2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第37讲简单随机抽样5种常考题型

第37讲简单随机抽样5种常考题型【考点分析】考点一:全面调查(普查)、抽样调查①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.总体：调查对象的全体.个体：组成总体的每一个调查对象.②抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.样本：从总体中抽取的那部分个体.样本量：样本中包含的个体数.考点二:简单随机抽样①定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.考点三:抽签法、随机数法①抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本.②随机数法1.用随机试验生成随机数2.用信息技术生成随机数：①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数.考点四:分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.1.每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.2.如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，两层的总体平均数分别为eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，总体平均数为eq\x\to(W)，样本平均数为eq\x\to(w).则eq\x\to(w)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y).eq\x\to(W)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(X)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(Y).3.在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数eq\x\to(w)估计总体平均数eq\x\to(W).考点五:获取数据的途径获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等.【题型目录】题型一：简单随机抽样概念的理解题型二：随机数表法题型三：简单随机抽样的概率题型四：用样本估计总体题型五：分层随机抽样【典型例题】题型一：简单随机抽样概念的理解【例1】“知名雪糕放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（）A．总体B．个体C．样本D．样本量【答案】D【分析】根据抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，即可判断.【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；个体：把组成总体的每个对象称为个体；样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；样本量：样本中个体的个数叫样本容量，其不带单位；在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查，在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量；故选：D.【例2】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可.【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，故选：A．【例3】下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【分析】根据抽签法的特征:个体数以及样本容量较小，且易均匀混合，即可结合选项求解.【详解】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.故选：B【例4】某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（）A．该市场监管局的调查方法是普查B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品C．总体是超市在售的40种冷冻饮品D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量【答案】D【分析】根据随机抽样概念求解即可.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，样本容量是20．故选：D【例5】（多选题）年月某市模考共有多名学生参加，教务处为了了解本校名考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，则以下说法中正确的是（）A．名考生是总体的一个样本B．名考生的数学成绩是总体C．样本容量是D．多名考生的数学成绩是总体【答案】BC【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念，可以判断BC正确.【详解】总体是名考生的数学成绩，样本是抽取的名考生的数学成绩．样本容量是．故选：BC.【题型专练】1．有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（）A．总体是36个篮球B．样本是4个篮球C．样本容量是4D．每个篮球被抽到的可能性不同【答案】D【分析】利用样本、样本容量、总体的意义，逐项分析判断作答.【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.故选：D2．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查【答案】B【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案.【详解】对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误；对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确；对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误；对于D，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误.故选：B.3.（多选题）下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑【答案】AD【分析】根据简单随机抽样的定义，逐项分析判断即可.【详解】选项A：“一次性”抽取与逐个不放回的抽取等价，符合不放回简单随机抽样要求，故正确；选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故错误；选项C：因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样要求，故错误；选项D：8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故正确.故选：AD4.关于简单随机抽样，下列说法正确的是（）A．要求被抽取样本的总体的个体数有限B．从总体中逐个进行抽取C．一种有放回抽样D．一种等可能抽样【答案】ABD【分析】由简单随机抽样的概念及特征判断.【详解】解：由简单随机抽样的概念及特征可知ABD正确．故选：ABD题型二：随机数表法【例1】已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是（

