2021年高考题和模拟题数学（文）分类汇编 04 立体几何

2021年高考试题分类汇编

专题04立体几何

2021年高考真题

1.（2021.全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截

去三棱锥4-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为故选D.

2.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABCO-AgGR中,P为的中点，则直线依与所成

的角为（）

兀兀兀

A.—B.-D.-

236

【答案】D

【分析】平移直线AA至将直线P3与所成的角转化为只？与84所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接BC「PG，PB,因为A"〃8G，

所以ZPBC,或其补角为直线PB与A。所成的角,

因为3旦_L平面A与GA，所以84_LPG，又PGJ•旦2，BBqBR=B-

所以PG1平面PBB、,所以PC11PB,

设正方体棱长为2,则BQ=2应,PG=g=应,

而NPg喷弓，所以

故选D.

3.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（)

3

A.-

2

【答案】A

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【详解】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形4B8,

该等腰梯形的上底为&,下底为2&，腰长为1，故梯形的高为F?=与,

故匕8CO-AB1Gol=]X（&+2应卜[^xl=5，

A.3+庄B.4C.3+J3D.2

2

【答案】A

【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥0-ABC,

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为3x」xlxl+石/23+6

7*(2

2

故选：A.

5.(2021•北京高考真题)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(<l()mm),

中雨(10mm-25mm),大雨(25mm-5()mm),暴雨(50mm-100mm),小明用一个圆锥形容器接了24小

时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半径为竿=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为

=50(mm),高为150(mm)的圆锥,

12

,,,,,一万x50~xl50,.,..

所以积水厚度a-/-3----------；——=12.5(mm\，属十中雨一

^■xlOO2''

故选：B.

6.（2021.浙江高考真题）如图已知正方体ABC。—AgG2,M,N分别是A。，的中点，则（）

A.直线4Q与直线垂直，直线MN//平面ABCD

B.直线4。与直线。平行，直线平面

C.直线4。与直线。出相交，直线MN//平面ABCO

D.直线AQ与直线异面，直线MN_L平面8。。与

【答案】A

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证MN〃A&4。，平面AB0,即可得出结论.

连A。1，在正方体A8CD—AgG。］中,

M是4。的中点，所以M为AR中点,

又N是的中点，所以MN/IAB，

MN•平面ABCD,ABu平面ABCO.

所以MN〃平面45CD.

因为AB不垂直B。，所以MN不垂直8。

则MN不垂直平面BDD&I，所以选项B.D不正确;

在正方体ABCZ)—中,AD[_LA^D,

/记_L平面A4QQ,所以AB_LA。,

AD{r>AB=A,所以AQ_L平面AB£)「

DQu平面ABD_所以

且直线42。乃是异面直线,

所以选项B错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个

面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7.（2021•全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%则该圆锥的侧面积为.

【答案】39%

【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

1,

【详解】vV=-^-62-/Z=30^

3

故答案为：39».

h

8.（2021.全国高考真题（文））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某

三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图④图⑤

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④,

如图所示，长方体ABC。—中，AB=BC=2,BB]=1,

£产分别为棱B1G，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E—ADE.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关

系.

9.（2021.全国高考真题（文））如图，四棱锥尸-ABC。的底面是矩形，P£）_L底面ABC。，M为5c的

中点，且尸BLAAT

（1）证明：平面R4"_L平面PBD；

⑵若PD=DC=T,求四棱锥P—ABC。的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）也.

3

【分析】（1）由PDJ_底面ABC。可得PDLAA/，又尸3_1_40,由线面垂直的判定定理可得AM_1_平

面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面以MJ_平面PHD:

（2）由（1）可知，AM±BD^由平面知识可知，ADABfABM，由相似比可求出AD，再根据四棱

锥P-ABC。的体积公式即可求出.

【详解】（1）因为PD_L底面ABC。，AMu平面ABC。，

所以P£>_LAM,

又PBCPD=P,

所以A〃_L平面P8£），

而AMu平面，

所以平面PAM±平面尸或）.

（2）由（1）可知，AM，平面所以

从而〜AABA/，设BM=x，A£>=2x，

则丝=组，即2/=1，解得x=也，所以AO=、历.

ABAD2

因为PZ）_L底面ABCO，

故四棱锥尸一ABCO的体积为丫=gx（lx、5卜1=丰.

【点睛】本题第一问解题关键是找到平面R物或平面P班>的垂线，结合题目条件P5LA/，所以垂线

可以从心,AM中产生，稍加分析即可判断出40，平面PM,从而证出；第二问关键是底面矩形面积的

计算，利用笫•问的结论结合平面几何知识可得出△八旬〜&4W，从而求出矩形的另一个边长，从而求

得该四棱锥的体积.

