2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：09 面面角问题（学生版+解析版）

专题09面面角问题

1.（2021•南开区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB1AD,AB!/CD,

PC_L底面AB8,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是尸3的中点.

（I）求证：平面E4C_L平面PBC;

（II）若二面角尸—AC—E的余弦值为远，求a的值；

3

（III）在（H）的条件下求直线E4与平面E4C所成角的正弦值.

2.（2021•湖北模拟）在三棱柱A8C-ABC中，的，底面ABC,A4BC为正三角形，AB==2,£是

BB1的中点.

（1）求证：平面_L平面A4CC；

（2）求二面角3-AG-5的余弦值.

3.(2021•跳北区校级模拟)如图，在底面为矩形的四棱锥尸-A88中，R4_L底面A88,E,尸分别

为侧棱PD,P3的中点，且R4=AT>=243=4.

(1)证明：平面平面PCZ).

(2)若PC是平面a的一个法向量，求a与平面隹尸所成锐二面角的余弦值.

/4f*------/jtc,

H

4.（2021•迎江区校级三模）如图（1）,平面四边形ABZX:中，ZABC=ZD=90°,AB=BC=2,8=1,

将AABC沿8c边折起如图（2）,使AC为四面体ABZX7外接球的直径，点N分别为AC,4）中点.

（1）判断直线A/N与平面A8£）的位置关系，并说明理由;

（2）求二面角A-MN-B的余弦值.

图⑴

5.（2021•梁园区校级模拟）如图，在直棱柱43CD-A4CQ中，底面ABC短是边长为2的菱形，ZBAD=^,

朋=2.点E是线段AR上的动点（不含端点）.

（1）当时，求一的值；

AD、

（2）求平面8CE与平面ABgA所成锐二面角的余弦值的取值范围.

6.(2021•香坊区校级四模)在三棱锥P—ABC中，AABC为等腰直角三角形，AB=AC=\,PB=PC=后,

E为小的中点，。为AC的中点，F为棱PB上靠近5的三等分点.

(1)证明：如//平面CEF.

(2)若1ftAJ_AC,求二面角E-C尸-8的正弦值.

7.(2021•镜湖区校级模拟)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和工个圆柱拼接而成，点G为弧8的

4

中点，且C、E、D、G四点共面.

(1)证明：平面跳DJ_平面8CG；

（2）若AD=AF=2,求平面比方与平面A8G所成锐二面角的余弦值.

8.（2021•孟津县校级模拟）如图，正四面体至8中，O是顶点A在底面内的射影，E是AO中点，平面

BDE与棱AC交于M.

（1）求证：平面£>ECJ_平面BMD；

（2）求二面角—C的余弦值.

9.(2021•团风县校级模拟)已知AA8c为等腰直角三角形，ZE4C=90°,BC=2,将AA8D沿底边上的

高线45折起到△位置，使NB'£＞C=90",如图所示，分别取"C,AC的中点E,F.

(1)求二面角E-。F-9的余弦值；

(2)判断在线段A3'上是否存在一点M,使平面若存在，求出点M的位置，若不存在，说

明理由.

10.(2021•兴庆区校级三模)如图，在四棱锥尸-A3a＞中，R4_L平面488,底面A3。是菱形,

PA=AB=2,ABAD=60P.

(I)求证：直线8。_L平面/VIC；

(II)求直线形与平面皿＞所成角的正切值;

(HI)设点M在线段PC上，且二面角C-M3-A的余弦值为之,求点M到底面的距离.

7

11.(2021•新安县校级模拟)己知正三角形ABC的边长为6,点£、。分别是边相、AC上的点，且满足

ATCD1

—=——=一，(如图1),将4组沿DE折起到AQE的位置(如图2),且使AE与底面8CDE成60。角，

EBDA2

连接A|8,\c.

(1)求证：平面ABE1.平面BCZ)E；

(2)求二面角A-CD-E的余弦值.

