数列全套教案

数列的概念一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数

从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.

注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.二、数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法

若数列的每一项

an

与项数

n

之间的函数关系可以用一个公式来表达,即

an=f(n),则

an=f(n)

叫做数列的通项公式.4.递推公式法

如果已知数列的第一项(或前几项),

且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,

这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按

an

的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按

|an|

是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前

n

项和Sn=a1+a2+…+an=

ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).五、数列的单调性

设

D

是由连续的正整数构成的集合,

若对于

D

中的每一个n

都有

an+1>an(或

an+1<an),则称数列

{an}

在

D

内单调递增(或单调递减).方法：作差、作商、函数求导.六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1

…

.

anan-1a2a1a3a2典型例题

1.若数列

{an}

满足

a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则当

n≥2

时,{an}

的通项

an=

.

2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列

{an}

是等和数列,且

a1=2,公和为

5,那么

a18的值为

,这个数列的前

n

项和

Sn

的计算公式为

.3.设数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,Sn=(对于所有n≥1),且

a4=54,则

a1的数值为

.a1(3n-1)24.在数列

{an}

中,a1=,

an+1-an=,求数列

{an}

的通项公式.124n2-11n!2an=324n-24n-3an=n

为奇数时,Sn=

n-

;n

为偶数时,Sn=

n.1252525.已知数列

{an}

的前

n

项和

Sn

满足:log2(1+Sn)=n+1,求数列

{an}

的通项公式.6.设数列

{an}

的前

n

项和

Sn=2an-1(n=1,2,3,…);数列

{bn}

满足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,…).求数列

{an}、{bn}

的通项公式.3,n=1,2n,

n≥2.an=an=2n-1bn=2n-1+27.设数列

{an}

的前

n

项和

Sn=3n2-65n,求数列

{|an|}

的前

n

项和

Tn.-3n2+65n,n≤11,3n2-65n+704,

n≥12.Tn=8.已知数列

{an}

的通项

an=(n+1)()

,

问是否存在正整数

M,使得对任意正整数

n

都有

an≤aM

?n109∴当

n<8

时,an+1>an,{an}

单调递增；当

n>8

时,an+1<an,{an}

单调递减.而

a8=a9,即

a1<a2<…<a8=a9>a10>a11>…,∴

a8与

a9是数列

{an}

的最大项.故存在

M=8

或

9,使得

an≤aM

对

n∈N+

恒成立.解:∵

an+1-an=(n+2)(

)n+1-(n+1)(

)n119119=(

)n

.119108-n

9.求使得不等式+++…+

>2a-5

对

n∈N*恒成立的正整数

a

的最大值.13n+11n+11n+21n+3解:记

f(n)=+++…+,考察

f(n)

的单调性.13n+11n+11n+21n+3∴

f(n+1)>f(n),∵

f(n+1)-f(n)=+

+-

13n+213n+313n+41n+1=+-13n+213n+423n+3=>0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)

[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握求数列单调性的程序.∴当

n=1

时,f(n)

有最小值

f(1)=++=.1213141213要使题中不等式对

n∈N*恒成立,只须2a-5<.1213∴正整数

a

的最大值是3.解得a<.2473课后练习1.根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)

5,55,555,….an=(-1)n

2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n

个59n

个59(3)

-1,7,-13,19,…;(4)

7,77,777,7777,…;(5),,

,

,

,…;236389910154356(6)

5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n

(2n-1)(2n+1)an=5sin2

n

2.已知下面各数列

{an}

的前

n

项和

Sn

的公式,求

{an}

的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解:(1)当

n=1

时,a1=S1=-1;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=4n-5,故

an=4n-5(n

N*).(2)当

n=1

时,a1=S1=5;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=6n-2,故

an=5,

n=1,6n-2,n≥2.

(3)当

n=1

时,a1=S1=1;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=2

3n-1,故

an=1,

n=1,2∙3n-1,n≥2.

