抛物线的有关结论

抛物线的有关结论由于抛物线具有常数离心率，因此具有许多自身规律性。加上抛物线方程相对简单，使得其灵活性更加突出。了解这些规律性可以在处理相关问题时事半功倍。下面整理了抛物线的结论以供参考。一、焦点F(p22sin二、点D(p,)处的结论对于抛物线y2=2px，点D(p,)是到点A(a,)距离最近的点，其中A为抛物线上的一点，且A为顶点的分界点。当A(a,)在D(p,)左侧时，右侧横坐标为a-p的两个点到点A(a,)的距离最近。三、点E(2p,)处的结论设A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点，且OA垂直于OB。则有以下结论：1.焦半径长：AF为直线FB上的点到焦点F的距离。2.焦点弦长：AB为过点A和B的直线，且过焦点F。|AB|=x1+x2+p或2psinθ。3.过焦点F的直线与抛物线相交于A和B两点，分别过A和B两点作准线的垂线，垂足分别为M和N，MN的中点为G。(1)两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切。(2)三直角：①∠AGB=90°；②直线AB过定点(2p,)；③求AB中点的轨迹方程。(3)六定值：焦点弦两端点MA和RA；直线AB与抛物线的交点C；过O向AB引垂线，垂足T的轨迹方程；求ΔAOB面积的最小值。四、准线上的有关结论对于抛物线y2=2px，点P(x,y)在准线上，其横坐标为p2/x，纵坐标为-py/2x+p。其中x和y的乘积为定值：x1x2=4p2。过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A、B，以A、B为切点作抛物线的切线，交点在抛物线的准线上，并且两条切线垂直。反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。下面对上述结论进行证明。一、焦点F(p/2,0)处的结论1.焦半径长：设点A(x1,y1)，则|AF|=x1+p/2。证明：根据抛物线的定义，|AF|=AM=x1+p/2。2.焦点弦长：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB过焦点F，则|AB|=x1+x2+p，或|AB|=2p*sinθ（θ为直线l与抛物线对称轴的夹角）。证明：根据焦半径公式，|AF|=x1+p/2，|BF|=x2+p/2。因此，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p/2)+(x2+p/2)=x1+x2+p。根据抛物线的定义，|AF|=AM=p/2+AF*cosθ，可得|AF|=p/2-cosθ。同理，|BF|=BN=p/2-BF*cosθ，得|BF|=p/2+cosθ。因此，|AB|=|AF|+|BF|=p-cos^2θ=sin^2θ。或者，通过联立方程组求解，得到x1=(2p*tan^2θ+p)/2，x2=(2p-p*tan^2θ)/2，从而得到|AB|=2p*sinθ。3.过焦点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为M、N，MN的中点为G。（1）两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。证明：焦半径AF的中点到y轴的距离为d=(1/2)(OF+AA')=(1/2)(p/2+AA')=(1/2)(2x1+p/2)=x1+p/4。由于焦点在y轴上，因此OF和AA'垂直。因此，焦半径AF与y轴相切，且焦半径AF为直径的圆与y轴相切。2根据图中所示，设焦点为F，准线与对称轴的交点为C，圆心为O，抛物线的顶点为A，焦点弦AB的中点为M，MN为抛物线的切线，圆心到y轴的距离为r，以焦半径AF为直径的圆与y轴相切，以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。首先证明圆心到y轴的距离等于直径AF的一半，即r=AF/2。由于焦半径AF与y轴垂直，所以可以得到直角三角形AFO，其中OF为半径，AO为斜边，根据勾股定理可得r=AF/2。接下来证明以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。由于焦点弦AB的中点M在抛物线的准线上，且MC=NC，所以MC=1/2(AM+BN)，而AM=AF，BN=BF，所以MC=1/2(AF+BF)。又因为焦点弦AB的长度等于焦距2p，所以AB=2p，其一半为p。根据勾股定理可得圆心到准线的距离为AB的一半，即p/2，因此以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。其次，证明三直角：①∠AGB=90②∠MFN=90③GF⊥AB。首先考虑∠AGB=90，由于以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，设切点为G，则G为MN的中点，因此AG=GB，且∠AGB为直角。其次考虑∠MFN=90，由于焦点弦AB的中点M在MN上，且MN为抛物线的切线，所以∠MFN为直角。最后考虑GF⊥AB，由于GF是以焦点弦AB的中点M为圆心，MN为直径的圆的切线，所以GF⊥AB。最后，给出六个定值：①焦点弦两端点A(x1,y1)、B(x2,y2)的对应坐标的乘积是定值：x1x2=-p2，OA·OB=-4p2。证明过程如下：根据焦点弦的定义可得y1=2px1，y2=2px2，因此y1y2=-4p2。再根据圆的性质可得OA·OB=x1x2+y1y2=-p2-4p2=-4p2。②以焦点弦AB为直径的圆的两端点到抛物线的切线的距离之和等于焦距2p，即1/m+1/n=2/p，|GF|=mn。