12.(2021•路北区校级模拟)如图所示，四棱锥P-ABCQ中，AD//BC,/4£2=/。>。=90。，平面PCDJ_

平面ABC£>,点E为线段靠近P的三等分点，ZACD=ZABC=APCD=45°.

(I)求证：尸£>//平面ACE；

(II)求二面角P-AC-E的余弦值.

13.(2021•巴中模拟)如图，四棱锥尸-AfiCD的底面ABCD是平行四边形，B4_L平面

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中点，E是平面ABE与棱产。的交点.

(1)证明：平面尸平面4阳；

(2)求二面角C—AF-E的余弦值.

14.（2021•威远县校级模拟）如图甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，以在、3E为折痕将

与ABCE折起，使O,C重合（仍记为。），如图乙.

（1）证明：DEA.AB-,

（2）求二面角D—BE-A的余弦值.

15.（2021•九江三模）如图所示，在四棱锥中，底面ABCZ）为直角梯形，BC//AD,ZCDA=9Q°,

AMEC,AMC£＞均为等边三角形，BC^-AD.

2

（I）求证：平面平面A88；

(II)求二面角A-MB-C的余弦值.

16.(2021•海淀区校级模拟)在四棱锥尸-ABCD中，平面PADJ_平面ABCD,底面ABCD为梯形，AB//CD,

AB1AD,且43=1,PA=AD=DC=2,PD=2&.

(I)求证：ABLPD；

(II)求二面角P-BC-。的余弦值.

17.(2021・峨山县校级三模)如图，四棱锥尸-他8中，底面加8是矩形，AB=2,45=4,且侧面心5_1_

底面ABCD,侧面F4r>_L底面/WCD,点尸是尸3的中点，动点E在边8c上移动，且24=2.

(1)证明：Q4_L底面ABCD；

(2)当点E在BC边上移动，使二面角E-AF-3为60。时，求二面角尸-AE-P的余弦值.

18.(2021•重庆模拟)已知正方体A3CD-A4GA中，E,尸分别为棱RO,的中点.

(1)求证：4，E,C,尸四点共面;

(2)求二面角A-EA-C的余弦值.

19.(2021•上饶模拟)如图，在平行四边形中，N£)=60。，E为8的中点，且M=CE,现将平

行四边形沿AE折叠成四棱锥P-MCE.

(1)已知M为A5的中点，求证：AE±PM；

(2)若平面上4£1_平面ACBE,求二面角B-PE-C的余弦值.

20.（2021•海南模拟）如图，在长方体ABC。一A4GA中，AB=AD=2AAI,点、E,尸分别是棱Afi,BC

的中点.

（I）证明：C///平面

（II）求平面耳与平面CQL所成锐二面角的余弦值.

21.（2021•辽宁模拟）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截

头圆锥”.在如图的圆台OO中，上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为2.

（I）结合圆台的定义，写出截面A8co的作图过程;

(II)圆台截面A88与截面是两个全等的梯形，若AB=A尸=2,求二面角E-A。-3的平面角的

余弦值.

22.(2021•太原三模)如图，O?分别是圆台上、下底面的圆心，A3是下底面圆的直径，48=2002,

点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点(点尸不在A。?上).

(I)求证：平面APO|_L平面「。02；

(H)若002=2,ZPAB=45°,求二面角A-PQ—B的余弦值.

23.（2021•香洲区校级模拟）图（1）是由矩形">£»,RtAABC和菱形3尸GC组成的一个平面图形，其中

AB=\,BE=BF=24BC=6O。，将其沿45,8c折起使得BE,3尸重合，连接DG,如图（2）.

（I）证明图（2）中A,C,G,。四点共面;

（II）求图（2）中二面角B-AD—C的大小.

24.（2021•厦门二模）在三棱锥。一ABC中，G是AA8C的重心，尸是面8c£>内一点，且PG//平面48D.

（1）画出点P的轨迹，并说明理由；

（2）C£）_L平面/WC,AC=CD=2,BC=1,NAC8=6O。，当GP最短时，求二面角「一AD—C的余弦

值.