3.已知数列

{an}

满足

a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求

a2,

a3;(2)证明:an=.3n-12(1)解:

∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故

a2,

a3的值分别为

4,13.(2)证:

∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1

3n-12故

an=.3n-123n-13-13-1==.4.设函数

f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列

{an}

满足

f(2an)=2n,n=1,2,3,….(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)判断数列

{an}

的单调性.解:(1)由已知log22an-=2n,log22an1∴an-=2n,1an即

an2-2nan-1=0.解得

an=n

n2+1.故

an=n-

n2+1(n

N*).∵0<x<1,即

0<2an<1,∴an<0.(2)∵=an+1an

(n+1)-(n+1)2+1n-

n2+1(n+1)+(n+1)2+1n+

n2+1=<1.而an<0(n

N*),∴an+1>an.故数列

{an}

是递增数列.5.已知数列

{an}

的通项

an=(n+1)()n(n

N*),试问该数列{an}

有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.1110∴当

n<9

时,an+1-an>0,即

an+1>an;当

n>9

时,an+1-an<0,即

an+1<an.∴数列

{an}

有最大项,其项数为

9

或

10,其值为解:∵

an+1-an=(n+2)(

)n+1-(n+1)(

)n

11101110=(

)n∙

.1110119-n

当

n=9

时,an+1-an=0,即

a10=a9;10∙(

)9.1110解法二:由

an≥an+1an≥an-1(n+1)(

)n≥n(

)n-111101110(n+1)(

)n≥(n+2)(

)n+111101110(n+1)(

)≥n

1110n+1≥(n+2)(

)1110

9≤n≤10.∴数列

{an}

有最大项,其项数为

9

或

10,其值为10∙(

)9.1110a11a12a13…

a1n

a21a22a23…

a2n

…

…

…

an1an2an3…

ann

6.已知

n2个

(n≥4)

正数排成

n

行

n

列方阵,

其中每一行的数都成等差数列,每一列的数都成等比数列,并且所有公比都等于

q.

若

a11=,a24=1,a32=,(1)求公比

q

的值;1214(2)求

a1k

(1≤k≤n)

的值;(3)记第

k

行各项和为

Ak,求

A1及

{Ak}

(1≤k≤n)

的通项公式.解:(1)依题意可设第一行公差为

d,各列公比为

q(q>0),则有:a24=a14q=(a11+3d)q,a32=a12q2=(a11+d)q2,12(+3d)q=1,(+d)q2=,1214即:

解得:

q=d=.1212故公比

q

的值为.1212(2)a1k=a11+(k-1)d=

+(k-1)

=.k2n212(3)A1=a11+a12+a13+…+a1n=

(+)=.n2n(n+1)4Ak=ak1+ak2+ak3+…+akn=qk-1A1=()k-1∙

=.12n(n+1)4n(n+1)2k+17.已知数列

{2n-1∙an}

的前

n

项和

Sn=9-6n.(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)设

bn=n(3-log2),求数列

{}

的前

n

项和.|an|3bn1解:(1)当

n=1

时,20

a1=S1=9-6=3,∴a1=3;当

n≥2

时,2n-1

an=Sn-Sn-1=-6,故

an=-

,n≥2.3,n=1,2n-23∴

an=-

.2n-23(2)当

n=1

时,b1=3-log21=3,∴=;b1113当

n≥2

时,bn=n(3-log2)=n(n+1),3

2n-23bn1∴=

-.n1n+1156=

-

.n+11∴++…+

=+(

-)+…+(-)b11b21bn113n11213n+118.已知数列

{an},{bn}

满足

a1=1,a2=a(a为常数),且

bn=anan+1,其中,

n=1,2,3,….

