第七章 假设检验

原始数据静态分布动态趋势总量指标相对指标平均指标变异指标水平指标速度指标因素分析统计指标加工整理第二章统计数据的搜集、整理与显示第三章综合指标第四章时间数列复杂现象速度指标计算分析第五章指数分析用全部数据计算分析第六章参数估计用部分数据推算分析总体第七章假设检验(大概率)(小概率)

华联超市采购一批纯净水.要求不合格率不得高于2%.现生产商张老板送来了一批货.收货员陈小姐抽了二件共40瓶检查.发现有2瓶不合格.不合格率达5%.这批货应如何处理?实例:第七章假设检验第一节假设检验的基本原理一、什么是假设检验例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋净重150克的技术标准控制操作。现从生产线抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量为=149.8克，样本标准差S=0.872克。问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即问生产线是否处于控制状态）?所谓假设检验就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以假设检验又被称为显著性检验。一个完整的假设检验过程，

包括以下几个步骤：（1）提出假设；

（2）构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值；

（3）规定显著性水平，建立检验规则；(用显著性水平α(或α/2),确定z值,描述拒绝区域.也可用P值来检验).（4）做出判断。二、原假设与备择假设原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正确，若拒绝原假设H0

，则意味着接受备择假设H1

。我们可以提出两个假设：假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为H0:

=150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标准有显著差异，记为H1:

150。

例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋净重150克的技术标准控制操作。现从生产线抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量为=149.8克，样本标准差S=0.872克。问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即问生产线是否处于控制状态）?95%H0:μ=AH1:μ≠A1--α双侧检验α/2

α/2【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。建立的原假设和备择假设为

H0：

500H1：

<500500g左侧检验H0:μ=AH1:μ＜Aα解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比率超过30%”。建立的原假设和备择假设为

H0：

30%H1：

30%【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设右侧检验H0:μ=A

H1:μ＞Aα拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系拒绝域位置P-值检验的显著性水平判断标准原假设备择假设双侧

/2H0:θ＝θ0H1:θ≠θ0左单侧

H0:θ≥θ0H1:θ<θ0右单侧

H0:θ≤θ0H1:θ>θ0双侧检验和单侧检验图6-1双侧、单侧检验的拒绝域分配

/21–

/2–Z

/2

Z

/2

(a)双侧检验

–Z

0(b)左侧检验

0Z

(c)右侧检验一个完整的假设检验过程，

包括以下几个步骤：（1）提出假设；

（2）构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值；

（3）规定显著性水平，建立检验规则；(用显著性水平α(或α/2),确定z值,描述拒绝区域.也可用P值来检验).（4）做出判断。三、检验统计量所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量。检验统计量四、显著性水平、P-值与临界值在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是：如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设不可信，从而否定它，转而接受备择假设。小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生，可以不予考虑小概率的标准是多大？

这要根据实际问题而定。假设检验中，称这一标准为显著性水平，用

来表示，在应用中，通常取

=0.01，

=0.05。对假设检验问题做出判断可依据两种规则：一是P-值规则；二是临界值规则。（一）临界值规则做出结论的方法根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的方法，我们称之为临界值规则。解：第一步：确定原假设与备择假设。H0:

=150，H1:

150第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量

例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋净重150克的技术标准控制操作。现从生产线抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量为=149.8克，样本标准差S=0.872克。问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即问生产线是否处于控制状态）?第三步：确定显著性水平，确定拒绝域

=0.05，查表得到，临界值z0.025=–1.96。第四步：判断。

由于z=–2.29<–1.96

，检验统计量的样本观测值落入拒绝域，z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025所以,样本数据说明生产线不处于控制状态（二）P-值规则

如果P-值大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原假设。所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显著性水平，则认为原假设不太可能成立；拒绝原假设不拒绝原假设总体均值的检验(z检验)

(P值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“NORMSDIST”，然后确定第3步：将z的绝对值2.29录入，得到的函数值为

