矩阵的广义逆

矩阵的广义逆第1页，课件共19页，创作于2023年2月矩阵的广义逆概述：矩阵的逆：An

n，Bn

n，BA=AB=I,则B=A–1

广义逆的目标：逆的推广对一般的矩阵Am

n可建立部分逆的性质。当矩阵An

n可逆时，广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。第2页，课件共19页，创作于2023年2月§4.1矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆1、左逆和右逆的定义定义4.1(P.93)A

Cm

n，B

Cn

m，BA=In，则称矩阵B为矩阵A的左逆，记为B=。例题1矩阵A的左逆A=。A

Cm

n，C

Cn

m

，AC=Im，则称矩阵C为矩阵A的右逆，记为C=。第3页，课件共19页，创作于2023年2月

2、左逆和右逆存在的条件

的存在性直观分析

存在矩阵A列满秩=（AHA）–1AH

定理4.1(P.93)

设A

Cm

n

，下列条件等价A左可逆A的零空间N（A）={0}。m

n，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。矩阵AHA可逆。例题2

求矩阵A=的左逆。第4页，课件共19页，创作于2023年2月矩阵右逆的存在性定理4.2

(P.94)A

Cm

n

，则下列条件等价：矩阵A右可逆。A的列空间R（A）=Cmn

m

，秩（A）=m，A是行满秩的。矩阵AAH可逆=AH（AAH）–1讨论：可逆矩阵An

n的左、右逆和逆的关系可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆AA–1=（AHA）–1AH=AH（AAH）–1第5页，课件共19页，创作于2023年2月二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论AX=b有解与左、右逆存在的关系。借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。1、右可逆矩阵定理4

4

(P.95)A

Cm

n右可逆，则

bCm，AX=b有解。X=b是方程组AX=b的解。第6页，课件共19页，创作于2023年2月二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2、左可逆矩阵求解分析：定理4

3

(P.94)设矩阵A

Cm

n左可逆，B是矩阵A的任何一个左逆，则AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是(

Im–AB

)b=0(¤)当(¤)式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）–1AHb证明：讨论：对任何满足式(

¤

)

的左逆B，X=Bb都是方程组的解，如何解释方程组的解是惟一的？第7页，课件共19页，创作于2023年2月§4.2广义逆矩阵思想：用公理来定义广义逆。一、减号广义逆定义4.2

(P.95)

A

Cm

n

，如果，

G

Cn

m使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1，，Ak–1}例题1A

Cn

n可逆，则A–1

A{1}；

A单侧可逆，则A–1L

A{1}；A–1R

A{1}。减号逆的求法：定理4.5（P.95）减号逆的性质：定理4.6

(P.96)第8页，课件共19页，创作于2023年2月二、Moore-Penrose（M-P）广义逆由Moore1920年提出，1955年由Penrose发展。1、定义4.3(P.98)设矩阵A

Cm

n

，如果

G

Cn

m，使得AGA=AGAG=G（AG）H=AG（GA）H=GA则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。

A–1=A+；A–1L=（AHA）–1AH=A+；A–1R=AH（AAH）–1=A+；若

A+，则A+

是A{1}。例题2讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。第9页，课件共19页，创作于2023年2月3、M-P广义逆的存在性及其求法定理4.8（P.99）任何矩阵都有M-P广义逆。求法：设A满秩分解A=BC，则A+

=CH（CCH

）–1（BHB）–1BH。（定理4.9）设A奇异值分解：，则2、M-P广义逆的惟一性定理4.9(P.98)如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆是惟一的。第10页，课件共19页，创作于2023年2月例题1求下列特殊矩阵的广义逆；零矩阵0；1阶矩阵(数)a；对角矩阵

例题3设，求A+。0+

m×n

=0n×m

例题2设向量的M-P广义逆。.第11页，课件共19页，创作于2023年2月4、M-P广义逆的性质定理4.12(P.100)

：则A满足下列性质：（A+）+=A（A+

）H=（AH）+（A）=

+A+A列满秩，则A+=（AHA）–1AH，A行满秩，则A+=AH（AAH）–1。A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。A+与A–1性质的差异比较：（AB）–1=B–1A–1，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立）（A–1）k=（Ak）–1，但不成立（A+）k=（Ak）+第12页，课件共19页，创作于2023年2月§4.3投影变换（为讨论A+的应用做准备）问题：逆在什么情形下是有用的？一、投影变换和投影矩阵定义4.4（P.101）设Cn=L

M

，向量x

Cn,x=y+z，y

L，z

M，如果线性变换：

CnCn，

（x）=y，则称为从

Cn沿子空间M到子空间L的投影变换。投影变换的矩阵R（

）=L；N（

）=M，

Cn=R（

）

N（

）L和M是的不变子空间；L=I；M=0投影的矩阵和变换性质：定理4.13（P.101）

是投影

是幂等变换推论：为投影变换的充要条件是变换矩阵是幂等矩阵第13页，课件共19页，创作于2023年2月二、正交投影和正交投影矩阵正交投影的定义：定义4.5（P.103）设：Cn

Cn是投影变换，Cn=R（）N（），如果R

（）=N（

），则称为正交投影。2正交投影矩阵定理4.14（P.103）是正交投影投影矩阵A满足：A2=AAH=A例题1设W是Cn的子空间，证明存在到W的投影变换，使R（

）=W。第14页，课件共19页，创作于2023年2月3、正交投影的性质定理4.16（P.104）设W是Cn的子空间，x0

Cn，x0

W，如果是空间Cn向空间W的正交投影，则含义：点（x0）是空间W中与点x0距离最近的点。第15页，课件共19页，创作于2023年2月4、A+A与AA+的性质定理4.15（P.104）A+A的性质：（A+A）2=A+A，（A+A）H=A+

ACn=R（A+）N（A）R

（A+）=N（A）AA+的性质：（AA+）2=AA+，（AA+）H=AA+Cm=R（A）N（A+

）R

（A+）=N（A）A+A是正交投影，将向量x投影到空间R（A+）中。AA+是正交投影，将向量x投影到空间R（A）中。含义：第16页，课件共19页，创作于2023年2月4.4最佳最小二乘解一、最佳最小二乘解Am×n

Xn

×1

=bm×1有解

b

R（A）无解

b

R（A）1、AX=b的最佳最小二乘解定义4.6（P.105）

u

是最小二乘解

x0是最佳最小二乘解

2、AX=b的最佳最小二乘解的计算定理4.17

设方程组AX=b，则A+b

是AX=b的最佳最小二乘解。例题1

（P.106，eg8）第17页，课件共19页，创作于2023年2月例题2、设，，=证明

R（A）在列空间R（A）上找一点X0

，X0距离最近。第18页，课件共19页，创作于2023年2月

二、最佳拟合曲线问题：在实际问题中，已知