(1)若

{an}

是等比数列,

试求数列

{bn}

的前

n

项和

Sn

的公式.解:∵{an}

是等比数列,a1=1,a2=a,∴a

0,an=an-1.又

bn=anan+1,∴b1=a1a2=a,且有:bn+1bn

anan+1an+1an+2===a2.an+2an

∴{bn}

是以

a

为首项,a2为公比的等比数列.当

a=1

时,Sn=1+1+…+1=n;当

a=-1

时,Sn=-1-1-…-1=-n;当

a

1

时,Sn=

.1-a2a(1-a2n)1-a2a(1-a2n)故

Sn=n,

a=1,-n,

a=-1,,a

1.(2)当

{bn}

是等比数列时,

甲同学说:{an}

一定是等比数列,乙同学说:{an}

一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确?为什么?解:

甲,乙两个同学的说法均不正确,理由如下:设

{bn}

的公比为

q,则:bn+1bn

anan+1an+1an+2===q,且

a

0.an+2an

又∵a1=1,a2=a,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,

…

是以

1

为首项,

q

为公比的等比数列.a2,a4,a6,…,a2n,

…

是以

a

为首项,

q

为公比的等比数列.即

{an}

为:1,a,q,aq,q2,aq2,….当

q=a2时,{an}

是等比数列,当

q

a2时,{an}

不是等比数列.法二:

举例说明

{an}

可能是等比数列,也可能不是:设

{bn}

的公比为

q,取

a=q=1,

则:an=1(n

N*).此时bn=1,{an}

与

{bn}

都是等比数列;取

a=2,q=1,则:an=,bn=2.1(n为奇数)2(n为偶数)此时

{bn}

是等比数列,而{an}不是等比数列.等差数列一、概念与公式1.定义

若数列

{an}

满足:an+1-an=d(常数),则称

{an}

为等差数列.2.通项公式3.前n项和公式二、等差数列的性质1.首尾项性质:有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,即:特别地,若项数为奇数,还等于中间项的两倍,即:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.Sn=na1+=.n(a1+an)2n(n-1)d

2特别地,若

m+n=2p,则

am+an=2ap

.2.若

p+q=r+s(p、q、r、s

N*),则

ap+aq=ar+as

.3.等差中项

如果在两个数

a、b

中间插入一个数

A,使

a、A、b

成等差差数列,则

A

叫做

a

与

b

的等差中项.4.顺次

n

项和性质5.已知

{an}

是公差为

d

的等差数列a+bA=.2(1)若

n

为奇数,则

Sn=na中且

S奇-S偶=a中,=.S奇S偶n+1

n-1

(2)若

n

为偶数,则

S偶-

S奇=

.nd2

若

{an}

是公差为

d

的等差数列,则

ak,ak,ak也成等差数列,且公差为

n2d.k=2n+13nk=1nk=n+12n6.若

{an},{bn}

均为等差数列,则

{man},{man

kbn}

也为等差数列,

其中

m,k

均为常数.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等差中项法.四、Sn的最值问题二次函数注:三个数成等差数列,可设为

a-d,a,a+d(或

a,a+d,a+2d)四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.7.若等差数列

{an}

的前

2n-1

项和为

S2n-1,等差数列

{bn}

的前

2n-1

项和为

T2n-1,则=.S2n-1T2n-1anbn1.若

a1>0,d<0

时,满足an≥0,an+1≤0.2.若

a1<0,d>0

时,满足an≤0,an+1≥0.典型例题解:

不妨设

Q>P,则SQ-SP=aP+1+…+aQ

=-

.P+Q

PQ

aP+1+aQ2则

SP+Q==(P+Q)(a1+aP+Q)2(P+Q)(aP+1+aQ)2(P+Q)2

PQ

=-.1.已知,,成等差数列,求证:,,成等差数列.b1a1c1c

a+b

b

c+a

a

b+c

2.等差数列的前

n

项和为

Sn,

若

SP=,SQ=(P

Q),求

SP+Q(用

P,Q

表示).QPPQ3.等差数列的前

n

项和为

Sn,若

Sm=Sk(m≠k),求

Sm+k.4.等差数列

{an}

的首项

a1>0,前

n

项和为

Sn,若

Sm=Sk,m≠k,问

n

为何值时

Sn

最大.0n=(m+k为偶数时);或(m+k

为奇数时).m+k2m+k+12m+k-12

5.在等差数列

{an}

中,已知

a1=20,前

n

项和为

Sn,且

S10=S15.(1)求前

n

项和

Sn;

(2)当

n

为何值时,

Sn

有最大值,

并求它的最大值.(1)Sn=-

(n2-25n);56(2)当且仅当

n=12

或

13

时,Sn

有最大值,最大值为130.

