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文档简介
§5解析函数与调和函数的关系¶2j
¶2j¶x2
+
¶y2
=
0,1.
调和函数定义如果二元实函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足如下的拉普拉斯方程那么称为区域D内的调和函数。2.
解析与调和的关系引理：若f
(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则u(x,y),v(x,y)具有任意阶连续的偏导数。定理：若f(z)
=
u(x,
y)
+
iv(x,
y)在区域D内解析，则u(x,
y),
v(x,
y)必为D内的调和函数。证明：因为f(z)解析，由柯西-黎曼定理得ux
(x,
y)
=
vy
(x,
y)，uy
(x,
y)
=
-vx
(x,
y),二式分别对x,y求偏导，得uxx
(x,
y)
=
vyx
(x,
y),
uyy
(x,
y)
=
-vxy\
uxx
(x,
y)
+
uyy
(x,
y)
=
vyx
(x,
y)
-
vxy
(x,
y)
=
0.（混合偏导数连续时，与求导次序无关）同理可证，vxx
+
vyy
=
0.曲线u(x,y)=c1与曲线v(x,y)=c2相互垂直证明：将u
(x,y)=c1两端同时对x求导，得xx
1ydy
uy
dxdx
uu
+
u
dy
=
0,
\
k
==
-3.
共轭调和函数定义：设u(x,y)是区域D内的调和函数，我们把使得u(x,y)+iv(x,y)在D内构成解析函数的v(x,y)称为
u(x,y)的共轭调和函数。注：共轭二字的来源是因为yv同理，对另一族曲线，
有k
=
-
vx
，2xy
yu
vxu
vk1k2
==
-1，证毕。4.
共轭调和函数的求法我们知道，对解析函数来说，其实部和虚部并不是完全独立而是有一定联系的。那么他们到底有多大联系呢？实际上知道其中一个便基本上可确定另一个。下面我们举例说明。再由柯西-黎曼方程，例1
已知u(
x,
y)
=
y3
-
3x2
y为调和函数，试求其共轭调和函数v(
x,
y)并求解析函数f
(
z)
=
u(
x,
y)+iv(x,y)满足f
(1)=0。解：由u(x,y),v(x,y)之间的关系，得xv
(x,
y)
=
-u
(x,
y)
=
-(3y
2
-
3x
2
)y=
-3y2
+
3x2
（1）（1）式两端对x积分，得v(x,
y)
=
vx
(x,
y)dx
=
(-3y
+
3x
)dx2
2=
-3y2
x
+
x3
+
c(
y)下面我们进一步一来确定c(y)，如何确定它？为此，将v(x,y)对y求偏导数，得vy
(x,
y)
=
-6xy
+
c¢(
y)又
vy
(x,
y)
=
ux
(x,
y)
=
-6xy\
c¢(
y)
=
0,
即c(
y)
=
c
(任意常数）由此得到
v(x,
y)
=
-3
y2
x
+
x3
+
c由f
(1)
=
0得，
(1+
c)i
=
0,
所以c
=
-1.于是，f
(z)=y3
-3x2
y
+i(x3
-3xy2
-1).以上我们求共轭调和函数的方法称为偏积分法下面我们再介绍一种已知u(x,y)或v(x,y)求解析函数f(z)的不定积分法。例2
已知f
(
z)的实部u(
x,
y)
=
x2
+
2
xy
-
y2
,试求解析函数f
(z)。解：由柯西-黎曼定理，得f
(z)
=
ux
+
ivx
=
ux
-
iu
y=
2x
+
2
y
-
i(2x
-
2
y)=
2z
-
2i2
y
-
2ix
=
2z
-
2iz,\f
(z)=z2
-iz
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