D

B

25.(2021•保定二模)如图，在多面体P-ABCD中，C£＞_L平面P4Z),AB_L平面皿＞，且AB=2CD=合*,

c”2屈3M

AD=2,PC=-------,PDBD=--------.

55

(1)求证：平面PC£＞；

(2)求平面依C与平面24。所成的锐二面角的大小.

D

26.（2021•凯里市校级三模）如图，在三棱锥P-A8C中，勿，底面ABC,A48C是正三角形，“是棱A3

的中点.

（I）在平面PAC内寻找一点尸使得BF//平面尸EC,并说明理由；

（H）在第（1）的条件下，若尸eAC且直线P8与平面ACE所成角为工，求二面角C-PB-尸的余弦值.

3

27.（2021•揭阳模拟）如图（1）,边长为4的正三角形ABC中，E,F分别为A3,AC上的动点，EFHBC

且EF=2a（0<a<2）,中线4）与EF交于点O,现以EF为折痕把AAE尸折起，使平面A£F_L平面耳C8,

如图（2）所示.

4

（1）若々=—,求证：N£*_L平面AOC；

3

（2）求二面角/—AE—3的余弦值.

A

图⑴

28.(2021•商丘模拟)如图，在三棱锥尸—ABC中，平面E4C_L平面ABC,AQ=QC,PA=PC=2,BC=\,

PB=6

(I)证明：BC1BQ；

(II)若BQ=三，求二面角A-PB-C的余弦值.

C

29.（2021•运城模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，以_L平面A8a）且以=4.底面A8CD是平行四边形,

且3c=2,BA=6,ZABC=60。，AC交BD于M.

（1）尸8上是否存在一点N,使得MN//平面B4£）?若存在，试确定N点的位置，若不存在，说明理由;

（2）对于（1）中的N,求二面角N-AC-8的余弦值.

30.（2021・南通四模）如图，在四棱锥2-4｝。9中，平面抬。1.平面458,PA=PD,AB//CD,ABA.AD,

AB=\,AD=2,CD=3.直线PB与平面ABC。所成的角为45。.

（1）求证：PB1BC;

（2）求二面角A-PB-C的正弦值.

AB

专题09面面角问题

1.（2021•南开区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

PC_L底面458,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是P3的中点.

（I）求证：平面E4C_L平面PBC;

（II）若二面角P-4C-E的余弦值为亚，求〃的值；

3

（III）在（H）的条件下求直线E4与平面E4C所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)a=2(3)—

3

【详解】(I)证明：PCJ_底面47匚平面468，.・.4。_12。.

-,-AB=4,AD=CD=2,ABA,AD,AB//CD,;.AC=BC=2叵.

AC2+BC2=AB2,ACA.BC,

5(.BC^]PC=C,.,.ACJ_平面P8C.

♦.•ACu平面E4C,

平面E4C_L平面P8C.

(II)解：如图，以点C为原点，以国，CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标

系，

则C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,0),

设P(0,0,2a)(a>0),则E(I,-1,a),

CA=(2,2,0),CP=(0,0.2a),CE=(1,—1,a),

取庆=(1,-1,0),则比•诬=而•而=0,.•.玩为平面R4c的一个法向量.

设方=(x,y,z)为平面E4C的法向量，则行-C4=/Cg=0,

X+V=0

，取x=a,y=—a,z=—2,则行=(a,-a,-2),

{x-y+az=0

依题意，Icos〈而，n)|=',a=,解得a=2.

I间1“1V7T23

(III)解：由(II)可得行=(2,-2,-2),PA=(2,2,-4).

设直线24与平面E4C所成角为6,

则sin”|cos〈而，如回LJ2x2+(一2)X2；(-2)X(Y)|=8克,

\PA\\n\74+4+4x74+4+1626x263

2.(2021•湖北模拟)在三棱柱ABC-AgG中，44,，底面/WC,AABC为正三角形，AB=AA]=2,£是

BB、的中点.

(1)求证：平面AEQ1平面4AGC；

（2）求二面角8-4G-E的余弦值.