6.已知等差数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,且

a2=1,S11=33.(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)设

bn=(),且数列

{bn}的前

n

项和为

Tn,

求证:数列

{bn}

是等比数列,并求

Tn.

an12(1)an=n;12(2)Tn=(

2

+1)(1-2-).n27.已知函数f(t)

对任意实数

x,y

都有:f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.(1)若

t

为正整数,试求f(t)

的表达式;(2)满足f(t)=t

的所有整数

t

能否构成等差数列?

若能构成等差数列,求出此数列;

若不能构成等差数列,请说明理由;(3)若

t

为自然数,且

t

≥4,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m

恒成立,求

m

的最大值.(1)f(t)=t3+3t2-3

(t

N*);

(3)f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m

f(t)-t≥m(t2+4t+3)

m≤t-1.

所求数列为:-3,-1,1或

1,-1,-3;

(2)f(t)=t3+3t2-3

(t

Z),

f(t)=t

t=-3,-1,1,

故

m

的最大值是

3.

8.已知函数f(x)=px2+qx,其中,p>0,p+q>1.对于数列

{an},设它的前项和为

Sn,且

Sn=f(n)(n

N*).(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)证明:an+1>an>1;(3)证明:点

M1(1,

),M2(2,),

M3(3,

),…,Mn(n,)都在同一直线上.1S12S23S3nSn(1)an=(2n-1)p+q

(n

N*);

(2)an+1-an=2p>0,∴an+1>an>a1=p+q=1;

(3)只要证其中任意一点Mr(r,

)(r>1,r

N*)与点M1(1,

)1S1rSr连线的斜率为定值(p)即可.

1.已知

{an}

是等差数列.(1)前

4

项和为

21,末

4

项和为

67,且各项和为

286.求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求

S3n;(3)项数为奇数,奇数项和为

44,偶数项和为

33,求数列的中间项和项数.解:(1)设数列的项数为

n,依题意得:∴4(a1+an)=21+67=88.∴a1+an=22.∴由

n(a1+an)=2Sn=2

286

得:(2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n

成等差数列,∴S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.n=26.故所求数列的项数为

26.∴S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.(3)依题意S奇+S偶=Sn,S奇-S偶=a中,Sn=na中.Sn=77,

a中=11,Sn=na中.解得:a中=11,n=7.课后练习题

2.等差数列

{an},

{bn}

中,前

n

项和分别为

Sn,Sn

,且

=

,求.SnSn

7n+2n+4a5b5解:∵{an},{bn}

是等差数列,∴它们的前

n

项和是关于

n

的二次函数,且常数项为

0,∴a5=S5-S4=65k,b5=S5

-S4

=13k.a5b5∴==5.65k13kS9S9

79+29+4a5b5或======5.a1+a92b1+b92a1+a92b1+b92

9

91365∴可设

Sn=kn(7n+2),Sn

=kn(n+4),3.设

{an}

是一个公差为

d(d

0)

的等差数列,它的前

10

项和

S10=110,且

a1,a2,a4成等比数列.(1)证明:a1=d;(2)求公差

d

的值和数列

{an}

的通项公式.(1)证:

∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1a4.

而

{an}

是等差数列,有

a2=a1+d,a4=a1+3d.

∴(a1+d)2=a1(a1+3d),

整理得d2=a1d.

∵d

0,

∴a1=d.

(2)解:

∵S10=110,而

S10=10a1+45d,

∴10a1+45d=110,

又由(1)知

a1=d,代入上式得:11a1=22.即

2a1+9d=22.

∴a1=2.

∴an=2+(n-1)

2=2n.

∴d=a1=2.

∴公差

d

的值为

2,数列

{an}

的通项公式为

an=2n.