10.（2021•浙江高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是平行四边形，

ZABC=120°,AB=l,BC=4,PA=y/15，M,N分别为BC,PC的中点,PD±DC,PM±MD.

（1）证明：AB1PM-.

（2）求直线AN与平面/>/泌所成角的正弦值.

【答案】（D证明见解析；（2）叵.

6

【分析】（1）要证ABLAW，可证。C_LPM，由题意可得，PDLDC，易证。MLOC，从而。

平面PDM,即有。C_L,从而得证；

（2）取AD中点E，根据题意可知，两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐

标系，再分别求出向量丽和平面PD0的•个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】（1）在ADCM中，DC=1，CM=2,ZDCM=600，由余弦定理可得。Af=万，

所以。Ar+oc?=。加2,...OMJ_oc由题意且P£>cOM=O，，OC_L平面PDM,

而PMu平面PDA/,所以。C_LPM，又AB//。。，所以A」BJ_PM.

(2)由PA/LMD，AB1PM,而AB与DM相交，所以PM_L平面ABC。，因为4W=J7,所以

PM=2>/2.取AD中点E，连接ME，则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建

立空间直角坐标系，

则A(-y/3,2,0),P(0,0,20),0(石,0,0).A7(0,0,0),C(6,-1,0)

又N为PC中点,所以N(亭=.

山(1)得CD_L平面所以平面尸£>M的一个法向量元=(0,1,0)

【点睛】

本题第一向主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB_LR0，可以考虑。C_LPM,

题中与。。有垂直关系的直线较多，易证。C_L平面PZW，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第

一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.

11.(2021•全国高考真题(文))己知直三棱柱ABC—AUG中，侧面A4由8为正方形，AB=BC^2,

E,F分别为AC和CG的中点，

（1）求三棱锥尸—EBC的体积；

（2）已知。为棱44上的点，证明：BFLDE.

【答案】（1）,；（2）证明见解析.

3

【分析】（1）首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的

结论.

【详解】（1）如图所示，连结4尸，

由题意可得：BF=YJBC2+CF2=74+1=75-

由于BCLAB,BB}C\BC=B,故AB_L平面8。。百，

而3Eu平面BCG5，故4?，BE，

从而有AF^>]AB2+BF2=V4+5=3>

从而=/2_c尸2=百口=2&，

则AB2+BC2=AC2,:.ABIBC,△ABC为等腰直角三角形，

SABCE=2S"8C=aX13X2X2)=1,Vf-EBC=§X^ABCEXCF=§xlxl=§.

(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-A耳如图所示，取棱A〃,BC的

中点H,G,连结4H,7/G,G4,

正方形5CGM中，G,b为中点，则

故BF±平面A^GH，而DEu平面A蜴G”,

从而BF上DE.

【点睛】

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如二棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择

其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证

明经常进行等价转化.

春2021年高考模拟试题

1.（2021•四川省高三三模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈，若三棱锥P-A8C

为鳖膈，P4J•平面ABC,PA=BC^4,AB=3,AB_L6C,若三棱锥P-ABC有一个内切球。，

则球。的体积为（）

9兀9兀9%

A.—B.—C.D.91

2416

【答案】C

【分析】由给定条件求出三棱锥尸-A3C的体积，连接OB,OC,0P,可得四个小锥体，由小锥体

体积和即可求出球半径.

【详解】因平面A8C，则而AB_LBC，24cAB=A，于是得8C_L平面

PBLBC，而P4，AB，PALAC，

又/V1=BC=4，AB=3,则有AC=[AB?+BC?=5,PB=JAB。+PA?=5,

三棱锥尸-ABC的表面积为

s=S.PAB+S.CAB+S.PBC+=^PA-AB+AB-BC+PB-BC+PA-AC）=32,

连接。4,OB,OC,OP,如图：

二棱锥P-ABC被分割为四个三棱锥O—PAB,O—ABC,O—BBC,。一PAC,它们的高均为球。的半径

,,o,o、—32r

^O-PAB+^O-ABC+^O-PBC1^PAB

Vp-ABC=+K）-PAC=Q+S\CAR十»APBC+J_AC'~，

而%.Asc=gP4SAA8c=：4].3-4=8,则?=8,得r=；,

44397r

所以球。的体积为丫=-%/3=—么（二）3=——

33416

故选：C

2.（2021•全国高三其他模拟）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍薨者，下有袤有

广，而上有袤无广.刍，草也.薨，屋盖也翻译为"底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍费字

面意思为茅草屋顶现有一个刍薨如图所示，四边形ABCO是边长为4的正方形，aADE与"CF是等边三

角形，EF//AB,AB=2EF,则该刍费的外接球的半径为（）

A27253D71014c2^/254cVToT?