【答案】⑴见解析⑵”

【详解】解：（1）证明：连接AC交AG于点F,取AC的中点G,连接印，FG,BG

•.•四边形AC£A为平行四边形，.•.尸为AC中点，又G为AC中点，.•.尸G=；例,FG//A4）,

A

又E为中点，；.3E=；A41，3E//A，-BE=FG,BE//FG,

四边形3EFG为平行四边形，

•.•AABC为正三角形，G为AC中点，，8G_LAC,

A4,1■平面ABC,BGu平面ABC,BG1.AA,,

XACQA4,=A,AC,平面A4CC，8G_L平面A^GC,

又EF//8G,.•.£F_L平面441GC,

...EFU平面AEG,平面AEG_L平面AA.C.C.

(2)由(1)得，尸GJ■平面ABC，BGA.AC,

则以G为坐标原点，瓦,甫，丽正方向为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则2(0,6,。)，A(l，0,0),C,(-l,0,2),E(0,石,1),F(0,0,1),C(-l,0,0),

CF=(1,0,1),=(-1,73,0),离=(-2,0,2),

,jAABC为正三角形，A\=AB=2,AC=AA[=2,

又44,，平面ABC,.•.四边形AC£A为正方形，；.AC|_LAC,

•.•平面AEGJL平面"GC,平面AEC|C平面AAC|C=AG，ACu平面A4.GC,A.C_L平面ACg,

平面ARE的一个法向量为瓯=(1,0,1)；

设平面ABCt的法向量万=(x,y,z),

n-AB=-x+yfiy=0.,r-i-

,令y=1,则x=,3,z=V3>

n-AC,=-2x+2z=0

n-(g,1,百)，：.cos<CF,n>="元-=广=,

|CF||n|夜x>/77

由图形可知，二面角B-A£-E为锐二面角,

:面角3-AC1-E的余弦值为.

3.(2021•济北区校级模拟)如图，在底面为矩形的四棱锥P-"8中，R41.底面ABC。，E,F分别为

侧棱PD,PB的中点，且ft4=AT)=2AB=4.

(1)证明：平面平面尸C£).

(2)若PC是平面a的一个法向量，求a与平面AM所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)—

3

【详解】解：(1)证明：底面ABCZ),.■.幺_LC£>,

在矩形98中，CD±AD,

ADp\PA=A,..C£>_L平面MD,则CD_LAE,

-.PA^AD,E为PD的中点，..AEA.PD,

又C£)nPO=。，..,他，平面尸8，

AEu平面AEF,平面/A£F_L平面PCD；

(2)以A为坐标原点，分别以4°,AB,AD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

4(0,0,0),P(4,0,0),E(2,0,2),F(2,I,0),C(0,2,4),

荏=(2,0,2),而=(2,1,0),1=(-4,2,4),

设平面AEF的一个法向量为元=(x,%z),

n-AE=2x+2z=0.

在4__.，取x=l,得zr万=(1,-2,-1),

故a与平面AEF所成锐二面角的余弦值为—

4.（2021•迎江区校级三模）如图（1）,平面四边形4?£心中，ZABC=ZD=90°,AB=BC=2,CD=\,

将AABC沿3c边折起如图（2）,使AC为四面体AB/X?外接球的直径，点M,N分别为AC,A£>中点.

（1）判断直线A7N与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角A-MN-3的余弦值.

【答案】（1）见解析

【详解】解：（1）AC为四面体/WZX7外接球的直径，则NADC=90。，可得8_LAD,

又由CD_LB£>,且AD.80u平面钻。，

所以C£>1,平面

因为M,N分别为AC,AD中点，可得MN”CD,

所以MN_L平面43£>.

