几何图形折叠问答

,.几何图形折叠问题【疑难点拨】折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．感谢阅读折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．谢谢阅读矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形谢谢阅读求边或者角的度数．凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．感谢阅读【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）精品文档放心下载AD=BC′B．∠EBD=∠EDBC．△ABE∽△CBDD．sin∠ABE=A．谢谢阅读,.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，谢谢阅读取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交 于点D，点F是 上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与谢谢阅读点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．谢谢阅读A．36π-108B．108-32πC．2π D．π精品文档放心下载（2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，精品文档放心下载CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）A． B． C． D．（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线精品文档放心下载折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（ ）感谢阅读A． B．3 2C．3 D．3 3,.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点精品文档放心下载D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）精品文档放心下载A．1 B． C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段谢谢阅读AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．谢谢阅读（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点感谢阅读C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，则BC的长 ．感谢阅读（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H谢谢阅读处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．感谢阅读,.三、解答与计算题：（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E精品文档放心下载处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．精品文档放心下载（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；精品文档放心下载（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．【能力篇】,.一、选择题：（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点谢谢阅读A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点感谢阅读落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：谢谢阅读①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧谢谢阅读

上，将弧

沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为 ，AB=4，则BC的长是（ ）谢谢阅读,.A． B． C． D．二、填空题：(2018·辽宁省葫芦岛市)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、精品文档放心下载且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 = ，则 = ．感谢阅读（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿感谢阅读CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；谢谢阅读②当E为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE=④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．

；三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点精品文档放心下载B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．谢谢阅读,.（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；谢谢阅读（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；精品文档放心下载③当BP=9时，求BE•EF的值．（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E精品文档放心下载处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．,.18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿精品文档放心下载翻折后得到 .（1）试说明点

在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使（3）在（2）的条件下，分别延长线段

、

相交于点

.求证：，若

为

的切线；， ，求线段

的长.【探究篇】（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在谢谢阅读CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）感谢阅读（1）根据以上操作和发现，求 的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；精品文档放心下载②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P精品文档放心下载在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）,.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，感谢阅读（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；谢谢阅读（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.感谢阅读,.几何图形折叠问题【疑难点拨】折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．谢谢阅读折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．精品文档放心下载矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形感谢阅读求边或者角的度数．,.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．感谢阅读【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到谢谢阅读结论不一定成立的是（ ）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDBC．△ABE∽△CBDD．sin∠ABE=精品文档放心下载【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．感谢阅读【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．精品文档放心下载B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．感谢阅读D、∵sin∠ABE= ，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE= ．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．感谢阅读,.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，感谢阅读取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交 于点D，点F是 上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与谢谢阅读点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．感谢阅读A．36π-108B．108-32πC．2π D．π精品文档放心下载【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE= OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓感谢阅读形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC= OA= OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，DE⊥OB于点E，DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD= ﹣ ×6×3=3π﹣9，精品文档放心下载则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，感谢阅读故答案为：36π﹣108．故选A,.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，精品文档放心下载CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）A． B． C． D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．精品文档放心下载【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，谢谢阅读设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出感谢阅读x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，谢谢阅读∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，,.∴FC=FA，FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x= ，精品文档放心下载FD=6﹣x=．故选：B．（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线谢谢阅读折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（ ）谢谢阅读A．B．32C．3D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF= AB，所精品文档放心下载AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：感谢阅读∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，精品文档放心下载∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=1AB，EF=3，2 2∴AB=AC=3，,.∵∠BAC=90°，∴BC=32，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的精品文档放心下载关键．（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点感谢阅读D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）感谢阅读A．1 B． C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．感谢阅读【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，谢谢阅读进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、感谢阅读DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．谢谢阅读【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．感谢阅读∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，谢谢阅读∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．,.Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4 ，∴4EC• EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段感谢阅读AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．精品文档放心下载【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，感谢阅读,.∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，∴∠C=30°，AB= AC= ，由折叠可得：∠MDN=∠谢谢阅读A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN= DN= AN，∴BN= AB= ，∴AN=2BN= ．感谢阅读∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN= ；精品文档放心下载②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，谢谢阅读由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD= DN= AN，BN= BD\1AB=精品文档放心下载，∴AN=2，BN= ，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH= AN=1，HN= ，由折叠可得：谢谢阅读∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴MN= ．谢谢阅读,.故答案为： 或 ．（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点精品文档放心下载C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．感谢阅读【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．谢谢阅读【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，精品文档放心下载设KM=x，则EM=x、MF=∴x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，

