)作MPLE4,交BF与点、P,由于。M、MP及AE相互垂直，

故以M为坐标原点，

以M4为x轴、MP为y轴、M。为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得4(衣0,0)、8(立,2,0)、D(0,0,V6),F(-V2,2,0),

由(1)知APJ■平面BDM，，平面BDM的一个法向量为#=(-2百2,0),7分

在平面/中，丽=(2"0,0),DB=(V2,2,-V6),

设平面的一个法向量为G=(x,y,z),

FB-/?=02?X°,令z=后可得〃=(0,后发)，

则一一即v10分

DB•〃=0v2x+2y-v6z=0

cos<>=,2^,=—，二二面角M-DB-F的余弦值为正

12分

V8+4xV3+255

20.(12分)

已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，点E(TQ),圆/+丁=户*>0)与抛物线c交于A、3两点，直

线3E与抛物线交点为。。

(1)求证：直线AO过焦点/；

(2)过F作直线MNLAO,交抛物线C于V、N两点，求四边形ANQM面积的最小值。

【解析】(1)由题意，设A*。，％)、倒与，—%)，直线8E的方程为y=m~(x+l),

%+1

y=——(x+1)v

2

联上飞+1得—―y+(XQ+1)y+=0,2分

y=4x4

由题意可得，该方程有一个根为-

由韦达定理得一%为7=4,则如=一~—,),

%几为

4

则直线的斜率为」丁=学~，直线尸的斜率为手-=学」,

EDA4分

1_±Jo-4Jo।Jo-4

%4

：.kAF=kFD,故A、E、。三点共线，，直线AO过焦点F；5分

⑵设直线AZ>方程为y=A(x-l),则直线用N的方程为y=-4(x—l),6分

k

联立12得：k2x-(2k2+4)x+k2=0,

y=4x

28+44

设A。］,y)、B(X2,为)，贝1」再+々=-p-=2+记，

：.\AD\=xl+x2+2=4+-^,同理可得|MN|=4+422,10分

・・・四边形AN。”面积为:

,,1

S=L]|MN|=±]x(4+[)4x(4+4%2)=8x(/2+B+2)232,

22%k

当且仅当％=±1时，四边形⑷VDM面积取得最小值，最小值为32012分

21.(12分)

2

已知函数f(x)=\nx+axo

(1)当a=-女2时，判断函数f(x)的单调性；

e

2i

XInY

(2)若函数g(x)=/(%)--+—有两个极值点，求正整数a的最小值。

28

【解析】(1)当“=——时，/(x)=ln2x——，定义域为(0,+8),

ee

/，/、21nx22elnx-2x

则llhlf。)=--------=----------，1分

xeex

设机(x)=2elnx-2x,定义域为(0,+8),贝U加(幻=2一2,

2分

x

令m(x)=0得x=e,

当0vxve时mf(x)>0,则m(x)在(0,e)上单调递增,

当时加(幻<0,则〃7(x)在(e,+8)上单调递减，

则在x=e处取极大值也是最大值，rn(x)max=m(e)=0,4分

故当％c(0,+8)时，广(幻40恒成立，当且仅当x=e时取等号,

Jf(x)在(0,+8)设单调递减；5分

2•,

丫〜Inx

(2)若g(x)=/(x)---+---(x>0)有两个极值点,

28

即g(x)=ln2x-—+ar+—(x>0)有两个极值点,

28

即g，(x)=网土—X+O+-L有两个异号零点，

x8x

等价于函数/幻=*-」--也的图像与直线y=a有两个交点,

6分

8xx

•••〃(x)=x-‘-生^的定义域为(0,+O0),

8xx

，八、12-21nx8x2+161nx-15

如)="*一二^=一一'7分

设(p(x)=8f+161nx-15,(p\x)=16x+一>0,故(p(x)在(0,+8)上单调递增,

x

而中⑴=_7<0,(p(^)=8e2+l>0,故存在%£(1,e),使得(p(x0)=O,9分

则力(X)在(0,%)上单调递减,在(如+8)上单调递增,

则〃(X)min=3o)=Xo°=2/，10分

8两两瓦

若函数力(x)的图像与直线y=a有两个交点，则a>6(x)mm，“分

7

当x=l时，h(］)=—>h(x),•：asN+,a=1o12分

80mm

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

己知点P是曲线C|：/+丫2+收工一亚丫=()上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，将线段OP绕O点顺时针旋转90。得到线段OQ,设点。的轨迹为曲线C2。

⑴求曲线G和C2的极坐标方程；

(2)设直线/：y=3,射线机：0=a,ae(0,^),若根与曲线G，直线/分别交于A、B两点,求的

最大值。

【解析】(1)将x=p-8s。、y=p-sin。代人得曲线G的极坐标方程，