2023年研究生入学考试数学一历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学一历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.2.设A=(α1，α2，…，αm)，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则______．

A．m＞n

B．m=n

C．存在m阶可逆阵P，使得

D．若AB=O，则B=O3.定积分______.4.设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为______

A．

B．3

C．

D．5.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为兄(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件产品中发现k件不合格品，则R的最大似然估计值为______．6.7.设二阶线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=ex，y2=，y3=ex+e-x，则该方程为______．8.9.设A，B为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P(AB)=______。10.11.设有无穷级数，其中α为常数，则此级数A.绝对收敛．B.条件收敛．C.发散．D.敛散性与α有关．12.设随机变量X与Y分别服从N(-1，2)和N(1，2)，且X与Y不相关，k1X+Y与X+k2Y也不相关，则______。A.k1+k2=0B.k1=k2=0C.k1+k2≠0D.k1+k2≠013.设f(x)二阶连续可导，且，f"(0)=e，则14.已知X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，a为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是______A.f(x+a)B.f(-x)C.af(ax)D.2f(x)F(x)15.

16.已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．17.设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：

18.设连续函数F(x)是分布函数，且F(0)=0，则必可作为新分布函数的是______

A．

B．

C．

D．19.求函数f(x)=在区间(0，2π)内的间断点，并判断其类型．20.21.二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-X3)2+(x3+x1)2的秩为______．22.设∑为锥面介于z=0和z=1之间的部分，则23.设f(x)在[0，1]上连续，试证：

24.下列说法正确的是______．A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的25.设f(x)连续，x∈[a,b]，且可导，试证在(a，b)内存在一点ζ，使26.设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S．均有

，

其中f(x)在(-∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。27.求级数的和．28.29.30.31.设函数f(x)连续，则=______。A.xf(x2)B.-xf(x2)C.2xf(x2)D.-2xf(x2)32.设总体X的密度函数为，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．33.设a1=1，，则级数的和为______．34.已知当是等价无穷小，其中6＞0，试求常数a和b之值．35.设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：

(1)α1能否由α2，α3线性表出?证明你的结论．

(2)α4能否由α1，α2，α3线性表出?证明你的结论．36.设总体X的概率密度为

其中θ＞-1是未知参数．X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量．37.若级数收敛，发散，则______

A．必发散

B．必收敛

C．必发散

D．必发散38.已知n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量组α'1，α'2，…，α's可能线性相关的是______A.α'i(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量加到第2个分量得到的向量B.α'i(i=1，2，…，s)是i(i=1，2，…，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C.α'i(i=1，2，…，s)是i(i=1，2，…，s)中第一个分量改为0的向量D.α'i(i=1，2，…，s)是i(i=1，2，…，s)中第n个分量后再增添一个分量的向量39.40.41.设随机变量X在[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立.

(Ⅰ)求关于a的方程a2+Xa+Y=0有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值).

(Ⅱ)求P{X+2Y≤3}.42.已知曲线，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f'(t)＞0，,若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离值恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积．43.44.设函数f(x)有连续导数，且，则当f(0)=0时，______A.f(0)是f(x)的极大值．B.f(0)是f(x)的极小值．C.f(0)不是f(x)的极大值．D.不能判断f(0)是否为极值．45.46.微分方程y"+(λ1+λ2)y'+λ1λ2y=0(λ1≠λ2且为实数)，满足y(0)=0，y'(0)=1的特解为______．47.求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．48.将函数展开成(x-1)的幂级数，并求数项级数的和．49.设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其中起点为(a，b))，终点为(a，d)．记：

(1)证明曲线积分I与路径L无关：

(2)当ab=cd时，求I的值．50.第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：2.参考答案：D[解析]因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O，则B=O，选D．3.参考答案：[考点]含无理式定积分计算[解析]由(x-a)(b-x)≥0知a≤x≤b，令x-a=(b-a)sin2t，则有b-x=b-[a+(b-a)sin2t]=(b-a)cos2t，此时dx=2(b-a)sintcostdt.

于是

4.参考答案：A[解析]由比较A*=AT对应元素知aij=Aij(i，j=1，2．3)．其中Aij为｜A｜中aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得｜A｜=．又由A*=AT两端取行列式得｜A｜2=｜A｜，，故得．5.参考答案：[解析]设这批产品中不合格品的件数为a，合格品的件数为b，从而a=Rb，不合格品率为

设X是随意抽取的n件产品中不合格品的件数，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn记Nn=X1+X2+…+Xn则R的似然丽数和似然方程分别为

由条件知Nn=X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解．

故就是R的最大似然估计值．6.参考答案：A7.参考答案：[解析]因为y2-y1，y3-y1是对应齐次线性微分方程的解，代入齐次方程可得，再将y1代入原方程可得f(x)=ex．8.参考答案：9.参考答案：0.610.参考答案：11.参考答案：B[解析]绝对收敛，条件收敛，然后利用收敛级数的运算性质讨论即可．

[详解]由于绝对收敛，而条件收敛，因此必收敛，且为条件收敛，故应选(B)．

[评注]若绝对收敛，条件收敛，则必条件收敛．12.参考答案：A[考点]随机变量的相关性

[解析]X与Y不相关cov(X，Y)=0，

k1X+Y与X+k2Y不相关cov(k1X+Y，X+k2Y)

=k1cov(X，X)+k1k2cov(X，Y)+cov(Y，X)+k2cov(Y，Y)