（2）以。为原点，射线03为y轴建立如图直角坐标系,

则4(0,6,2),8(0,"o),C(-l,0,0),,1),7V(0,—,1),

222

可得丽=(1L0,0),^V=(0,-—,-l),^V=(0,-—,1),

222

—.1

玩•MV=-x=0

2

设平面4WN的法向量为力=（x，y“Z|）,则,

——G

m-AN=---%-Z[=0

取可得%=0,4=-1,所以庆=(O,G,-g)

―.1

=—乏)=0

22

设平面3AW的法向量为”=（X2，/2，Z2），则<

n•BN=~~~~y2+z2=0

取力=有，可得为=（0,6,§

-•-3--

所以cos(7??,n)=市"=---,故二面角A-MN-3的余弦值」.

\m\-\n\3+277

4

5.（2021•梁园区校级模拟）如图，在直棱柱A3CZ）-A8CQ中，底面ABCD是边长为2的菱形，NBAD=?

例=2.点七是线段AR上的动点（不含端点）.

（1）当BE，4G时，求7的值；

/iL7Z|r

（2）求平面BCE与平面A8B|A所成锐二面角的余弦值的取值范围.

【详解】解：（1）如图,

作AD中点F,连接跖，BF,

因为AO//BC，BE_L81G，

所以AO_L3E,

在菱形A8CO中NBA£>=2,尸为A力中点,

3

所以BF_LA。，

因为8万0|8产=B,BE,BFu平面BEF,

所以AOJ_平面BEF,

因为防u平面6EF,

所以A力_LEF,

所以EF//DR,

因为尸为4）中点，

所以后为49中点，

AE1

即Bn---=-.

AZ）,2

（2）连接4C，BD交于点O,连接AC-BQ交于点0「

•.•棱柱A38-A4G。为直棱柱，且底面ABCD为棱形，

:.AC,BD,。01两两垂直，

以O为坐标原点，OA,OB,001为x,y,z轴建立如图所空间直角坐标系,

易解得08=1,04=6,

则A(50,0),8(0,I,0),第(0,1,2),D,(0,-1,2),C(-60,0),

福=(一6,-1,2),丽=(-6,1,0),函=(0,0⑵,BC=(->/3,-l,0),

设荏=/碣/€(0,1),解得E(-6r+/,T2),

贝|」丽=（-6+6--1,2，），

设平面ABB|A的法向量为所=（占，%，4），平面8CE的法向量为力=（々，％,z2）,

则[所,A月+X=。n-BC=_6工2一%=0

m-BB[=2zj=0n-HE=+_Q+I)%+2fz,=0

取西=1,则抚=（1,石,0）,取々=1,则为=（1,-6,-、一）,

设平面BCE与平面ABBA所成锐二面角为。，

则e鼎

故平面BCE与平面ABB^所成锐二面角的余弦值的取值范围为

6.（2021•香坊区校级四模）在三棱锥P—/WC中，A/U5C为等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=也，

E为R4的中点，。为AC的中点，尸为棱尸8上靠近8的三等分点.

（1）证明：BD"平面CEF.

（2）若卓_LAC,求二面角E—CF-3的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）—

9

【详解】解：（1）证明：连接叨且交CE于点7,连接FT.

由题意可知，PD,CE为中线，所以T为重心，变!=四=2

\FB\\TD\1

所以口//8D,口u平面CE尸，8£）仁平面C£F,

所以3£>//平面CEF.

(2)因为A4_LAC,AC=\,PC=#),所以P4=2

又因为4?=AC,PB=PC，所以=「序即R4_LAB

所以AB,AC,AP两两垂直.故以A为原点，AB,AC,Q为x轴，y和,z轴的正半轴建立空间直

角坐标系，由图可知，E(0,0,1),C(0,1,0),F(|,0,|).8(1,0,0).

所以就=(0,1,-1),CF=(|,-1,|),而=(；,0,-|)

设平面CEF的法向量为4=(x,y,z)

.——•y—z=0

则有,3巴°即,22可令x=l,y=z=2

nCF=0-x-y+-z=0

't'133

所以1=(1,2,2),

设平面CFB的法向量为后=（x,y,z）

22

-X-y+—z=0

«2CF=033

则有v即＜可令％=y=2，Z=1

12八

三.丽=0—X——z=0

33

所以鼠=(2,2,1),

8

Ix2+2x2+2xl-

因为Icos<£石>H，七H9-

kjl^lV12+22+22XV22+22+12

所以sin>=

即二面角E-CF-B的正弦值为姮

9

7.（2021•镜湖区校级模拟）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和2个圆柱拼接而成，点G为弧8的

4

中点，且C、E、D、G四点共面.