4.已知数列

{an}

满足

a1=4,an=4-

(n≥2),令

bn=

.(1)求证:数列

{bn}

是等差数列;(2)求数列

{an}

的通项公式.

an-14

an-21(1)证:

由已知

an+1-2=2-=.

4an

2(an-2)an

an+1-21∴==+.2(an-2)anan-2112∴-

=.an+1-21an-2112即

bn+1-bn=.12故数列

{bn}

是等差数列.(2)解:

∵{}

是等差数列,an-21∴

=+(n-1)

=

.a1-21an-21n212∴数列

{an}

的通项公式为

an=2+

.

2n∴an=2+.2n

5.数列

{an}

的前

n

项和为

Sn=npan(n

N*),且

a1

a2,(1)求常数

p

的值;

(2)证明数列

{an}

是等差数列.(1)解:

当

n=1

时,a1=pa1,若

p=1,则当

n=2

时有

a1+a2=2pa2=2a2.∴a1=a2与

a1

a2矛盾.∴p

1.

∴a1=0.

∴由

a1+a2=2pa2知:(2p-1)a2=a1=0.∵a2

a1,

∴a2

0,

∴p=.

12(2)证:

由已知

Sn=nan,a1=0.

12当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,1212∴=.

an-1ann-1n-2则=,…,=.an-2an-1n-2n-3a2a321∴=n-1.a2an

∴an=(n-1)a2.

∴an-an-1=a2.

故数列

{an}

是以

a1为首项,a2为公差的等差数列.

6.已知数列

{an},anN*,

Sn=(an+2)2,(1)求证:

{an}

是等差数列;(2)若

bn=an-30,求数列

{bn}

的前

n

项和的最小值.1218(1)证:

由

an+1=Sn+1-Sn

得:8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.(2)解:

由已知8a1=8S1=(a1+2)2

a1=2,故由(1)知

an=4n-2.∴(an+1-2)2-(an+2)2=0.∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0.∵anN*,∴an+1+an0.

∴an+1-an-4=0

即

an+1-an=4.∴{an}

是等差数列.

∴bn=2n-1-30=2n-31.解

2n-31<0

且

2(n+1)-31≥0

得:≤n<.231229∵nN*,∴n=15.

∴{bn}

的前

15

项为负数,其前

15

项和

T15最小.

∵b1=-29,公差

d=2,故所求前

n

项和的最小值为

-225.∴T15=15

(-29)+1572=-225.

7.已知等差数列

{an}

的首项是

2,前

10

项之和是

15,记An=a2+a4+a8+…+a2n

(n

N*),求

An

及

An

的最大值.解:

设等差数列

{an}

的公差是

d,由已知:a1=2

且

10a1+45d=15.解得:

a1=2d=-.19∴An=a2+a4+a8+…+a2n=na1+d[1+3+7+…+(2n-1)]

=na1+d(2+22+23+…+2n-n)=2n-

(

-n)192-12n

2-2=

(19n+2-2n+1).19求

An

的最大值有以下解法:法1:由

a1>0,d<0,则有

a1>a2>…>ak≥0>ak+1>….由

ak=2-

(k-1)≥0

得

k≤19.19由

k=2n≤19(n

N*)

得

n≤4.即在数列

{a2n}

中,a21>a22>a23>a24>0>a25>….∴当

n=4

时,An

的值最大,其最大值为:{An}max=

(19

4+2-24+1)=.19946解:

求

An

的最大值有以下解法:法2:若存在

n

N*使得

An≥An+1且

An≥An-1,

则

An

的值最大.=

(19n+2-2n+1),19∵

AnAn≥An+1An≥An-1∴

19n+2-2n+1≥19(n+1)+2-2n+219n+2-2n+1≥19(n-1)+2-2n

解得:9.5≤2n≤19(n

N*)

n=4.故取

n=4

时,An

的值最大,其最大值为:{An}max=

(19

4+2-24+1)=.19946

7.已知等差数列

{an}

的首项是

2,前

10

项之和是

15,记An=a2+a4+a8+…+a2n

(n

N*),求

An

及

An

的最大值.8.设

{an}

为等差数列,Sn为数列

{an}

的前

n

项和.已知

S7=7,S15=75,Tn

为数列

{}

的前

n

项和.求

Tn.Snn解:设等差数列

{an}

的公差为

d,则

Sn=na1+

.n(n-1)d

2∵S7=7,S15=75,解得:a1=-2,d=1.∴

Tn=n2-

n.