证明过程如下：当AB垂直于对称轴时，可直接验证符合结论。当AB不垂直于对称轴时，过B做AM的垂线BR交AM于R，交x轴于S，则∠BFS=∠BAR，且BR=RS，因此∆BFS与∆BAR相似，即n(p-n)/(m+n)=(m-n)/(p-m)，移项可得pm+pn=2mn，即1/m+1/n=2/p。由于GF是以焦点弦AB的中点M为圆心，MN为直径的圆的切线，所以|GF|=mn。③SΔAOB=2psinθ。证明过程如下：由于|AB|=2psinθ，点O到AB的距离d=p/2sinθ，因此SΔAOB=1/2·d·AB=p2sinθ=2psinθ，结论得证。1,y2p)在抛物线y2=2px(p>0)上，且OA⊥OB，则有以下结论：ⅰ.x21x2=4p，y1y2=-4p2；ⅱ.直线AB过定点(2p,)；ⅲ.AB中点的轨迹方程为y=2p；ⅳ.过O向AB引垂线的垂足T的轨迹方程为y=-x+2p；ⅴ.∆AOB面积的最小值为4p2。解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由抛物线方程可得y=2px，代入A、B的坐标中解得x2=4p/x1，y2=-4p2/y1。由OA⊥OB可得OA·OB=0，即(2p-x1)(2p-x2)+y1y2=0，代入x2和y2的表达式中可得x1=2p，y1=y2p。因此，AB过定点(2p,)，且AB中点的纵坐标为2p。过O向AB引垂线的垂足T的横坐标为x=(x1+x2)/2=2p，代入直线AB的方程可得其纵坐标为y=-x+2p，因此垂足T的轨迹方程为y=-x+2p。最后，∆AOB面积为|OA|·|OB|/2=2p2，最小值为4p2。2)是抛物线$y^2=2px(p>0)$上的两点，$O$为抛物线的顶点。（1）$\angleAOB=90\iff$直线$AB$过点$E(2p,0)$；（2）$x_1=4p^2$，$y_1=-4p^2$，$x_2=4p^2$，$y_2=4p^2$。根据已知直线$AB$过点$E(2p,0)\Rightarrow\angleAOB=90$，可以利用数量积证明：直线$AB$恒过点$(2p,0)$。综上所述，直线$AB$过定点$(2p,0)$。设$AB$中点为$K\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$，即点$K$的坐标的参数方程为$$\begin{cases}x=\frac{x_1+x_2}{2}=4p^2\\y=\frac{y_1+y_2}{2}=0\end{cases}$$可化为消去$y_1,y_2$得$4y^2=4px-8p^2$。因为直线$AB$过点$E(2p,0)$，所以$x_1x_2=4p^2$，$y_1y_2=-16p^2$，所以$$OA\cdotOB=x_1x_2+y_1y_2=0$$证得$\angleAOB=90$。四、准线上的有关结论过抛物线的焦点$F$再以$A,B$为切点作抛物线$y^2=2px$的直线交抛物线于两点$A,B$，则两切线垂直。反过来，若两切线垂直，则两切线必过抛物线的焦点$F$。证明：抛物线$y^2=2px$上的点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$处的切线方程为$y=y_1+\frac{x-x_1}{p}$，$y=y_2+\frac{x-x_2}{p}$。所以两切线的斜率分别为$\frac{1}{p}$，$-\frac{1}{p}$，故两切线垂直。因为直线$AB$过点$E(2p,0)$，所以$x_1x_2=4p^2$，$y_1y_2=-16p^2$，所以$F(0,p)$。故准线$x=-\frac{p}{2}$上任意一点做抛物线$y^2=2px$的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点$F(0,p)$。ⅳ.设$T$点坐标为$(x,y)$，因为点$(2p,0)$在直线$AB$上，$T$点在直线$AB$上，且$OT\perpAB$。得$OT\cdotAB=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-2p\\y\end{pmatrix}=x^2-2px+y^2=0$。故$T$点的轨迹方程为$x^2-2px+y^2=0$。ⅴ.$\triangleAOB$面积为$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\cdot2p\cdot(y_1-y_2)=p^2$。$y_1-y_2=y_1+\left(-y_2\right)\geq2\sqrt{y_1\cdot\left(-y_2\right)}=4p$（利用均值定理，当且仅当$y_1=-y_2$时取等号）。$$\begin{aligned}S_{\triangleAOB}&=\frac{1}{2}\cdot2p\cdot(y_1-y_2)\\&\geq\frac{1}{2}\cdot2p\cdot4p\\&=p^2\end{aligned}$$当且仅当$y_1=-y_2$时取等号，即$AB$过抛物线的焦点$F$。两切线的交点坐标为（p,0）。因此，两切线的交点坐标在直线x=-p/2上。两切线斜率分别为k1=2p/y1和k2=2p/y2，得k1k2=-1，因此两切线垂直。设准线上的点坐标为（-p/2,y），做两条切线切点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么以A为切点的切线为y-y1=k1(x-x1)，以B为切点的切线为y-y2=k2(x-x2)，都过点（-p/2,y），所以满足y1-y=k1(-p/2-x1)，y2-y=k2(-p/2-x2)，也就是说点A、B都在直线y=2px-p2上，该直