0.989

P值=2(1-0.989)=0.022

P值远远小于

=0.05，故拒绝H0第二节总体参数检验一个总体参数的检验z检验(单尾和双尾)

t检验(单尾和双尾)z

检验(单尾和双尾)

2检验(单尾和双尾)均值一个总体比率方差一单个总体均值的假设检验总体均值的检验

(作出判断)

是否已知小样本容量n大

是否已知否

t检验否z检验是z检验

是z检验总体均值的检验

(大样本)总体均值的检验

(大样本)1. 假定条件正态总体或非正态总体大样本(n

30)使用z检验统计量

2

已知：

2

未知：总体均值的检验(

2

已知)

(例题分析)【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平

=0.05

，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？双侧检验绿色健康饮品绿色健康饮品255255总体均值的检验(

2

已知)

(例题分析)H0

：

=255H1

：

255

=

0.05n=

40临界值(c):检验统计量:z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025决策:结论:不拒绝H0样本提供的证据表明：该天生产的饮料符合标准要求

总体均值的检验(z检验)

(P值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“NORMSDIST”，然后确定第3步：将z的绝对值1.01录入，得到的函数值为

0.843752345

P值=2(1-0.843752345)=0.312495

P值远远大于

=0.05，故不拒绝H0总体均值的检验(

2

未知)

(例题分析)【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？

(

=0.01)

左侧检验50个零件尺寸的误差数据(mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86总体均值的检验(

2

未知)

(例题分析)H0

：

1.35H1

：

<1.35

=0.01n=

50临界值(c):检验统计量:

拒绝H0新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比有显著降低决策:结论:-2.33z0拒绝H00.01总体均值的检验(z检验)

(P值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“ZTEST”，然后确定第3步：在所出现的对话框Array框中，输入原始数据所在区域；在X后输入参数的某一假定值(这里为1.35)；在

Sigma后输入已知的总体标准差(若未总体标准差未知则可忽略不填，系统将自动使用样本标准差代替)第4步：用1减去得到的函数值0.995421023

即为P值

P值=1-0.995421023=0.004579

P值<

=0.01，拒绝H0

用Excel计算P值总体均值的检验(z检验)

(P值的图示)0-2.33a=0.01z拒绝H0抽样分布1-

计算出的样本统计量=2.6061P值P=0.004579

总体均值的检验(

2

未知)

(例题分析)【例】某一小麦品种的平均产量为5200kg/hm2

。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试种，得到的样本平均产量为5275kg/hm2，标准差为120/hm2

。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高？(

=0.05)

右侧检验总体均值的检验(

2

未知)

(例题分析)H0

：

5200H1

：

>5200

=0.05n=

36临界值(c):检验统计量:

拒绝H0

(P=0.000088<

=0.05)改良后的新品种产量有显著提高

决策:结论:z0拒绝H00.051.645总体均值的检验(z检验)

(P值的图示)抽样分布P=0.000088

01.645a=0.05拒绝H01-

计算出的样本统计量=3.75P值总体均值的检验

(大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：m=m0H1：

m

m0H0：m

m0H1：m<m0H0：

m

m0

H1：

m>m0统计量

已知：

未知：拒绝域P值决策拒绝H0总体均值的检验

(小样本)总体均值的检验

(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布小样本(n<

30)检验统计量

2

已知：

2

未知：总体均值的检验

(小样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：m=m0H1：

m

m0H0：m

m0H1：

m<m0H0：

m

m0

H1：

m>m0统计量

已知：

未知：拒绝域P值决策拒绝H0注：

已知的拒绝域同大样本解：第一步：确定原假设与备择假设。H0:

=1000，H1:

1000第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量由于总体标准差未知，用样本标准差代替，相应检验统计量是t-统计量。某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克，某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差是24克。试问在α=0.05的显著性水平上，能否认为这天自动包装机工作正常？第三步：确定显著性水平，确定拒绝域

=0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是t0.025(8)=2.306，拒绝域是2.306。第四步：判断。