11111111

【答案】A

【分析】连接AC,BO交于点。，过。点作0。_1_平面ABCD,设。'为外接球的球心，取AD,5c的中

点分别为G,H，证得BC±平面EFHG,求得MO=^FH--X=JH■，设O。'=x,得到M0'=y/u~x>

结合求得截面性质，列出方程，即可求解.

【详解】连接AC,BD交于点。，过。点作00'_L平面ABCD.

因为四边形ABCD为正方形，所以外接球的球心在匕设0'为外接球的球心，

取AZ）,BC的中点分别为G,",连接EG,FH,

因为跳7/AB,A8//G”,可得EF//GH,

因为AB/CAEA。为等比三角形，所以七HJ.BC，

因为BC工GH，EHCGH=H,所以8C_L平面EEHG,

因为AB=4=2EE，所以A0=2忘,EE=2,

所以EM=1,EO'=AO'=R,

因为F”=26，所以M0=J/7/2一1=jjy,

设00'=x,则A/0'=而-x，

所以AO'2=AO2+00'\E0'2=EM2+MO'2,所以/+8=1+(TH■-X了,

1!IJ9+x2=1+11-2y/Tix+x2>解得251/11%=4，即x=2^I，

所以R2=4O'2=AO2+。。"=8+—=—,所以R=、悍=2拒百

iiiiVuu

故选：A.

LW

3.（2021•重庆高三其他模拟）己知正方体的棱长为2,E为4所的中点，下列说法中正

确的是（）

A.EA与BC所成的角大于60°

B.点E到平面ABCiD,的距离为1

C.三棱锥E-ABG的外接球的表面积为乜之互）

24

TT

D.直线CE与平面AOS所成的角为一

4

【答案】D

【分析】利用平行线转移求异面直线成角的正切值，判断A错误；利用平行线上点到平面的距离相等求点

到面距离，判断B错误；先判断三棱锥E-A3G的外接球即四棱锥E-A8G。的外接球，再结合球中几

何关系求球的半径，再求表面积，判断C错误；利用线面成角的定义求正弦值，判断D正确.

【详解】对『A,取。C中点尸，连接E尸,。尸，则/〃所为与BC所成的角，因为

2

D}E-（-EF]R

D、F=D、E=&EF=2&所以tan/DEX_V故NREF<60。,即

1"&

2

A错误;

对于B,由A4〃平面ABCIR知，与到平面ABCR的距离等于E到平面ABCR的距离，连接B.C,

交BG于G，则gG,平面A5G2,而gG=0,故E到平面ABG2的距离为血，即B错误；

对于C,三棱锥E-A8G的外接球即四棱锥E-ABCR的外接球.因为四边形是矩形，

AB=2,Bq=2厄EA=EB=EJ=ED1=小，四棱锥E-ABCQ的高为g，设四棱锥E-A8GA的

外接球半径为七则R2=（G）2+（、历—R『，解得R=乎.

所以三棱锥E—ABG的外接球的表面积为S=4〃R2=4万堂=彳，即C错误；

对于D,连接"G，取"G的中点”，连接。51,交EC于K,连接CH,HK,因为EB1〃DC,所以NCKH

112

是直线CE与平面ACS所成的角，EB,=-DC,EK=-CK,故CK=­CE,在直角三角形ACK"中，

223

CK=-CE=2,CH=41>,-.sinZC/CH=—=：.ZCKH=-,即D正确.

3CK24

故选：D.

4.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（）

H

E

A.AHLFCB.AC//BG

C.8。与bC所成的角为60。D.AC//平面3EG

【答案】ACD

【分析】将平面展开图以ABC。为下底面，折起还原为正方体，然后利用异面直线所成角定义判定选项A,C,

选项B易于判定，利用线面平行判定定理判定选项D.

【详解】将平面展开图以A8CD为下底面，折起还原为正方体，各顶点的字母标记如图所示，

连接。区则A4_L/）E,FC〃OE,；.AH_LFC,故选项A正确；

AC〃EGEG与8G相交，.:AC与BG显然不平行，故选项B错误；

为等边三角形，，乙BOE=60。，故异面直线与FC所成角为60。，故选项C正确；

•.•4。〃£6工小£平面BEG,EGu平面BEG,〃平面8EG,故选项D正确.

故选：ACD.

