数学在物理解题中的应用

第页数学知识在物理解题中的应用数学是解决物理问题的基本工具和途径，应用数学知识处理物理问题是新课标高考《考试大纲》中要求考查的五种能力之一。《考试大纲》中明确要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。因此，培养学生熟练地运用数学工具解决物理问题是中学物理教学的任务之一，教师在平时的教学工作中要特别注意物理问题和数学方法的有机结合，让学生能够熟练利用数学工具解决实际问题。利用数学解决物理问题的流程图如下：物理物理问题建立数学模型数学模型的解物理问题的解分析、联想、抽象概括推理演算还原说明本文梳理了一下数学知识在解决物理问题的具体应用，与各位同仁商榷。三角形知识在解决物理问题中的应用正弦定理的应用正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即图1图1例1.（2008年四川延理综考卷）两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图1所示。己知小球a和b的质量之比为，细杆长度是球面半径的倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是A．450B．300C．22.50D．150abθO图2解析：由题目中的数据可以得出，abO三点组成一个等腰直角三角形。所以两底角都为。对两球进行受力分析，由于球面光滑，所以两球都只受到3个力，如图2所示：重力、球面的支持力、abθO图2对球：，对球：，所以：，即，所以。答案D正确。余弦定理的应用余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。例2、（2007宁夏理综）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向RAOPDRAOPDQφ图3⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图3）。求入射粒子的速度。解析：⑴由于粒子垂直AP入射，则AP是粒子圆轨迹的直径有r1=0.5d设粒子速度为v1，根据牛顿第二定律dRr2图4dRr2图4⑵连接PQ，并且作PQ的中垂线交AP于O′点，则O′为轨迹的圆心，如图4。设粒子的入射速度为v2，轨道半径为r2。在⊿OO′Q中有OO′=R+r2–d，OQ=R，O′Q=r2，根据余弦定理有（R+r2–d）2=R2+r22-2Rr2cosφ又连立以上二式化简得相似三角形相似三角形法：通常是寻找一个矢量三角形与一个几何三角形相似，由对应边成比例列出方程求解。这一方法常用来解决三力平衡问题和几何光学问题。（1）相似三角形在力学中的应用图5例3、（1993年全国高考试题）两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M、N点,M、N两点间的距离为s,如图5所示．已知两绳所能经受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于

图5解析：以质量为m的物体为研究对象进行受力分析可知：物体受三个力作用：重力mg、两根绳子的拉力大小相等。如图6所示。设每根绳子的长度不得低于L，绳子的最大拉力为T。将重力mg沿绳子方向分解为G1和G2，G1=G2=T。由题意和平行四边形定则可知：平行四边形OG1CG2是菱形。利用△OBN与△ODG1相似可得：图6

解得：图6图7又例：（09·江苏物理）用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，如图7所示，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（取）（）图7A．B．C．D．此题也可以用相似三角形法，解题思路与例3题一样。答案A。例4、试推导物体做匀速圆周运动的向心加速度的表达式：乙甲图8乙甲图8推导：推导向心加速度大小关键是用线速度v和半径R等物理量表示中的△v。如上图8所示，vAvB是时间间隔△t前后的速度，为了求两个之差△v=vA-vB，移动vA使它们的起点放在一起，这样就构建起一个矢量三角形，由图8（乙）可见，这个矢量三角形与几何三角形AOB相似。则对应边成比例。由于是匀速圆周运动，上式可以写成：两边同除以△t得当时，上式就可以写成（2）相似三角形在光学中的应用例5、（2010年全国卷Ⅰ）某人手持边长为6cm的正方形平面镜测量身后一棵树的高度。测量时保持镜面与地面垂直，镜子与眼睛的距离为0.4m。在某位置时，他在镜中恰好能够看到整棵树的像；然后他向前走了6.0m，发现用这个镜子长度的5/6就能看到整棵树的像。这棵树的高度约为A．4.0mB．4.5mC．5.0mD．5.5m眼睛树的像树图9解析：如图9是恰好看到树时的反射光路，由图中的三角形眼睛树的像树图9，即。人离树越远，视野越大，看到树所需镜面越小，同理有，以上两式解得L=29.6m，H=4.5m。答案：B一元二次函数在解决物理问题中的应用许多物理过程，一个物理量随另一个物理量的变化可以用一元二次函数来表示，因此，我们可以用根的判别式、极值法等来解决物理问题。1、△判别式法：对于一元二次方程+b+c＝0，若判别式△≥0，则方程有实数解；△＜0，则方程无实数解。图10例6、（08年四川卷）．如图10示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O/。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。图10

解析：据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O／。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力