由于t=-1.75,＜2.306，检验统计量的样本观测值落入接受域，所以不能拒绝。样本数据没有充分证据说明这天的自动包装机工作不正常。z02.306-2.3060.025拒绝H0拒绝H00.025总体均值的检验

(例题分析)【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？10个零件尺寸的长度(cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3总体均值的检验

(例题分析)H0

：

=12H1

：

12

=0.05df

=10-1=9临界值(c):检验统计量:

不拒绝H0该供货商提供的零件符合要求

决策：结论：t02.262-2.2620.025拒绝

H0拒绝H00.025总体均值的检验(t检验)

(P值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“TDIST”，然后确定第3步：在出现对话框的X栏中输入计算出的t的绝对值

0.7035，在Deg-freedom(自由度)栏中输入本例的自由度9，在Tails栏中输入2(表明是双侧检验，如果是单测检验则在该栏输入1)第4步：P值=0.499537958

P值>

=0.05，故不拒绝H0

总体比率的检验适用的数据类型离散数据

连续数据数值型数据数据品质数据总体比率检验假定条件总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)检验的z统计量

0为假设的总体比率总体比率的检验

(检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：

=

0H1：

0H0：

0H1：

<

0H0

：

0

H1：

>

0统计量拒绝域P值决策拒绝H0总体比率的检验

(例题分析)【例】一种以休闲和娱乐为主题的杂志，声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。分别取显著性水平

=0.05和

=0.01

，检验该杂志读者群中女性的比率是否为80%？它们的值各是多少？双侧检验总体比率的检验

(例题分析)H0

：

=80%H1

：

80%

=0.05n

=

200临界值(c):检验统计量:拒绝H0(P=0.013328<

=0.05)该杂志的说法并不属实

决策:结论:z01.96-1.960.025拒绝

H0拒绝

H00.025总体比率的检验

(例题分析)H0

：

=80%H1

：

80%

=0.01n

=

200临界值(c):检验统计量:不拒绝H0

(P=0.013328>

=0.01)该杂志的说法属实

决策:结论:z02.58-2.580.025拒绝H0拒绝H00.0256.3两个总体参数的检验一、两个总体均值之差的检验二、两个总体比率之差的检验三、两个总体方差比的检验两个总体参数的检验两个总体参数的检验z

检验(大样本)t

检验(小样本)t

检验(小样本)z检验F

检验独立样本配对样本均值比率方差两个总体均值之差的检验

(独立大样本)

两个总体均值之差的检验

(独立大样本)1. 假定条件两个样本是独立的随机样本正态总体或非正态总体大样本(n1

30和n2

30)检验统计量

12

，

22

已知：

12

，

22

未知：两个总体均值之差的检验

(大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：m1-m2=0H1：m1-m2

0

H0：m1-m2

0H1：m1-m2<0H0：m1-m2

0

H1：m1-m2>0统计量

12

，

22

已知

12

，

22

未知拒绝域P值决策拒绝H0两个总体均值之差的检验

(例题分析)

【例】某公司对男女职员的平均小时工资进行了调查，独立抽取了具有同类工作经验的男女职员的两个随机样本，并记录下两个样本的均值、方差等资料如右表。在显著性水平为0.05的条件下，能否认为男性职员与女性职员的平均小时工资存在显著差异？

两个样本的有关数据

男性职员女性职员n1=44n1=32

x1=75

x2=70S12=64S22=42.25两个总体均值之差的检验

(例题分析)H0

：

1-

2=0H1

：

1-

2

0

=

0.05n1=44，n2

=

32临界值(c):检验统计量:决策:结论:

拒绝H0该公司男女职员的平均小时工资之间存在显著差异

z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025两个总体均值之差的检验

(独立小样本)

