吉林省长春市三盛玉中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

吉林省长春市三盛玉中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）?=7，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得?=﹣3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角．【解答】解：向量，满足||=2，||=3，（﹣）?=7，可得2﹣?=4﹣?=7，可得?=﹣3，cos＜，＞===﹣，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故选：C．【点评】本题考查向量的夹角公式的运用，考查向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于基础题．3.已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为

（

）A、20

B、10

C、

40

D、30参考答案：B考点：等差数列性质【方法点睛】等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.4.设，则数列的最大项为A．5

B.11

C.10或11

D.36参考答案：D5.已知双曲线上一点到它的右焦点的距离为8，那么点到它的右准线的距离是（

）A．10

B． C． D．

参考答案：D略6.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是

A.

B.

C.（1，2）

D.参考答案：D8.已知函数有两个不相同的零点，则a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先求出函数定义域以及导函数，讨论实数的范围，求出函数的单调区间以及最值，从而解出满足条件的实数。【详解】函数的定义域为，且.①当时，成立，所以函数在为上增函数，不合题意；②当时，故时，，所以函数在上为增函数；当时，，所以函数在上为减函数.因此此时的最小值为，依题意知，解得.由于，函数在上为增函数，所以函数在上有唯一的一个零点.又因为，所以.，令，当时，，所以.又，函数在上为减函数，且函数的图像在上不间断，所以函数在上有唯一的一个零点.综上，实数的取值范围是.故答案选A【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，对于零点问题，一般是利用导数研究函数的单调区间以及最值，考查学生转化与划归的思想，属于中档题。9.若函数的导数为，则可以等于A．

B.

C．

D．参考答案：B略10.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为()(A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)90°参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 或

．参考答案：，解析：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、

为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上．所以轨迹方程为

，或12.若＝。参考答案：13.盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___

；参考答案：0.5略14.若复数是纯虚数，则实数m的值为____．参考答案：－【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.【详解】因为复数是纯虚数，所以有，.故答案为.【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.15.圆（为参数）的极坐标方程为．参考答案：16.等比数列的前项和=，则=_______.参考答案：17.若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）当

时，求函数

的最小值；

（Ⅱ）当

时，讨论函数

的单调性；

（Ⅲ）求证：当时，对任意的，且，有．参考答案：解：显然函数的定义域为，当∴当，．∴在时取得最小值，其最小值为（Ⅱ）∵，∴（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数．（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数．（3）当时，在恒成立，即在为增函数（Ⅲ）不妨设，要证明，即证明：当时，函数．略19.已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数。（1）求的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）

（2）由（1）知：，因为是奇函数，所以=0，即

∴，又由f（1）=-f（-1）知

（3）由（2）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：

等价于，因为减函数，由上式推得：，即对一切有：，从而判别式

略20.在抛物线y=4x2上有一点P，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x﹣5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．【解答】解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则d==，当t=时，d取得最小值，此时P（，1）为所求的点，最短距离为【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F且垂直于x轴的弦长为1．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，问：|PA|2+|PB|2是否为定值？若是，求出这个定值并证明，否则，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出A、B坐标，通过根与系数的关系，计算|PA|2+|PB|2，化简求解即可．【解答】解：（I）由过左焦点F且垂直于x轴的弦长为1，可知椭圆C过点，∴，又∵e==，a2=b2+c2；三式联立解得，∴椭圆的方程为+y2=1；（II）设P（m，0）（且﹣2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=（x﹣m），由，消去y得，2x2﹣2mx+m2﹣4=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，所以有，x1+x2=m，x1x2=，所以，|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2]=[x12+x22﹣2m（x1+x2）+2m2]=[（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]=[m2﹣2m2﹣（m2