94147a1+21d=7,15a1+105d=75,∴a1+3d=1,a1+7d=5,即∴

=a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212∵-

=,Sn+1n+1Snn1212Snn∴数列

{}

是等差数列,其首项为

-2,

公差为.

9.两个数列

{an}

和

{bn}

满足

bn=

,求证:(1)若

{bn}

为等差数列,则数列

{an}

也是等差数列;

(2)

(1)的逆命题也成立.1+2+…+n

a1+2a2+…+nan

证:(1)由已知得

a1+2a2+…+nan=n(n+1)bn.①12∴a1+2a2+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)(n+2)bn+1.②12将

②

式减

①

式化简得:an+1=

(n+2)bn+1-

nbn.1212∴an=

(n+1)bn-

(n-1)bn-1=

(n+1)bn-

(n-1)(2bn-bn+1).12121212∵{bn}

为等差数列,∴bn-1=2bn-bn+1,bn+1-bn

为常数.∴an+1-an=

(n+2)bn+1-

nbn-

(n+1)bn+

(n-1)(2bn-bn+1)12121212=

(bn+1-bn)

为常数.32故数列

{an}

也是等差数列.

证:(2)

(1)的逆命题为:两个数列

{an}

和

{bn}

满足:1+2+…+n

a1+2a2+…+nan

bn=,若

{an}

为等差数列,则数列

{bn}

也是等差数列.证明如下:∵{an}

是等差数列,∴可设

an=an+b(a,b

为常数).

∴nan=an2+bn.

∴a1+2a2+…+nan=a(12+22+…+n2)+b(1+2+…+n).

1+2+…+n

a1+2a2+…+nan

∵bn==an(n+1)(2n+1)+bn(n+1)n(n+1)12121613=a(2n+1)+b.∴

bn+1-bn=

a,为常数.23故数列

{bn}

也是等差数列.10.已知数列

{an}

是等差数列,其前

n

项和为

Sn,a3=7,S4=24.(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)设

p,q

是正整数,且

p

q,证明:a1+2d=7

且

4a1+6d=24.解得:a1=3,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.

Sp+q<(S2p+S2q).12故数列

{an}

的通项公式为

an=2n+1.(2)证:

由

(1)

知

an=2n+1,∴Sn=n2+2n.(1)解:

设等差数列

{an}

的公差为

d,依题意得:∵2Sp+q-(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]-(4p2+4p)-(4q2+4q)

=-2(p-q)2.

又

p

q,

∴2Sp+q-(S2p+S2q)<0.Sp+q<(S2p+S2q).12故等比数列一、概念与公式1.定义2.通项公式3.前

n

项和公式二、等比数列的性质1.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:a1an=a2an-1=a3an-2=…

.若数列

{an}

满足:

=q(常数),则称

{an}

为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m

.na1(q=1);Sn=a1-anq

1-q

=(q≠1).a1(1-qn)1-q

a1an=a2an-1=a3an-2=…=a中2.特别地,若

m+n=2p,则

aman=ap2

.2.若

p+q=r+s(p、q、r、s∈N*),则

apaq=aras

.3.等比中项

如果在两个数

a、b

中间插入一个数

G,使

a、G、b

成等比数列,则

G

叫做

a

与

b

的等比中项.5.顺次

n

项和性质4.若数列

{an}

是等比数列,

m,p,n

成等差数列,则

am,ap,an

成等比数列.

6.若数列

{an},{bn}

是等比数列,则数列

{anbn},{

}

也是等比数列.anbnG=

ab.