5.如图，在棱长为2的正四面体P-A8C中，O、E分别为AB、AC上的动点（不包含端点），尸为PC的中点,

则下列结论正确的有（）

A.OE+E尸的最小值为布;

B.若E为AC中点，则。尸的最小值为正；

若四棱锥F-BDEC的体积为正,

C.则DE的取值范围是

4

D.若BE-FE=—,则CE=1

2

【答案】BC

【分析】（1）将平面以C和平面8AC沿AC边展开为平面四边形以8c即可求解;

（2）设P£>=m,易知〃之又有/用。=4CAO,所以CD=P£）=mXDF1PC,根据勾股定理即可求

解；

xx=

（3）由^F-BDEC~TTP°xSBDEC得^BDEC'乂SJDE=TA。-AE-sin—=S^ABC-SBDEC,

D乙4乙

所以4>AE=L,又0<AE<2,可得!<AO<2,再利用余弦定理及均值不等式即可求解OE的取值

2

范围；

（4）由苑•庵=（竟+在乂死+C可即可求解.

【详解】解：对于4选项，如下展开图

B

易知AF_LAB,则有。E+EfN4F=6，又因为/）、E不能是端点，故有。E+EQ石，没有最小值，A错误;

对于B选项，设2£>=加，易知咫6，又有4必。三/CA。，所以CD=P£>=〃?，

连接。尸，则有OFLPC,故DF=4ni->五，8正确:

对于C选项，设等边/A8C的中心为。，连接P0,

S

所心VF-BCEC=；xgxP°XSBDEC=~SBDEC=~得BDEC=~~'

所以S“DE=久生-S皿―乎，又S”=；3AE•si吟，

则有A£>-AE=1,,又0<AE<2,可得，<AO<2,

2

所以。E=J/!。？+AE2—ADAE=JA。？+条—1e孚），C正确;

对于£）选项，设CE=r,BE-FE=（BC+CE）-（FC+CE）=l+/2-|z=1,

解得f或1,即CE=1或1,。错误；

22

故选：BC.

6.（2021.广东高三其他模拟）已知E、尸分别是长方体—的棱4仄4片的中点，若

AB=2近,AO=A4=2,则四面体G-OEF的外接球的体积为

13VB

【答案】-----------71

6

【分析】首先根据锥体的性质，求出外接球的半径，进一步利用公式求出结果.

【详解】四面体G-DEF的外接球就是直三棱柱DEC-DtFCt的外接球,

设棱柱DEC-DFG的底DEC的外接圆圆心为G,三棱柱DEC—Dg的外接球球心为。，ADEC的外

,3

接圆半径尸=（2一八产+应一,解得r=2，

外接球的半径R=>JOG2+GC-=—,

2

•••四面体G-DEF的外接球的体积为竽=邛叵乃，

故答案为：身叵万

6

7.（2021.全国高三其他模拟）将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成（1、2）部分，与正六边

形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是,外接球表

面积为.

【答案】10875〃

【分析】（1）设P在底面的射影为0,过。作尸过点〃，易得DE=DC=3亚,OH二手,由折

叠得到PH=6必当=乎，进而求得PO,再由PQ，PR,PS两两垂直，分别求得力-2然,VQ.AKF,

然后由Vp_QRS~^Q-AKF求解.

（2）易得多面体球心。'在。尸上，设球半径为R,然后由0A=ja02+Q42,即

(36-R)2+G回2=R?，求得半径即可.

【详解】(I)如图所示：

设P在底面的射影为。，过。作CWLEF过点H,DE=DC=3C，

：斜线PH=6而当=当,

。。=3而

..PQ=^PO2+OQ2=^274-54=^=9.

易知PQ,PR,PS两两垂直，且PQ=PR=PS=9,

IQ721a

/-QRS=NX93=丁且QK=9—6=3,%_AKF=ZX33=5,

ooo2.

9729

，所求多面体体积V=-——-x3=108.

82

(2)设4凡HC,OE中点分别为。，V,W

易知U,V,卬分别为AAKF,ABCM,AOEV的外心

多面体球心O'在OP上，设球半径为R,

：.C/P=O'A=R.

OO'=3>j3-R,OU

O'A=y/o'O^OA1=J(3G-&2+(3仿2，

.•.(36-R)?+(342=R2,

sn

=>27-6后+18=0=/?=号，

...S=4万X[¥]=75万

8.(2021.上海市高三其他模拟)如图，在四棱锥P—A8CP中，PCJ•底面ABC2ABCD是直角梯形,

AD±DC,AB//DC,AB=2AD=2CD=2,点E是尸8的中点.

（1）证明：直线5CL平面PAC；

（2）者直线P8与平面B4C所成角的正弦值为立，求三棱锥P-ACE的体积.