两个总体均值之差的检验

(

12，

22

已知)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布

12，

22已知检验统计量两个总体均值之差的检验

(

12，

22

未知但

12=

22)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布

12、

22未知但相等，即

12=

22检验统计量其中：自由度：两个总体均值之差的检验

(

12，

22

未知且不相等

12

22)假定条件两个总体都是正态分布

12，

22未知且不相等，即

12

22样本容量相等，即n1=n2=n检验统计量自由度：两个总体均值之差的检验

(

12，

22

未知且不相等

12

22)假定条件两个总体都是正态分布

12，

22未知且不相等，即

12

22样本容量不相等，即n1

n2检验统计量自由度：两个总体均值之差的检验

(例题分析)

【例】甲、乙两台机床同时加工某种同类型的零件，已知两台机床加工的零件直径(单位：cm)分别服从正态分布，并且有

12=

22

。为比较两台机床的加工精度有无显著差异，分别独立抽取了甲机床加工的8个零件和乙机床加工的7个零件，通过测量得到如下数据。在

=0.05的显著性水平下，样本数据是否提供证据支持

“两台机床加工的零件直径不一致”的看法？两台机床加工零件的样本数据

(cm)甲20.519.819.720.420.120.019.019.9乙20.719.819.520.820.419.620.2两个总体均值之差的检验

(例题分析)H0

：

1-

2

=0H1

：

1-

2

0

=

0.05n1=8，n2

=

7临界值(c):检验统计量:决策:结论:

不拒绝H0没有理由认为甲、乙两台机床加工的零件直径有显著差异

t02.160-2.1600.025拒绝H0拒绝H00.025两个总体均值之差的检验

(用Excel进行检验)第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项第3步：在“数据分析”对话框中选择

“t-检验：双样本等方差

假设”第4步：当对话框出现后在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差在“

”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05)

在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确定”

用Excel进行检验两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】为检验两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间(分钟)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，但方差未知且不相等。取显著性水平0.05，能否认为方法1组装产品的平均数量明显地高于方法2？两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521两个总体均值之差的检验

(用Excel进行检验)第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项第3步：在“数据分析”对话框中选择

“t-检验：双样本异方差

假设”

第4步：当对话框出现后在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差在“

”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05)

在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确定”

用Excel进行检验两个总体均值之差的检验

(匹配样本)

两个总体均值之差的检验

(匹配样本)假定条件两个总体配对差值构成的总体服从正态分布配对差是由差值总体中随机抽取的

数据配对或匹配(重复测量(前/后))检验统计量样本差值均值样本差值标准差匹配样本

(数据形式)

观察序号样本1样本2差值1x11x21d1=x11-x212x12x22d2=x12-x22MMMMix1ix2idi

=x1i

-x2iMMMMnx1nx2ndn

=x1n-x2n两个总体均值之差的检验

(匹配样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：d=0H1：d

0H0：d

0H1：d<0H0：d

0

H1：d>0统计量拒绝域P值决策拒绝H0两个总体均值之差的检验

(例题分析)

【例】某饮料公司开发研制出一新产品，为比较消费者对新老产品口感的满意程度，该公司随机抽选一组消费者(8人)，每个消费者先品尝一种饮料，然后再品尝另一种饮料，两种饮料的品尝顺序是随机的，而后每个消费者要对两种饮料分别进行评分(0分～10分)，评分结果如下表。取显著性水平

=0.05，该公司是否有证据认为消费者对两种饮料的评分存在显著差异？两种饮料平均等级的样本数据新饮料54735856旧饮料66743976两个总体均值之差的检验

(用Excel进行检验)第1步：选择“工具”下拉菜单，并选择“数据分析”选项第2步：在分析工具中选择“t检验：平均值的成对二样本分析”第3步：当出现对话框后

在“变量1的区域”方框内键入数据区域

在“变量2的区域”方框内键入数据区域

在“假设平均差”方框内键入假设的差值(这里为0)

在“

”框内键入给定的显著性水平

用Excel进行检验两个总体比率之差的检验1. 假定条件两个总体都服从二项分布可以用正态分布来近似检验统计量检验H0：

1-

2=0检验H0：

1-

2=d0两个总体比率之差的检验两个总体比率之差的检验

(检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：

1-

2=0H1：

1-

2

0H0

：

1-

2

0

H1：

1-

2<0

H0：

1-

2

0

H1：

1-

2>0

统计量拒绝域P值决策拒绝H0两个总体比率之差的检验

(例题分析)