（1）证明：平面9D_L平面8CG;

（2）若4）=AF=2,求平面5DP与平面AfiG所成锐二面角的余弦值.

【详解】解：（1）证明：如图，连接CE,

因为几何体是由等高的半个圆柱和1个圆柱拼接而成,

所以NEa)=NZX7G=45°,NECG=90°,CELCG，

因为BC//EF,BC=EF,

所以四边形8CE尸为平行四边形，BF//EC，BFLCG，

因为8CJ•平面4小，8Fu平面43尸，所以BC_LBF,

因为BCn)CG=C,所以附1.平面3CG,

因为因为BFu平面BED,所以平面3牝＞，平面BCG.

(2)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)、8(0,2,0)、F(2,0,0)、0(0,0,f)、G(-l,1,2),

福=(0,2,0),而=(-1,1,2),丽=(-2,2,0),丽=(-2,0,2),

设平面BDF的一个法向量为万=(x,y,z),

则卜方二°,整理得卜？+?=，令z=l,则”(1,1,1),

n-FD=O[-2x+2z=0

设平面ABG的一个法向量为沅=(x',y',z'),

则件竺=0,整理得匕0令z'=l,则海=(2,0,1),

庆•而=0l-x+y+2z=0

/八_fn-n_而

cos〈成,n)=---------=------,

\m\-\n\5

所以平面8。尸与平面ABG所成锐二面角的余弦值为半.

8.(2021•孟津县校级模拟)如图，正四面体中，O是顶点A在底面内的射影，E是AO中点，平面

BDE与棱AC交于M.

(1)求证：平面£>EC_L平面3MD；

(2)求二面角£)-80一。的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)曲

9

【详解】(1)证明：延长CO与皿交于N,设正四面体A58的棱长为

则OVJ_3£),CN=CDsin600=—a,CO=-CN=—a,

233

所以AO=y/AC2-CO2==存,

乂。为正三角形BCD的中心，

则OC=O3=O£>,

所以EB=EC=ED=y/C02+OE2=

由勾股定理可得，CE2+DE2=CD2=DE2+BE2=DB2=BE2+CE2=BC2=a2,

故CE,DE,BE1两两垂直，

又DE,BEu平面BMD,DE^]BE=E,

所以CEL平面3ME＞，

因为CEu平面DEC,

故平面DEC_L平面BMD；

(2)解：取O为坐标原点，BD.ON,方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-砂,

如图所示，

则A(0,0,迈a),B(--a,—a,0),C(0,-—«,0),E(0,0,—«),

32636

设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),

r_ygn--ax+—ay--az=0

则"A8=0,gp263

m-AC=06瓜

-----ay------az=0

I33

令z=—1,则w=(76,^2,-1),

由（1）可知，平面3DM的一个法向量是酝=

不妨取a=6,可得屈=（0,2百,次）,

CE-thQ+2屈-R

则cos<CE,m>=

\CE\-\m\3-3429

因为二面角£>-BW-C的平面角为锐角,

故二面角Q-RW-C的余弦值为且.

9.（2021•团风县校级模拟）已知AABC为等腰直角三角形，Zfi4C=90°,BC=2,将沿底边上的

高线45折起到△43Z>位置，使N8'OC=90°,如图所示，分别取"C,AC的中点E,F.