=k1DX+k2DY=2k1+2k2=0k1+k2=0，选(A)。13.参考答案：[解析]由得f(0)=0，f'(0)=1，

于是14.参考答案：C[考点]本题考查概率密度的基本性质，如果f(x)为概率密度函数，则f(x)≥0，。[解析]由题设可知f(x)为概率密度，故f(x)≥0，。F(x)为分布函数，故F(x)≥0，从而f(x+a)，f(-x)，2f(x)F(x)大于等于0，并且容易验证它们的积分等于1，而af(ax)在a＜0时小于0，故不一定为概率密度。故选C。15.参考答案：

16.参考答案：3，-2．17.参考答案：[证明]由泰勒公式得，其中ξ介于x与之间，因为f"(x)≥0，所以有，两边积分得．

令，且φ(a)=0，

因为f"(x)≥0，所以f'(x)单调不减，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)，

由得φ(b)≥0，于是

故18.参考答案：C[解析]法一

应用分布函数的右连续性来排除，由于Gi(x)(i=1，2，3，4)是分段函数形式，x=1是分界点，于是立即想到要判断是否成立．因为0≤F(1)≤1，经计算得利用排除法，可得正确选项为C．

法二

直接验证C．单调不减(单调不减+单调不减)；G3(+3)=F(+3)-F(0)=1，G3(-∞)=0．满足分布函数的充要条件．故选C．19.参考答案：因为在处均为0，在x=处无定义，故函数f(x)在区间(0，2π)内的间断点是x=

在x=处，，故x=为f(x)的可去间断点；同理，x=也是f(x)的可去间断点，即为第一类间断点．

在处，=+∞，故为f(x)的第二类间断点；同理，也是f(x)的第二类间断点．20.参考答案：21.参考答案：2[解析]因为f(x1，x2，x3)=2x21+2x22+2x23+2x1x2-2x2x3+2x3x1．二次型f的矩阵是

易见秩r(A)=2，故二次型f的秩为2．[注意]若认为二次型的标准形是f=y21+y22+y23，从而秩r(f)=3就错误了．

因为对于

①而言，由于行列式．

从而①不是坐标变换，因而f=21+y22+y23不是f的标准形．22.参考答案：[解析]

23.参考答案：[证]因为f(x)在[0，1]上连续，所以在[0，1]上存在原函数．

设F'(t)=f(t)(t∈[0，1])，则

24.参考答案：D[解析]A不对，如f=x1x2，令则；B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．25.参考答案：令F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]

由题设知F(x)连续，x∈[a，b]，且可导，

故存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0．

由

F'(x)=(b-x)f'(x)-[f(x)-f(a)]，

得

F'(ξ)=(b-ξ)f'(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，

即[解析]欲证

或f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(b-ξ)，

即f'(ξ)(b-ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0

取辅助函数

F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]。

容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，即可证得。26.参考答案：解：令

P(x，y)=(y+1)f'(x)，Q(x，y)=(y-y2)f(x)，R(x，y)=zyf'(x)-2zex，

由于f(x)在(-∞，+∞)内具有连续的一阶导数，故P(x，y)，Q(x，y)，R(x，y)均具有一阶连续偏导，由高斯公式可知，

其中，Ω是由闭合曲面S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知，

(y+1)f"(x)+(1-2y)f(x)+yf'(x)-2ex=0，

即y[f"(x)+f'(x)-2f(x)]+[f"(x)+f(x)-2ex]=0，

则有

f"(x)+f'(x)-2f(x)=0，

①

f"(x)+f(x)-2ex=0，

②

求解微分方程①，得f(x)=C1ex+C2e-2x，则该通解同样满足微分方程②，代入可得C1=1，C2=0，故f(x)=ex。[考点]本题考查高斯公式和齐次线性微分方程。应用高斯公式之前要注意检验P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在闭区域上是否具有连续一阶偏导数。27.参考答案：1028.参考答案：29.参考答案：解因为x→0+时，

所以30.参考答案：A31.参考答案：A[考点]变上限积分求导数

[解析]因，(先凑微分，再作变量代换)故，应选(A)。32.参考答案：解显然E(X)=0，

由，得θ的矩估计量为．

，则，

由，得θ的最大似然估计值为，则参数θ的最大似然估计量为33.参考答案：2016[解析]级数的部分和数列为

Sn=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1=an+1-1，

则34.参考答案：

本题利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系及等价无穷小量代换，求函数的极限．由题设可知

35.参考答案：(1)α1能由α2，α3线性表示．

因为已知α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可以由α2，α3线性表出．

(2)α4=k1α1+k2α2+k3α3

由(1)知，可设α1=l2α2+l3α3，那么代入上式整理得

α4=(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3．

即α4可以由α2，α3线性表出，从而α2，α3，α4线性相关．这与已知矛盾．

因此，α4不能由α1，α2，α3线性表出．[解析]向量的线性表示．36.参考答案：解矩估计：

令，解得．

再求最大似然估计，似然函数L(x1，…，xn；θ)为

当0＜x1，…，xn＜1时，

lnL=nln(θ+1)+θln(x1…xn)

∴令，解得

由于，∴lnL在θ0处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知lnL(或L)在θ=θ0处取得最大值．故知θ的最大似然估计为．本题考查矩估计和最大似然估计．①写L时，注意其中的“xi”(下标都有i)，包括范围上的“0＜x1，…，xn＜1”，勿忘!②后边关于最大值充分性的验证在时间紧时可不写．③求EX时，勿写成“1)xθdx”，错!因为f(x)并非总是(θ+1)xθ(只在0＜x＜1上是)．37.参考答案：D[解析]由发散可知，必发散，而收敛，则必发散，故选D。38.参考答案：C[解析]将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关．A，B属初等(行)变换，不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，D增加向量分量也不改变线性无关性．39.参考答案：-1640.参考答案：C41.参考答案：(Ⅰ)由于

且X，Y相互独立，故

方程a2+Xa+y=0有实根，则需要X2-4Y≥0，即