f＝qvB

根据牛顿第二定律：

解得：

由于v是实数，必须满足：≥0

由此得：B≥

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：

解得：2、极值法：对于一元二次函数y=+b+c，若＞0，则当=时，有ymin=；若＜0，则当=时，有ymax=。例7、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在此时一辆自行车以6m/s的速度驶来，从后面超越汽车。求汽车从路口开动后，汽车追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车间距离是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t秒两车相距最远，则：即因为，所以应存在最大值；当时，m。即汽车追上自行车之前经过2s两车相距最远，最远距离为6m。图像法：利用二次函数图像的特点来解决问题。图11例8、如图11所示，半径为R的光滑圆环固定在光滑水平面上，圆环中心安放一带电量为Q的正电荷，另有磁感应强度为B的匀强磁场垂直圆环平面．已知一质量为m、带电量为+q的小球贴着圆环内壁做圆周运动，若小球的运动速率从零开始逐渐增大，请探究圆环对小球的水平弹力FN图11解析：带电小球在做圆周运动的过程中受到电场力FE、洛伦兹力FB和弹力FN的作用，其合力即为小球做圆周运动的向心力，由图可知：∴其中FB=qvB，FE=kQq/R2，代入上式可得：上式中m、R、B、q、k、Q均为常数，所以FN为v的二次函数．对照y=ax2+bx+c，有a=m/R，b=－Bq，c=kQq/R2．因a>0，所以二次函数y=ax2+bx+c有最小值，图像是先递减在递增。当时，FN最小，最小值为可见，随着小球运动速度的增大，圆环对小球的弹力FN先减小、后增大，且最小值出现在v=BqR/2m时。均值不等式在解决物理问题中的应用1、如果a，b为正数，那么有：，当且仅当a=b时，上式取“=”号。推论：①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。2、如果a，b，c为正数，则有，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。推论：①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。图12例9、在电视节目中我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图12所示.运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为m=70kg，滑板的总面积为S=0.12m2，水的密度为ρ=1.0×103kg/m3.理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角（板前端抬起的角度）为θ时，水对板的作用力大小为N＝ρSv2sin2θ图12解析：选取滑板和运动员作为研究对象，对其受力分析如图13所示，滑板和运动员共受三个力的作用，即：重力G，水对滑板的弹力FN（方向与滑板板面垂直）及绳子对运动员的拉力F。由物体的平衡条件可得：，θ图13FNθ图13FNmgF可得：由式中可知：快艇的最小速度只由θ决定。令，则有：由基本不等式可得：当且仅当，即时，y有最大值：。快艇最小速度的表达式为：代入数据，得：三角函数在解决物理问题中的应用三角函数在解决物理中应用十分广泛，此处仅举一例，利用三角函数求极值的问题。对函数y=，可将该式化为y=，从而得到。（其中，）例10、质量为m=10kg的木箱置于水平地面上，它与地面间动摩擦因数，受到一个与水平方向成角斜向上的拉力F，为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值多大？此时为多大？（g=10N/kg）解析：木箱受四个力作用，如图14所示。由平衡条件知：图14（1）图14（2）（3）由（1）、（2）、（3）式可得：F=∵其中将代入上式得：∴当30°时，，。五、数列知识在解决物理问题中的应用多过程和重复性是涉及到数列求解物理问题所具有的特点，这类问题求解的基本思路是：利用数学归纳法找出物理量之间的递推关系，最后得出结论。总结归纳出问题的数学规律是解决问题的关键。图15例11、（2008年四川理综）一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10m/s2。在小物块与挡板的前4图15解析：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得①设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则②以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为③由①②③式得④设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’，依牛顿第二定律有⑤小物块沿斜面向上运动的最大高度为⑥由②⑤⑥式得⑦式中⑧同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量⑨由④⑦⑨式得 ⑩由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为 ⑾总冲量为⑿由 ⒀得⒁代入数据得N·s⒂六、导数在解决物理问题中的应用高中数学选修2-2（人教版）第一章“导数及其应用”已列入高中数学教学大纲，导数与微积分初步知识在物理中的应用，将成为高考的热点之一。图161、一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数。由此，物体的位移关于时间的导数就是物体的瞬时速度，磁通量关于时间的导数即为感应电动势等等，实际上导数可以描述任何事物的瞬时变化率。图16例12、（2003广东高考）如图16所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0＝0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l＝0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B与时间t的关系为B＝kt，比例系数k＝0.020T/s，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6.0s时金属杆所受的安培力。解析：设金属杆运动的加速度为，则时刻t穿过回路的磁通量为其中因此，根据法拉第电磁感应定律E回路的总电阻R=回路中的感应电流i=作用于杆的安培力解得，代入数据N 该题同时涉及动生电动势和感生电动势，难度较大，但用导数计算回路中的感应电动势思路清晰、方法简洁，避免了学生错误地只应用公式E或E进行计算。2、利用导数求物理极值一般地，求函数极值的方法是：解方程，当时（1）如果在附近的左侧，右侧则是极大值（2）如果在附近的左侧，右侧则是极小值如果在某一区间内只有一个极值则该极值即为最值。例13、一辆小车在轨道上行驶的速度为可达50km/h，在轨道外的平地上行使速度可达40km/h，与轨道的垂直距离为30km的处有一基地，如图所示，问小车从基地出发到离点100km的处的过程中最短需要多少时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？解析：如图17所示，设段的距离为则小车走完全程所用时间可表示为：DBFANDBFANM图17求的导数得令即，解得。当时，；当时时，，（左负右正）。因此当时，时间有最小值，即应用导数知识求物理极值的目的在于拓宽学生的解题思路，开拓视野，展示物理和数学的密切关系，提高学生应用数学知识解决物理问题的能力。微积分思想在解决物理问题中的应用微积分思想的核心是“以直代曲”，具体实施步骤有分割、近似代替、求和、取极限即所谓“四步曲”，具体计算时应用微积分基本定理：一般地，如果函数是区间[ab]上的连续函数，并且，则。图18例14、（上海高考）为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A＝0.04m2的金属板，间距L＝0.05m，当连接到U＝2500V的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图18所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电量为q＝+1.0×10－17C，质量为m＝2.0×10－15kg图18(1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？(2),除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？(3)经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？解：（1）当最靠近上表面的烟尘颗粒被吸附到下板时，烟尘颗粒就被全部吸附。烟尘颗粒受到的电场力为颗粒运动的位移为所以（2）在距离下极板为y远处取平行于极板厚度为dy的介质薄层，此微元的带电量这一微元从该处运动至下极板处，电场力做功两板间全部尘埃从初位置运动至下极板电场力做的总功为即，代入数据得，J（3）当最靠近上表面的烟尘颗粒下落距离为时，由动能定理可得尚未被吸附的颗粒总动能令