若

{an}

是公比为

q

的等比数列,则

ak,ak,ak也成等比数列,且公比为

qn.k=2n+13nk=1nk=n+12n7.单调性8.若数列

{an}

是等差数列,则

{ban}

是等比数列;若数列

{an}

是正项等比数列,则

{logban}

是等差数列.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等比中项法.a1>0,q>1,a1<0,0<q<1,或

{an}

是递增数列;或

a1>0,0<q<1,a1<0,q>1,

{an}

是递减数列;q=1

{an}

是常数列;q<0

{an}

是摆动数列.典型例题1.设数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,若

S1=1,S2=3,且

Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2),试判断

{an}

是不是等比数列.2.设等比数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,若

S3+S6=2S9,求数列的公比

q.3.三个数成等比数列,

若将第三项减去

32,

则成等差数列,再将此等差数列的第二项减去

4,又成等比数列,求原来的三个数.4.已知数列

{an}

的各项均为正数,且前

n

和

Sn

满足:6Sn=an2+3an+2.若

a2,a4,a9成等比数列,求数列的通项公式.a1=1,a2=2,Sn+1-Sn=

2(Sn-Sn-1),an=2n-1,

{an}是等比数列.设三数为a,b,c,得b=2+4a,c=7a+36.2,10,50或,,.933892629an+1-an=3,a1=1,an=3n-2.12-436.已知

{an}

是首项为

a1,

公比为q

的等比数列.

(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数

n

的一个结论,并加以证明;(3)设q≠1,Sn

是

{an}

的前

n

项和,求

S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)a1(1-q)2,a1(1-q)3;(2)a1Cn-a2Cn+a3Cn-a4Cn+

…

+(-1)nan+1Cn=a1(1-q)n(n

N*);0123n(3)-a1q(1-q)n-1.(2)bn=3qn-1.5.数列

{an}

中,a1=1,a2=2.数列

{an

an+1}

是公比为q(q>0)的等比数列.(1)求使

anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n

N*)

成立的

q

的取值范围;(2)若

bn=a2n-1+a2n

(n

N*),求

{bn}

的通项公式.

(1)

0<q<;1+

52∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).证:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,又

an+1=

Sn,n+2n整理得

nSn+1=2(n+1)Sn.n+2n∴Sn+1-Sn=Sn,Sn

nSn+1n+1∴=2

.

7.数列

{an}

的前

n

项和记为

Sn,已知

a1=1,

an+1=

Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列

{}

是等比数列;(2)

Sn+1=4an.n+2nSn

nSn

n∴{}

是以

1

为首项,2

为公比的等比数列.(2)由(1)知

=4(n≥2),Sn+1n+1Sn-1n-1于是

Sn+1=4(n+1)

=4an(n≥2),Sn-1n-1又

a2=3S1=3a1=3,故

S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数

n,都有

Sn+1=4an.(2)证法2:

由(1)知=2n-1.Sn

n∴Sn=n

2n-1

.

∴Sn+1=(n+1)

2n.

∵an=Sn-Sn-1=n

2n-1-(n-1)

2n-2=(n+1)

2n-2

(n≥2).

而

a1=1

也适合上式,

∴an=(n+1)

2n-2

(n

N*).

∴4an=(n+1)

2n=Sn+1.

即

Sn+1=4an.

7.数列

{an}

的前

n

项和记为

Sn,已知

a1=1,

an+1=

Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列

{}

是等比数列;(2)

Sn+1=4an.n+2nSn

n8.数列

{an}

中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设

bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设

cn=,求证:数列

{cn}

是等差数列;(3)求

Sn=a1+a2+…+an.an2n(1)证:

由已知

an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2,∴an+1=4an-4an-1(n≥2).∴bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.∴=2(n≥2).bn-1bn∴{bn}是以

3

为首项,2

为公比的等比数列.

又由

a1=1,a1+a2=S2=4a1+2

得

a2=5,∴b1=a2-2a1=3.∴bn=3

2n-1

.

∴数列

{cn}

是等差数列.∴Sn=4an-1+2=4

(3n-4)

2n-3+2=(3n-4)

2n-1+2.

∴an=2n

cn=(3