8.6.2+直线与平面垂直第2课时课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直教学目标

了解直线与平面垂直的定义（重点）01

理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直（难点）02能

理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.（重点、难点）03

能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明（重点）04学科素养

直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理数学抽象

直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理直观想象

用判定定理判断直线与平面垂直逻辑推理

直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题数学运算

数据分析

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge直线与平面垂直的相关定义：

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示.垂足垂面垂线点到平面的距离：

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

如图，PP′⊥平面α，P′为垂足，线段PP′的长度即为点P到平面α的距离.直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号语言：五个条件缺一不可图形语言：lmαnP

定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化.02知识精讲

ExquisiteKnowledge

如图8.6-14，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．平面的斜线斜足斜线在平面上的射影斜线与平面所成的角

如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？

平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小．

PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．直线与平面所成的角的取值范围

：

一条平面的斜线与所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°；

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．综上，直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．【例4】在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'DCB'的所成的角．

求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足

和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为

斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（

）

A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短；B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段

（1）垂线段和斜线段中，垂线段最短；

（2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等；

（3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等．ABCD【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，则点O为△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的

点；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为△ABC的

心．【练习】正四面体的侧棱与底面所成的角的正弦值为：

.下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论．根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系．但由定义，a与α内的所有直线都垂直．所以可以探究a，α与其他直线或平面的关系．我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢?

（1）如图8.6-16，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系?

（2）如图8.6-17，已知直线a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗?图8.6-16bαa图8.6-17垂直于同一个平面的两条直线平行．互相平行平行证明：假设a与b不平行，记b∩α＝O．

过O作直线b′∥a，则b与b′是交于点O的两条不同的直线．

记b与b′确定的平面为β．

设α∩β＝c，则有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

这与“平面β内，过一点O有且仅有一条直线与c垂直”相矛盾．

β直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．【练习】判断下列结论()()()()()√√√√√【例5】如图，直线

l//α．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．证明：过直线l上任意两点A，B，分别作平面α的垂线AA1，BB1，由直线和平面垂直的性质定理可知AA1∥BB1．设AA1和BB1确定的平面为β，易知α∩β＝A1B1．∵l∥α，

∴l∥A1B1．∴四边形AA1B1B为矩形．∴AA1＝BB1．垂足分别为A1，B1．因为直线A，B为直线l任意的两点，所以直线l上各点到平面α的距离相等．【练习】在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，求点B到平面ACD'的距离．03拓展提升ExpansionAndPromotion已知：平面α的一条斜线l在平面α上的射影为l′，a⊂α求证：（1）若a⊥l′，则a⊥l；

（2）若a⊥l，则a⊥l′．04归纳总结SumUp

如图8.6-14，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．平面的斜线垂足斜线在平面上的射影斜线与平面所成的角

求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足

和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为

斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（

）

A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短；B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段

（1）垂线段和斜线段中，垂线段最短；

（2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等；