（1）求二面角E-Z）尸一9的余弦值;

（2）判断在线段钻'上是否存在一点〃，使平面B'DF?若存在，求出点M的位置，若不存在，说

明理由.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【详解】解：（1）由题意可知，AD±ffD,ADA.CD,B'DJ.CD,且AD=87）=8=1,

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则尸(工，,0),外0，，),a(0,0,1),4(1,0,0)©(0,0,0),

2222

___1111——.

所以。E=(0,—,0),。8=(0,0,1),

2222

设平面£7Z)的法向量为所=(x,y,z),

则卜•竺=。，""5,

向前=oL+L=。

[22’

令x=l,则y=-l,z=l,

故所=(1,一1,1),

同理可得平面？。的法向量为"=(1,-1,0),

所以|cos＜为，成＞|=戊""=--j-2广=显,

I।疣|瘴|5/3x723

所以二面角E—DF—F的余弦值为当；

3

(2)假设在线段AB'上存在一点M,使得£MJ_平面用DF,

设AM，=AAB!,

因为^7njl,。/)，所以而?=(-Z(M),

则丽=丽+汨=(1,(),0)+(-/1,0,/1)=(1-义，0,2),

故砒=诙_丽=(/1_1_」_幻，

22

当平面时，nl/'ME,

即存在实数%,使得万==—1一——2)，解得4=

222

所以AA/=—福，

2

故存在点M是线段AB'的中点时，EM_L平面875F.

10.(2021•兴庆区校级三模)如图，在四棱锥尸-XBCD中，R4_L平面ABCD,底面是菱形,

PA=AB=2,ABAD=60°.

(I)求证：直线8£>J_平面R4C；

(ID求直线尸8与平面外。所成角的正切值；

(III)设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为*,求点M到底面/W8的距离.

7

7

【答案】(1)见解析(2)1或会

7

【详解】(I)证明：由菱形的性质可知，BDLAC,

因为R4_L平面ABCD,口.BDu平面A8C£>,

则a.AP^\AC=A,AP,ACu平面叫C,

故801.平面PAC；

(II)解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则P(0,0,2),B(60,0),40,0,0)40,2,0),

所以方=(行,1,-2),

由平面皿)的一个法向量为力=(1,0,0),

设直线网与平面RW)所成的角为，，

所以sin。=|cos<PB,in>|=〔)*济〔=£,

故cos0=\J\-sin20

sin。_'715

所以tan。=

cos。5

故直线依与平面PAD所成角的正切值为半；

(III)解：设M(x,y,z),且而=/11(既睨I),

因为P(0,0,2),C(6,3,0),B®,0),A(0,0,0),

所以(x,y,Z-2)=2(6,3,-2).

解得x=G/i,y=3/1z=—22+2,

所以点M的坐标为M(百尢3尢-2/1+2),

设平面CWfi的法向量为为=(a,/?,c),

n-CB=-2b=0

则

n-MB=(y/3-43A)a+(.]-3A)b+(2A-2)c=0，

令a=2,则c=G

故元=(2,0,右)，

设平面MB4的法向量为7=(p,q,r),

f-AB=6p+q=0

则

J-MB=(y/3->/3A)p+(\-3A)q+(2A-2)r=0

令p=1,则q=-g,r=避Z,

1-A

因为二面角C-MB-A的余弦值为9,

7

2+"

所以-----,IT5

J1+3+3/1y7

V(If

整理可得14万—192+6=0,

解得;1=，或/l=£,

27

7

由点时的坐标可知点M到底面458的距离为1或士.

7

11.（2021•新安县校级模拟）已知正三角形ABC的边长为6,点£、。分别是边4?、AC上的点，且满足

丝=C2=_1,（如图1）,将4DE沿瓦折起到4QE的位置（如图2）,且使与底面3CDE成60。角，

EBDA2

连接AB,AC.

（1）求证：平面ABE1■平面3CDE;

（2）求二面角A-CD-E的余弦值.

