《不等式与不等式组》知识点与练习

《不等式与不等式组》知识点与练习一、知识梳理不等式是表示大小关系的式子，含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。不等式有三个重要性质：加减同一个数（或式子）不改变不等式的方向，乘除同一个正数不改变不等式的方向，乘除同一个负数改变不等式的方向。解一元一次不等式的方法与解一元一次方程基本相同，只是在化系数为1时需要注意不等式性质的运用，最后的结果是一个解集。解不等式组时，需要区分以下四种情况：大的取大的，小的取小的，大的要小，小的要大，取公共部分，大的要大，小的要小，无解。列不等式应用题的基本方法与列一元一次方程应用题的方法基本相同。二、要点回顾1.不等式是表示大小关系的式子，含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。2.不等式有三个重要性质：加减同一个数（或式子）不改变不等式的方向，乘除同一个正数不改变不等式的方向，乘除同一个负数改变不等式的方向。3.解一元一次不等式的方法与解一元一次方程基本相同，只是在化系数为1时需要注意不等式性质的运用，最后的结果是一个解集。4.解不等式组时，需要区分以下四种情况：大的取大的，小的取小的，大的要小，小的要大，取公共部分，大的要大，小的要小，无解。5.列不等式应用题的基本方法与列一元一次方程应用题的方法基本相同。三、考点解密1.基本概念：例如，已知某天的最高气温为8℃，最低气温为2℃，则这天气温t℃的取值范围是2≤t≤8。2.不等式的基本性质：例如，已知a>b>0，则不等式ab>b2不一定成立。3.不等式的解法：例如，解不等式x>1/x-2，并将其解集表示在数轴上。4.一元一次不等式组的解法：例如，解不等式组{x-3+3≥x,1-3(x-1)<8-x}，并把其解集在数轴上表示出来。5.确定字母的取值范围：例如，已知不等式组{3+2x≥1,x-a<0}无解，则a的取值范围是a>3/2。6.确定字母系数的值：例如，已知不等式组{2x-b<5,x+2a>4}的解是x<2，则a+b的值等于-1。7.利用不等式确定一次方程组中的字母系数的范围：例如，已知方程组{y-2x=m,2x-b<5}有唯一解，则m的取值范围是m≥-3。例8：福林制衣厂有24名工人，每人每天可制作3件衬衫或5条裤子。要求每天制作的衬衫和裤子数量相等时，应该安排多少人制作衬衫和裤子？已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元。若该厂要求每天获得利润不少于2100元，至少需要安排多少名工人制作衬衫？解：设制作衬衫的工人数为x，制作裤子的工人数为y，则有以下不等式组：3x=5y（要求制作的衬衫和裤子数量相等）30x+16y≥2100（要求每天获得利润不少于2100元）解第一个不等式得：y=3x/5，代入第二个不等式得：30x+16(3x/5)≥2100化简得：x≥18因为x和y都是整数，所以x的最小值为18，此时y的值为10。所以应该安排18名工人制作衬衫，10名工人制作裤子。疑点剖析：解一元一次不等式需要一定的基础和方法技巧，可能会出现各种错误。常见错误有以下几种：1.去分母时，漏乘整式项。正确的做法是将不含分母的一项也乘进去。2.去分母时，忽视分数线的括号作用。正确的做法是将分子视为一个整体用括号括起来。3.去括号时，忽视括号前面的负号。正确的做法是将括号里的各项都改变符号。4.移项时，不改变符号。正确的做法是移项时要改变符号。1.不等式2(x+1)>1-x的解集为x>-2/3。2.不等式x-5<0的一个整数解为x=4。3.a的值为3。4.m的取值范围为B.m＞0＞m＞-1。5.解为-23≤x≤27，整数解为-23，-22，-21，...，27。6.不等式组的解为-1≤x<3，整数解为0，1，2。7.(1)解为x>-3/2，在数轴上表示为从-3/2向右的实心箭头。(2)解为x≤-3或x≥2/5，在数轴上表示为两个不相交的实心箭头。为了保护环境，某企业计划购买10台污水处理设备，其中A、B两种型号的设备价格、月处理污水量和年消耗如下表：|设备型号|价格（万元/台）|月处理污水量（吨/月）|年消耗费（万元/台）||--------|--------------|-------------------|------------------||A型|12|240|1||B型|10|200|1|企业预算购买设备的资金不高于105万元。现在有以下问题：1.该企业有几种购买方案？2.若该企业每月生产的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3.在第2问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理费为10元/吨，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比，10年节约资金多少万元？解答：1.该企业有两种购买方案，分别是购买10台A型设备和购买5台B型设备加5台A型设备。2.对于处理2040吨污水，购买5台B型设备加5台A型设备是更优的选择，总花费为100万元。3.在第2问的条件下，每台设备的年处理量为240x12=2880吨，10年总处理量为28800吨。如果自己处理污水，总花费为10x2040=20400万元。如果将污水排到污水厂处理，总花费为10x28800=28800万元。因此，自己处理污水比将污水排到污水厂处理节约8400万元。水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远低于世界平均水平。为了节约用水，保护环境，学校于本学期初制定了详细的用水计划。如果实际每天比计划多用一吨水，本学期的用水总量将会超过2300吨；如果实际每天比计划节约一吨水，本学期用水总量将会不足2100吨。如果本学期的在校时间按110天（22周）计算，那么学校计划每天用水应控制在什么范围（结果保留四个有效数字）？解答：设每天计划用水量为x吨，则实际用水量分别为x+1吨和x-1吨。由题意得：x+1<2300/x-1>2100解得：43.9<x<47.6因此，学校计划每天用水应控制在43.9~47.6吨之间。如图6，九年三班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：[图6]解答：1.每组人数不少于5人，因此至少分成3组。2.解不等式x-5<9，得x<14，小于的整数有无穷个，如-5、-1、0、1、2、3、4、8、9、10、11、12、13。3.解关于x的不等式3x-2a≤-2，得x≤(2a-2)/3，又由图可知x≤-1，因此(2a-2)/3≤-1，解得a≤1。4.依题意，得2m<x<1-m，解得m<0.5，因此选项D正确。5.原不等式的解集是x≤4，因此不等式的整数解是：1，2，3，4。6.原不等式组的解集是1≤x<3，因此不等式组的整数解是1，2。7.（1）x<3，图略；（2）-1<x≤-3，图略。8.（1）设购买A型设备x台，购买B型设备y台，则有12x+10y≤105，且240x+200y≥2040，求解得到5x+5y=50，即x+y=10，因此有两种购买方案：购买10台A型设备或购买5台A型设备和5台B型设备。根据题目要求，当购买A型号设备x台时，应购买B型号设备10-x台，因此有不等式12x+10(10-x)≤105，解得x≤2.5。由于x是非负数，因此可取1或2，共有三种购买方案：购买A型号1台，B型号9台；购买A型号2台，B型号8台；或者只购买A型号设备。根据题目要求，购买A型号设备x台和B型号设备10-x台的总资金应不小于2040万元，因此有不等式240x+200(10-x)≥2040，解得x≥1。当x=1时，购买资金为102万元；当x=2时，购买资金为104万元。因此，为了节约资金，应选择购买A型号设备1台和B型号设备9台。如果企业自己处理污水，总资金为102+10×10=202万元。如果将污水排到污水厂处理，10年所需费用为244.8万元。因此，能节约资