）A．1，2，…，106B．0，1，2，…，105C．00，01，…，105D．000，001，…，105【答案】D【分析】根据随机数表法的抽取原则判断即可.【详解】由随机数表法抽取原则可知对总体的编号为000，001，…，105.故选：D.【例2】从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（）A．B．C．D．【答案】A【分析】从第一行第5列，两个两个数字取数，前面出现过的或者大于60的剔除，剩下的依次排列即得．【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24，故选：A【例3】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．328C．253D．007【答案】A【分析】根据随机数表法依次读数即可.【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个是623.故选：A.【例4】某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（）332118342978645607325242064438122343567735789056428442125331345786073225300732852345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623B．368C．253D．072【答案】B【分析】根据给定条件，利用随机数表法按要求每3个数为一个编号，不在编号范围内或重复的排除掉，读数即可.【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前8个编号分别是：253，313，457，860（舍），732（舍），253（舍），007，328，523，457（舍），889（舍），072，368，则得到的第8个样本编号是368．故选:B．【题型专练】1．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；④01，02，03，…，100．其中正确的序号是（）A．②③④B．③④C．②③D．①②【答案】C【分析】根据随机数表法的的定义和编号规则，即可求解.【详解】根据随机数表法的步骤可知，①④编号位数不统一，②③的编号数字统一，所以②③正确.故选：C.2．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________.【答案】16【分析】利用随机数表法进行抽样，即可得到答案.【详解】利用随机数表法进行简单随机抽样，依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16.故答案为：16.3．嫦娥九号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为_______________．4567321212310201045215200112512932049234493582003623486969387481【答案】【分析】根据随机数表法求得正确答案.【详解】依题意可知，选出的个体编号为：等等，所以选出来的第7个个体的编号为.故答案为：4．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________.注：下面抽取了随机数表第1行至第5行.【答案】227，665，650，267.【分析】找到第3行第6列的数2，每3个数组成一个数字，如果数字在001至850之间（包含001和850），即符合要求，从而找到前4个符合要求的数字即可.【详解】从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，均符合题意.故答案为：227，665，650，267.题型三：简单随机抽样的概率【例1】为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案.【详解】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能为，故选：B.【例2】利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据等可能事件的概率计算求得，即可求解.【详解】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，故选：D.【例3】从52名学生中选取5名学生参加“希望杯”全国数学邀请赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性（）．A．都相等，且为B．都相等，且为C．都相等，且为D．都不相等【答案】C【分析】根据简单随机抽样的性质，分析即可的答案.【详解】对于简单随机抽样，在抽样过程中，每一个个体被抽到的概率相同，因此每人入选可能相同，且为.故选：C【例4】在放回简单随机抽样中，每次抽取时某一个个体被抽到的概率（）A．与第几次抽样无关，第一次抽到的概率要大些B．与第几次抽样无关，每次抽到的概率都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的概率要大些D．每个个体被抽到的概率无法确定【答案】B【分析】根据简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性相同判断即可【详解】在放回简单随机抽样中，每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等，与第几次抽样无关．故选：B【例5】管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）A．2800B．1800C．1400D．1200【答案】C【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，所有池塘中有标记的鱼的概率为：，又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，所以，解得，即估计该池塘内共有条鱼.故选：C.【题型专练】1．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲､乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6.利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：423，231，344，114，534，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】由计算机产生的组数据中，甲获得冠军的数据有，，，，，共组，据此估计甲获得冠军的概率为，2．为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级人中抽取名学生，学生甲在这名学生之中，然后剩余的名学生再用分层抽样的方法抽取，把名学生随机分成组，每组人，学生乙被分在第四组，则（）A．甲入选的概率为且乙入选的概率为B．甲与乙入选的概率不相等且乙入选的概率小于甲入选的概率C．这名学生入选的概率都相等，且为D．这名学生入选的概率都相等，且为【答案】C【分析】根据随机抽样对于每个人都是公平的，可计算出这名学生每人入选的概率，即可得出合适的选项.【详解】由于随机抽样对于每个人都是公平的，因此，这名学生入选的概率都相等，且为.ABD选项均错，C对.故选：C.3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意计算出总数n即可﹒【详解】根据题意，，解得n＝28．故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为．故选：C﹒4．某大型节目要从2020名观众中抽取50名幸运观众，先用简单随机抽样从2020人中剔除20人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2020人中，每个人被抽到的可能性（）A．均不相等B．不全相等C．都相等，且为D．都相等，且为【答案】C【解析】根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.【详解】解：由随机抽样是等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，故抽取的概率为.故选：C.【点睛】本题考查随机抽样的特点，属于基础题.5．为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则（）A．每个学生入选的概率均不相等B．每个学生入选的概率可能为0C．每个学生入选的概率都相等，且为D．每个学生入选的概率都相等，且为【答案】C【分析】根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果.【详解】因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样，所以每个学生入选的概率都相等，且入选的概率等于.故选：C.【点睛】本题考查了简单随机抽和系统抽样，考查了概率公式，属于基础题.6．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________．【答案】【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率.【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为.故答案为：7．某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则___________；___________.【答案】