【例】一所大学准备采取一项学生在宿舍上网收费的措施，为了解男女学生对这一措施的看法是否存在差异，分别抽取了200名男学生和200名女学生进行调查，其中的一个问题是：“你是否赞成采取上网收费的措施？”其中男学生表示赞成的比率为27%，女学生表示赞成的比率为35%。调查者认为，男学生中表示赞成的比率显著低于女学生。取显著性水平

=0.01，样本提供的证据是否支持调查者的看法？21netnet两个总体比率之差的检验

(例题分析)H0

：

1-

2

0H1

：

1-

2<0

=

0.05n1=200,

n2=200临界值(c):检验统计量:决策:结论:

拒绝H0(P=0.041837<

=0.05)样本提供的证据支持调查者的看法

-1.645Z0拒绝域

两个总体比率之差的检验

(例题分析)

【例】有两种方法生产同一种产品，方法1的生产成本较高而次品率较低，方法2的生产成本较低而次品率则较高。管理人员在选择生产方法时，决定对两种方法的次品率进行比较，如方法1比方法2的次品率低8%以上，则决定采用方法1，否则就采用方法2。管理人员从方法1生产的产品中随机抽取300个，发现有33个次品，从方法2生产的产品中也随机抽取300个，发现有84个次品。用显著性水平

=0.01进行检验，说明管理人员应决定采用哪种方法进行生产？两个总体比率之差的检验

(例题分析)H0

：

1-

2

8%H1

：

1-

2<8%

=

0.01n1=300,n2=300临界值(c):检验统计量:决策:结论:

拒绝H0(P=1.22E-15<

=0.05)方法1的次品率显著低于方法2达8%，应采用方法1进行生产-2.33Z0拒绝域

两个总体方差比的检验两个总体方差比的检验

(F

检验)假定条件两个总体都服从正态分布，且方差相等两个独立的随机样本检验统计量两个总体方差比的F

检验

(临界值)FF1-

F

拒绝H0方差比F检验示意图拒绝H0两个总体方差比的检验

(检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：

12/

22=1H1：

12/

22

1H0：

12/

22

1H1：

12/

22<1

H0：

12/

22

1

H1：

12/

22>1

统计量拒绝域两个总体方差比的检验

(例题分析)【例】一家房地产开发公司准备购进一批灯泡，公司打算在两个供货商之间选择一家购买。这两家供货商生产的灯泡平均使用寿命差别不大，价格也很相近，考虑的主要因素就是灯泡使用寿命的方差大小。如果方差相同，就选择距离较近的一家供货商进货。为此，公司管理人员对两家供货商提供的样品进行了检测，得到的数据如右表。检验两家供货商灯泡使用寿命的方差是否有显著差异

(

=0.05)两家供货商灯泡使用寿命数据样本1650569622630596637628706617624563580711480688723651569709632样本2568540596555496646607562589636529584681539617两个总体方差比的检验

(用Excel进行检验)第1步：选择“工具”下拉菜单，并选择“数据分析”选项第2步：在分析工具中选择“F检验－双样本方差”第3步：当出现对话框后

在“变量1的区域”方框内键入数据区域

在“变量2的区域”方框内键入数据区域在“

”框内键入给定的显著性水平选择输出区域选择“确定”

用Excel进行检验第三节单因子方差分析一问题的提出二方差分析的检验统计量

三关于方差分析的两点说明一、问题的提出已知在一组给定的条件下饲养小鸡所增加的体重服从正态分布。某养鸡场欲检验四种饲料配方对小鸡增重的影响是否不相同（假定已经经过检验表明不同饲料配方下的小鸡增重方差相等）。为此，他们对四组初始条件完全相同的小鸡，在完全相同的其他饲养条件下，分别使用四种不同的饲料配方进行喂养。所得到的增重数据如表表