x，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，精品文档放心下载∴BC的长为3+ + ．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．精品文档放心下载（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H精品文档放心下载处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75° ．精品文档放心下载,.【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．精品文档放心下载【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，谢谢阅读∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．感谢阅读又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB= ∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状精品文档放心下载和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E感谢阅读处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．,.【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；谢谢阅读（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．谢谢阅读【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中， ，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．精品文档放心下载（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．谢谢阅读,.（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；感谢阅读（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；谢谢阅读（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由精品文档放心下载相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；谢谢阅读（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．谢谢阅读【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，精品文档放心下载∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2= GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．精品文档放心下载∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF= GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．，即DF2=FO•AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．精品文档放心下载∵EG2= GF•AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．精品文档放心下载解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．,.∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴ ，即 = ．∴GH= ．∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、精品文档放心下载相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关感谢阅读键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．感谢阅读【能力篇】一、选择题：（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点感谢阅读A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．谢谢阅读A．4B．5C．6D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．精品文档放心下载∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，感谢阅读解得x=5．故答案为：5．故选B,.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点精品文档放心下载落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：感谢阅读①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．精品文档放心下载∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．感谢阅读∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，感谢阅读∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；精品文档放心下载②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．谢谢阅读∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；谢谢阅读③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三谢谢阅读角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．谢谢阅读∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故感谢阅读④不正确；,.其中正确结论有①②，2个．故选B．13.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧精品文档放心下载

上，将弧

沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为 ，AB=4，则BC的长是（ ）感谢阅读A． B． C． D．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，感谢阅读则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆谢谢阅读为等圆，则根据圆周角定理得到 = ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形谢谢阅读ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，谢谢阅读∴OD⊥AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，精品文档放心下载∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．感谢阅读∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，,.=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF=(5)212=2，∴CE=CF+EF=2+1=3，BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3 ．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．感谢阅读二、填空题：(2018·辽宁省葫芦岛市)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、谢谢阅读且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 = ，则 = ．谢谢阅读【解答】解：连接GE．∵点E是CD的中点，∴EC=DE．,.∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF=DE，∠BFE=90°．在Rt△EDG和Rt△EFG感谢阅读中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG=DG．精品文档放心下载∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故 = = ．故答案为： ．（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿感谢阅读CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；谢谢阅读②当E为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE= ；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．感谢阅读,.【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，精品文档放心下载∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，=，=，∴AM= ，∴AF=2AM=9，故②正确，5如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．感谢阅读,.EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（ ﹣2）2+（3﹣x）2，∴x= ，，∴AE= ，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．谢谢阅读【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．谢谢阅读三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点精品文档放心下载B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．精品文档放心下载（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；谢谢阅读（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；精品文档放心下载③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；精品文档放心下载（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；感谢阅读②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出精品文档放心下载PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，谢谢阅读∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中， ，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，，AE=x，∴DE=25﹣x，，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，，BP=BF=PG=y，，∴y= ，,.∴BP= ，在Rt△PBC中，PC=

，cos∠PCB=

=

；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，感谢阅读折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E感谢阅读处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．,.【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；谢谢阅读（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．感谢阅读【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中， ，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．谢谢阅读18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿感谢阅读翻折后得到 .,.（1）试说明点 在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使

.求证：

为

的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段

、

相交于点

，若

，

，求线段

的长.【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。（2）证明：∵点D在⊙O上，∴∠ADB=90°，感谢阅读由翻折可得AC=AD，∵AB2=AC·AE，∴AB2=AD·AE，∴ ，又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE~△ADB，∴∠ABE=∠ADB=90°，∵OB是半径，∴BE为的⊙O切线。,.（3）解：设EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，精品文档放心下载∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，∴△BDF~△ACF，∴ 即则BF= ，Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2，谢谢阅读则22+（1+x）2=( )2 ，解得x1= ,x2=-1（舍去）,EF=【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质精品文档放心下载【解析【】分析（】1）要证明点D在⊙O上，则需要证明点D到圆心的距离OD要等于半径，由折叠易知OD=OC；（2）证明BE为的⊙O切线，由切线判定定理可得需要证明∠ABE=90°；易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，则需要△ABE~△ADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可证明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90°，则△BDF是一个直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2，而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先设EF=x，谢谢阅读看能否求出DE或都BF，求不出的话可用x表示出来，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。精品文档放心下载【探究篇】（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在谢谢阅读CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）精品文档放心下载（1）根据以上操作和发现，求 的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）感谢阅读,.【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE= BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，即可精品文档放心下载得到CD= AD，即 = ；（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再精品文档放心下载根据PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH=90°；谢谢阅读②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．谢谢阅读【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE= ∠BCD=45°，感谢阅读又∵∠B=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴ =cos45°= ，即CE= BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD= AD，∴ = ；（2）①设AD=BC=a，则AB=CD= a，BE=a，感谢阅读∴AE=（ ﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，∵∠BEC=45°，∠A=90°，∴∠AEH=45°=∠AHE，∴AH=AE=（ ﹣1）a，设AP=x，则BP= a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，谢谢阅读∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（ ﹣1）a]2+x2=（ a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，∴∠APH+∠BPC=90°，∴∠CPH=90°；②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；谢谢阅读折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，精品文档放心下载∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．精品文档放心下载,.【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，