新高考数学人教版一轮课件第二章第二节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值知识点一函数的单调性1．单调函数的定义f(x1)＜f(x2)＞f(x2)f(x1)上升的下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是

或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D•

温馨提醒

•二级结论函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．3．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．1．函数y＝x2－6x－6在区间[2,4]上是(

)A．递减函数 B．递增函数C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数CC知识点二函数的最值f(x)≤Mf(x)≥M解析：函数的图象如图所示．由图象可知，函数的递增区间为[1,2]，[3，＋∞)．答案：[1,2]，[3，＋∞)题型一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究图象的对称轴为直线x＝0，则f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，故C符合题意；对于D，由余弦函数的图象与性质可知f(x)＝cosx＋3是偶函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，故D不符合题意．答案：BC确定已知解析式的函数单调区间的三种方法

题型二函数的值域(最值)的求法自主探究求函数最值(值域)的方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值(值域).(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值(值域)，若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求最值(值域)．(4)导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点值，求出最值(值域)．(5)换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)．题型三函数单调性的应用多维探究高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围或值.D利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．D[解析]

∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.利用函数的单调性求解或证明不等式若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)，在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．需要说明的是，若不等式一边没有“f”，而是常数，应将常数转化为函数值.DC根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解．[注意]

讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.[题组突破]1．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log3)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜aC解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1.图象如图所示，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log3)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c.2．(2021·武汉模拟)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(

)A．[1，＋∞)

B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]B3．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(

)A．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)C(一)逻辑推理——判断函数单调性的核心素养[例1]已知函数f(x)对定义在(－∞，2]上的任意两个值x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)成立，且函数满足f(x＋2)＝f(2－x)，若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，1]

B．[3，＋∞)C．[1,3] D．(－∞，1]∪[3，＋∞)D[解析]

由函数f(x)对定义在(－∞，2]上的任意两个值x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)成立可知(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0成立，即函数f(x)是(－∞，2]上的增函数，又函数满足f(x＋2)＝f(2－x)，则函数f(x)关于直线x＝2对称，由f(a)≤f(3)可知|a－2|≥|3－2|，所以a－2≤－1或a－2≥1，即a≤1或a≥3.所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．求解与函数的单调性有关的问题，首先应判断函数的单调性，然后根据函数的单调性求解，而判断函数的单调性需要利用推理论证法．(二)数学抽象——抽象函数中的单调性应用问题[例2]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.[解析]

(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.证明：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．

求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；(2)将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”．关键点：(1)根据单调性定义，赋值构造出f(x2)－f(x1)，并与0比较大小；(2)根据已知条件，将所求的不等式转化为f(M)＜f(N)的形式，从而利用单调性求解．[题组突破]1．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋5，若对任意的x1，x2∈(4，＋∞)，当x1＞x2时，总有f(x1)－f(x2)＞x2－x1，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，4]2．已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)因为对定义域内的任意x1，x