3月

【答案】（1）见解析（2）

13

12

【详解】（1）证明：折叠前，在图1中，AE=-AB=2,AD=-AC=4,ZDAE=60°,

33

由余弦定理可得，DE123=AD2+AE2-2ADAE-cosZEAE=U,

则Afz+D^uAD2,所以DELAB,

折叠后，在图2中，对应的有£>E_LAE，DELBE,

又AEp|OE=E,人后，£)£u平面ABE,

所以£>EJ_平面ABE,

乂短Eu平面8C£>E，

故平面ABE_L平面BCDE；

(2)解：过点A在平面ABE内作A"，BE,垂足为A/,

因为平面ABEJ_平面8a应，且平面ABEC平面5CDE=BE,4Mu平面4BE,

所以AM_L平面3CDE,

则直线AE与平面BCDE所成的角为乙4,EM=60。，

因为DEL平面ABE,

则以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

故4(1,0,行),矶0,0,0),。(0,26,0),(?(1,36,0),

设平面\CD的法向量为历=(x,y,z),

因为反=(l,G,0),西=(L-2g,有)，

n.\tn-DC=x+y/3y=0

则4一.二L，

m-D\=x-2V3y+V3z=0

令x=\/5,贝!Iy=-1,z=-3,

故玩=(6,一1,一3),

又平面CDE的一个法向量为万=(0,0,1),

\m-n\_3_3\/13

所以ICOS<而，万>1=

I而II五厂而--iF

故二面角A.-CD-E的余弦值为噜.

12.（2021•路北区校级模拟）如图所示，四棱锥尸-ABCD中，AD//BC>NAE>C=NC7Y）=90。，平面尸CE>_L

平面A8C£>,点E为线段R3靠近P的三等分点，ZACD=ZABC=APCD=45°.

（I）求证：/>£>//平面ACE；

（II）求二面角P—AC—E的余弦值.

【详解】（I）证明：设8=°,在RtAACD中，CD=a,ZACD=45°,

则=AC=sl2a,

又ZABC=45°,ZBC4=90o-45°-45°,

则ABAC为等腰直角三角形，所以A8=AC=0。，，BC=2a,

在RQCPD中，CD=a,"CD=45°,所以PD=PD=^a,

2

又因为平面PCDL平面438,平面PCOC平面4?8=CD,BCYCD,

则BC_L平面PCD,又PCu平面「8,

所以8c_LPC,BPZBCP=90°,

取8的中点为O,连接。P,过点O作CO的垂线，

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则P(W，0,0),r»(0,£0),A(0,£a),C(0,—£0),8(0,-£2公，

22222

所以PD=(--,-,0),C4=(0,a,a),PB=(----,2a),

2222

又因为E为P8的三等分点，

贝ijp£△而，

3

设E(x()，y0,z0),

则方=(x。—

所以，，解得，为=一,。，

66

故a,-a),

363

___i2i

则恁=一§a),

设平面AEC的法向量为万=(x,y,z),

rKa2aa

n•AE=—x----y——z=0

则J33.3,

n-CA=ay+az=0

令y=l,贝Uz=-1,x=l,

故*=(1,1,7),

所以4・万=-@xl+4xl-0xl=0,

22

则而_L万，

又如仁平面ACE,

故PD//平面ACE；

(II)解：由(I)可知，PA=(--,-,a),CA=(0,a,a),

22

设平面PAC的法向量为成=(p,q,r)，

m-PA--—p+—q+ar-0

则J22,

m-CA=aq+ar=0

令夕=1,则r=-l,p=-l,

故，力=(—1,1,—1)，

又因为平面ACE的法向量为n=(1,1,-1),

所以|COS<玩，万>1=所"I=/1]_=-,

I历II万IJ1+1+1XV1+1+13

因为二面角P—AC-E为锐角,

故二面角P-AC-E的余弦值为-.

3

13.(2021•巴中模拟)如图，四棱锥尸-ABCD的底面旗8是平行四边形，A4平面ABCZ),

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中点，F是平面4组与棱/>£)的交点.

(1)证明：平面PBC_L平面ABE；

(2)求二面角C—AF—E的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)2

【详解】解：(1)证明：：四棱锥P-ABCD的底面98是平行四边形，小_L平面他CD,

PA=AB=AC=2,ZABC=45°,E是棱PC的中点，F是平面A8E与棱PD的交点.

.-.ABYAC,

以A为原点，A3为x轴，4c为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则尸(0,0,2),8(2,0,0),C(0,2,