四种不同饲料配方下小鸡的增重情况饲料配方i小鸡序号j38周后小鸡个体增重

(克)yij123456yi.配方13704204504901730配方24903804003905004102570配方33303404003804701920配方44104804004203804102500y.j160016201650168013508208720对于类似本例的问题，一般地，把随机变量分组的数目记作m，我们可建立下列假设：二、方差分析的检验统计量开展方差分析需要先建立样本数据的方差分析恒等式SST

=SSA

+SSE式中，总变差平方和组间变差平方和组内变差平方和以上三式中的样本平均数定义为：总样本平均数各组样本平均数

ni是各组样本观测值的个数，n为所有样本观测值的个数，m是分组数目。可以证明，在原假设成立的条件下，下面的检验统计量服从分子自由度为m

1，分母自由度为n

m的F分布。即上式的分子MSR为组间方差，MSE为组内方差。F值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主要部分，有利于拒绝原假设接受备选假设；反之，F值越小，越说明随机方差是主要的方差来源，有利于接受原假设。因此，检验规则为：根据提出的显著性水平

，把拒绝域放在分子自由度为m

1，分母自由度为n

m的F分布的右侧，当P-值小于

，或是检验统计量的样本值大于临界值（落在拒绝域）时拒绝原假设。利用上表中的数据进行单因子方差分析（显著水平为

=0.05）。解：（1）建立假设

H0:

1=

2=

3=

4

H1:

1,

2,

3,

4

不完全相同（2）计算离差平方和（3）构造统计量并计算检验统计量的样本值（4）确定检验规则，做出检验结论

P-值规则：根据算得的检验统计量的样本值（F值）算出P-值=0.411573（见表6-4）。由于P-值=0.411573>显著水平标准

=0.05，所以不能拒绝H0，即没有得到足以表明四种配方的饲料下小鸡增重水平有差异的显著证据。 临界值规则：根据给定的显著水平

=0.05

，查表得临界值为F0.05(3,17)=3.20。因F=1.06<3.20，检验统计量的样本值落入接受域，所以不能拒绝H0，即没有得到足以表明四种配方的饲料下小鸡增重水平有差异的显著证据。表

方差分析表变异来源离差平方和自由度均方差F值P-值临界值组间7112.14332370.7141.012320.4115733.196774组内39811.67172341.863总计46923.8120三、关于方差分析的两点说明（一）方差分析中变量的类型方差分析中的因变量是数量型变量。自变量可以是品质型变量，也可以是数量型变量。当自变量是数量型变量的时候，也要对其作统计分组设计，也就是将它按品质型变量来处理。（二）总体的正态性和同方差方差分析适用于多个正态总体Yi(i=1，2，…，m)均值的比较，且要求它们具有相同的方差。不过在实际应用中，即使对于正态性和同方差性都存在很大背离的数据，方差分析仍不失为一种提供有用的近似信息的技术。行业4个企业受到投诉次数均值电信34544电力24333铁路46555SUMMARY组观测数求和平均方差电信41640.666667电力41230.666667铁路42050.666667方差分析差异源SSdfMSFP-valueFcrit组间82460.0220854.256495组内690.666667总计1411

方差分析：单因素方差分析第五节双因子方差分析一问题的提出二有交互作用的双因子方差分析一、问题的提出方差分析中的“因子”，也称因素。它是一个独立的变量（自变量）。在上一节的例子中，我们要分析饲料是否为影响增重产生差异的原因，所以饲料是因子。该例中所考察的因子只有“饲料”一个，而其他因子如鸡的品种，饲养条件等保持不变，我们称这种方差分析为单因子方差分析。如果要同时考察饲料和鸡的品种两个因子对小鸡的增重是否有影响，则称之为双因子方差分析。