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【分析】利用简单随机抽样的等可能性，即得解【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为．故故答案为：题型四：用样本估计总体【例1】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为（）A．4000B．3000C．1500D．750【答案】C【分析】根据简单随机抽样估计总体，列出方程即可得解.【详解】设该自然保护区中天鹅的数量为m，则，解得．故选：C【例2】我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（）．（结果精确到整数）A．133石B．169石C．337石D．1364石【答案】B【分析】根据给定条件，利用样本频率去估计总体即可计算作答.【详解】依题意，抽取的样本中，谷的频率为，由此估计1534石米内有谷(石)，所以这批米内夹谷约为169石.故选：B【例3】中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（）A．23B．92C．128D．180【答案】B【分析】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可【详解】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人故选：B【例4】从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】用样本估计总体，计算即可得.【详解】设总人数为，则，故选：C.【例5】某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（）A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟【答案】BC【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，回答问题2且回答的“是”的人数为，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，估计被调查者中吸烟的人数为.故选：BC．【题型专练】1.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．148石B．149石C．150石D．151石【答案】A【分析】抽样调查中简单随机抽样，对象被抽到的概率是相同的，304粒夹谷30粒，1500石米夹谷的比例是相同的，计算即可.【详解】由题意可知这批米内夹谷约为（石）．故选：A.2．为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（）【答案】A【分析】求出阅读过《西游记》的人数为160人，即得解.【详解】由题意知：该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人，所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该小区学生总人数之比的估计值为.故选：A3．通过随机抽样用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（）.A．总体容量越大，可能估计越精确B．样本容量大小与估计结果无关C．样本容量越大，可能估计越精确D．样本容量越小，可能估计越精确【答案】C【分析】用样本频率估计总体分布的过程中，对于同一个总体，样本容量越大，则估计越准确，据此可以作出判断.【详解】∵用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，∴样本容量越大，估计的越准确，故选：C．【点睛】本题考查用样本估计总体，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案.【详解】选择物理的学生人数为，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．故选：【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有_______人.【答案】102【分析】先求出随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生人数，利用样本估计整体即可求解.【详解】解：根据题意，随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生有人，故该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有人.故答案为：102.题型五：分层随机抽样【例1】某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其他抽样【答案】C【分析】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法．【详解】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适．故选：C．【例2】“太空教师”的神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富出现在画面中，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲．此次太空授课通过为同学们呈现多种精彩的实验和现象，激发了同学们的好奇心，促使他们去观察这些现象，进而去思考、去探索，把科学思维的种子种进心里．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（）A．20人B．30人C．40人D．50人【答案】D【分析】根据题意求得抽样比，再结合高三年级的总人数，即可求得结果.【详解】由题意可知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则高二年级与高三年级的学生人数比为4：5，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高三年级有人．故选：D．【例3】某校1000名学生中，型血有400人，型血有250人，B型血有250人，型血有100人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（）A．16、10、10、4B．14、10、10、6C．13、12、12、3D．15、8、8、9【答案】A【分析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.【详解】根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，故选：A.【例4】某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用比例分配的分层随机抽样计算可得答案.【详解】用女生样本的平均体重49kg估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重57kg估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，所以D选项最合理.故选：D．【例5】某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同【答案】ACD【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，所以A正确；个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，所以B错误;因为，所以（辆），（辆），（辆），所以三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆，所以C正确；分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故选项D正确．故选：ACD．【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（）人．”A．200B．100C．120D．140【答案】C【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可【详解】设北面共有人，则由题意可得，解得所以北面共有120人，故选：C2．现要完成下列2项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法，②随机数法【答案】A【分析】根据已知条件，结合抽签法和分层随机抽样的定义，即可求解【详解】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样．故选：A．3．某大学为了了解在