3

【答案】（D证明见解析；（2）

3

【分析】（1）由PC,平而A8C。，证得PCJL3C,再由4。2+8。2=452,得到AC_L3C，结合线

面垂直的判定定理，即可证得3c，平面P4C；

（2）由（1）得到NBPC为PB与平面PAC所成角，在宜角△BPC中，可求得PB="，得到尸。=2,

结合%-ACE=g%Tm即可求解.

【详解】（1）因为PC_L平而ABC。，BCu平面ABCO,所以PCLBC,

又由A5=2,AO=CO=1,AQ_LOC,且ABC。是直角梯形，

可得AC=3C=e，可得AC2+BC2=A§2,所以AC_L8C，

又因为尸CcAC=C，且尸GACu平面P4C，所以8CL平面P4C.

（2）由（1）知8C1.平面PAC,所以NBPC即为直线P8与平面PAC所成角,

在直角分尸。中，可得sin/BPC=吧=立=更，所以P5=«，则PC=2,

PBPB3

所以％.ACE=gVprc8=；xgxqxlx2x2)=g.

9.(2021•河南高三其他模拟(文))如图，在三棱柱ABC—A/Cl中，

AC=BC=1,ZACB=12(),A4,=4^=2,々AC=6()'.

（1）证明：平面ABCJ_平面4ACG.

（2）若CP=PG,求3到平面4BP的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）名叵

5

【分析】（1）作AB的中点”，连接4C，4H，C”,证明AB_L平面AC”和4。J"平面ABC得证

（2）利用等体积法匕＞_&“=匕认仍=匕-ABC求得

%

【详解】

A

⑴证明：作AB的中点”.连接4c,4”,C“

AA,=2,AC=1,AC=60A,C1AC

•.・AC=BC=1,CH±AB

•.•e=45=2,:.AtHLAB

•.•4“nc”="

AB_L平面\CH,4cu平面A.CH

：.A,CLAB

AB(~>AC=A

.•.AC,平面48。,4。匚平面44。勒

•••平面A8C_L平面4ACC1.

⑵.过G作G。，A。于。，连接BD,BC,

由（1）知4CJ_平面ABC,所以COJ-平面ABC

因为A4,=AB=CC1=2,/AAC=』GCD=60°，所以C£)=GO=G

因为/ACB=120•所以NDCB=60°

因为BC=CO=1,所以9=1，所以BQNBD'BC；=2

在ZiGBC中，因为8G=2,8C=1

所以cosNGC8=(

因为CP=pq,所以.•.AIP=I,BP=4

7

所以cosZBA,P=-,sinZBA,P=

所以AABP面积为Lxlx2x15=m5

288

因为Vp_AB]B=Z-A/B=At-ABC

设所到平面48P的距离为〃

贝解得h=2

322385

所以田到平面AyBP的距离为名叵

5

10.（2021.河南高三其他模拟（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为边长为4的菱形,

ZZMB=60°,PA=PD=屈,E为A8的中点，。为4。的中点，PE1AC.

（1）证明：AC1PO.

（2）求点。到平面PBO的距离.

3

【答案】（I）证明见解析；（2）

2

【分析】（1）利用菱形结合中位线证得ACLOE,然后利用线面垂直判定定理证得ACJ■平面POE,然后

利用线面垂宜的性质定理证得结论.（2）利用等体积法求得点面距离.

【详解】（1）证明：如图，连接OE.

因为底面A8CO是菱形，所以AC_L8O.

又OE为△ABO的中位线，所以OE/jBD,从而AC_LOE.

因为PELAC,PE^\OE=E,所以ACL平面POE,

所以AC1PO.

（2）解：因为尸。是等腰三角形以。的中线，所以尸O_L4）,由（1）知ACJ_PO,所以PO_L平面ABCD,

PC=J13—4=3.

由题可知点。到平面PBD的距离等于点A到平面PBD距离的一半.

屈,2

设点A到平面的距离为人,在△ABO中，80=4,PD=PB=^2y/3f+3=721.

]D

可求cos/P£>8=『，sinNP£>8=」n,

V13V13

所以&p8D=1x4xgx艺=46

2V13

易求S/x"。=Jx4x4xT=4^-

由匕"8。=匕＞-皿。,得;X4同=；x4括x3,解得〃=3.

3

故点0到平面PHD的距离为一.

2

11.（2021•黑龙江省高三其他模拟（文））如图，四棱锥P—A3C。中，Q4L平面ABC。，ABYAD,

AB//CD,PD^AB=2AD=2CD^2,E为线段出上一点，且3P£=2h.

（1）证明：平面EBC_L平面PAC；

（2）求点A到平面EBC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.