表6-5二因子有重复观测数据表B因子的各种处理Bj

B1B2…BcA因子的各种处理AiA1y111y121…y1c1………y11n11y12n12…y1cn1c…………Aryr11yr21…yrc1………yr1nrlyr2nr2…yrcnrc在这里要注意，不能把A的r个处理和B的c个处理看成“随机样本”。现在的rc个处理是rc个总体，即Ai和Bj的每一种搭配形成的组格都是一个总体（随机变量Yij）。对一个组格总体的nij个观测yij1,yij2,…,yijnij

才是随机样本。我们把Ai与Bj的搭配所形成的组格总体即随机变量Yij的期望值记作

ij，于是可以写出与表6-5（样本）相应的总体期望值表如表6-6。表6-6组格总体期望值表B因子的各种处理Bj

平均B1B2…BcA因子的各种处理AiA1

11

12…

1c

1.A2

21

22…

2c

2.……………Ar

r1

r2…

rc

r.平均

.1

.2…

.c

..一般的双因子方差分析的任务是：检查因子A对变量Y是否显著地有影响；也就是要检查因子A的各种处理对Y的作用是否显著地有差别；或者说，也就是要检查各个

i.是否显著地不相等。检查因子B对的变量Y是否显著地有影响；也就是要检查因子B的各种处理对Y的作用是否显著地有差别；或者说，也就是要检查各个

.j是否显著地不相等。检查因子A和因子B的交互作用对变量Y是否显著地有影响；也就是要检查因子A的r种处理与因子B的c种处理的各种搭配下的交互作用对Y的作用是否显著地有差别。如果事先已经得知因子A

和因子B相互独立并无交互作用。则不必对此项进行检验。此时的方差分析称为无交互作用的双因子方差分析。相应地可以建立以下三个原假设： 备择假设是上述原假设所列全相等的各项“不全相等”。二、有交互作用的双因子方差

分析样本数据的方差分析恒等式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE

式中，SST是总离差平方和，SSA是A因子处理间的离差平方和，SSB是B因子处理间的离差平方和，SSAB是AB交互作用处理间的离差平方和，SSE是组格内离差平方和。以上式中的各种样本平均数定义为：总样本平均数组格样本平均数A因子各组处理样本平均数B因子各组处理样本平均数式中，r是A因子处理的种类，c是B因子处理的种类,nij

是第ij个组格总体所包含的样本观测值个数。将各种总离差平方和分别除以各自的自由度，可得到相应于各离差平方和来源的方差。即分别针对前面给出的三个原假设可建立下列检验统计量（1）针对H01：（2）针对H02：（3）针对H03：为了分析光照因素A与噪音因素B对工人生产有无影响，光照效应与噪音效应有交互作用，在此两因素不同的水平组合下做试验，结果如表6-7（表中数据为产量，单位：件）表8-7因素BB1B2B3因素AA1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182020151617171717解：设定以下三对假设：H01：光照因素A对产量没有显著影响；H11

：光照因素A对产量有显著影响。H02

：噪音因素B对产量没有显著影响；H12

：噪音因素B对产量有显著影响。H03

：光照效应与噪音效应没有交互作用；H13

：光照效应与噪音效应有交互作用。将表8-7的数据输入Excel，进行“有重复双因素分析”。Excel输出的方差分析表如下：表8-8

方差分析表

差异源SS离差平方和Df自由度MS方差FF统计量P-valueP-值Fcrit临界值(B因素)28.388889214.19449.462960.000933.40283(A因素)2.083333330.694440.462960.710773.00879交互63.833333610.63897.092590.00022.50819内部36241.5总计130.3055635从上表可知：FA=0.46296<F0.05(3,24)=3.00879，接受H01

，没有充分证据说明光照对产量有显著影响；FB=9.46296>F0.05(2,24)=3.40283，拒绝H02

，有充分证据说明噪音对产量有显著影响；FAB=7.09259>F0.05(6,24)=2.50819，拒绝H03，有充分证据说明光照与噪音存在交互作用并由此对产量产生显著影响。灯丝灯泡使用寿命水平11600161016501