高二数学导数及其应用-教学建议

导数及其应用

教材分析导数及其应用教材分析一、教学目标分析与定位二、本章内容解读三、教学建议四、学生理解困难，易混淆问题一、教学目标分析与定位微积分在学科体系和教材中的地位和作用课标要求考试要求（一）微积分在学科体系和教材中的地位和作用

微积分的发展史微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

微积分的发展史微积分是微分和积分两门学问的统称，研究的范畴有三，包括微分、积分，以及微分和积分两者之间的关系。它们两者的关系由“微积分基本定理”（或称“牛顿－莱布尼茨公式”）给出：简单来说，这条定理说明，求积分是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。微积分的发展主要以下三个阶段：

微积分的发展史（1）萌芽阶段作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述。《庄子》-------“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。刘徽------“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。在西方，早在希腊时期，人类已经开始讨论“无穷”、“极限”以及“无穷分割”等概念。德谟克利特（Democritus）----他认为宇宙万物是由极细的原子构成。阿基米德（Archimedes）------用无穷分割的方法正确地计算一些面积。

微积分的发展史（2）发展阶段中世纪以前，处于停滞阶段，中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，在这之中数学取得了很大进步，很多问题亟待解决，主要有四方面的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是炮弹射程问题：求获得最大射程的发射角，求行星离太阳最远最近距离(近日点、远日点)讨论函数的最大最小值。第四类问题是求曲线长、曲线围成的平面图形的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。

微积分的发展史在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。费马（Fermat）提出计算函数的极大值和极小值的步骤。另外，巴罗（Barrow）亦已经懂得透过“微分三角形”（相当于以dx、dy、ds为边的三角形）求出切线的方程。然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。

微积分的发展史牛顿和莱布尼茨迈出了关键的一步,他们站在更高的角度，分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普通的算法――微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基本定理（现今称为牛顿――莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。

微积分的发展史（3）完备阶段牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，运用实数理论、集合论对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚实基础。

微积分的发展史发展史的启示

•微积分的历史,最富有启示意义之处就在于它充分显示了数学是如何取得进步的.•需求→发展→应用→严格化→发展•注重本质，关注应用。

微积分的地位与作用十七世纪微积分的出现，是数学发展史上的一件划时代的大事．微积分是人类智慧最伟大的成就之一，由于微积分具有将复杂问题化归为简单规则和步骤的非凡能力以及深邃的思想方法，它的出现极大地影响了数学以及整个科学的发展．美国数学家M.Kline说过：“数学是从微积分开始，而不是以之为结束．”微积分中蕴涵着重要的极限思想，以直代曲，以局部研究整体，从有限认识无限。这些思想非常重要，因此，在中学数学教材中增加微积分的内容，有利于学生形成辩证逻辑思维，有利于实现学生思维的飞跃，提升数学素养。（二）课标要求1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．能根据导数定义，求函数

的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数;能求简单的复合函数（仅限于形如

）的导数．（二）课标要求3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．（二）课标要求6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．（三）高考要求导数除法法则、函数单调性判断，参数讨论导数乘法法则、复合函数求导法则、切线方程、函数单调性判断，参数讨论导数加法法则、复合函数求导法则、切线方程、函数单调性判断，参数讨论导数乘法法则、复合函数求导法则、函数单调性判断，函数最值、参数讨论导数加法法则、切线方程、函数单调性判断，函数最值、参数讨论导数除法法则、切线方程、函数单调性判断，函数最值、问题转化导数乘法法则、函数单调性判断，函数最值、问题转化考察导数加法法则、复合函数求导法则、切线方程、函数单调性判断，参数讨论、问题转化北京高考导数命题特点：1.考试内容始终集中在：切线、单调性、极值和最值；2.导数计算要求较高，导数的四则运算都涉及；3.导数问题一般涉及参数的分类讨论；4.综合性越来越强，近两年更强调问题转化。二、本章内容解读（一）本章知识框架结构（二）本章的重点与难点重点：导数概念的实际背景，导数概念的数学表述.正确运用导数公式以及四则运算法则求一些初等函数的导数.利用导数，结合函数图象研究函数的性质，能利用导数解决某些简单的优化问题.体会解决定积分问题的基本思想方法.能利用微积分基本定理解决定积分的应用问题。（二）本章的重点与难点难点：理解导数概念及其表达式，正确区分导函数与函数在某一点处的导数；求某些复合函数的导数时如何认清哪些是中间变量.正确区分函数在某点附近的极值与函数在某个区间上的最值.在解决优化问题时，对实际问题情境的认识和理解.理解定积分的概念，认识原函数与导函数的区别与联系，知道求原函数与导函数是一对互逆运算。（三）本章蕴含的核心观点、思想和方法（1）微积分的思想在导数与定积分的概念中体现了“以直代曲”，“逼近”，“以不变代变”的重要思想，有利于学生形成辩证逻辑思维，有利于实现学生思维的飞跃，提升数学素养。（三）本章蕴含的核心观点、思想和方法（2）数形结合的思想高中教材中没有函数极限的定义、性质、运算法则，也没有割线的极限的定义，所以在导数、切线的概念教学上以体会为主，突出几何直观，强调数形结合；在导数应用与求定积分时，也需结合图形分析求解。（三）本章蕴含的核心观点、思想和方法（3）极限的思想导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。极限是一个确定的数值，是一系列的无限近似数值的变化趋势，用相对真理逼近绝对真理，这是一种重要的数学思想方法。（三）本章蕴含的核心观点、思想和方法（4）归纳概括、从特殊到一般的数学思想方法平均变化率、导数的概念，定积分的概念都是从具体的实例引入，通过抽象概括形成相应的概念，幂函数的求导法则的探究更是列举了6个幂函数分别依定义求导后进行归纳概括得到一般的结论，这过程渗透了探究问题的基本思路与方法，有利于培养学生的观察分析探究问题的能力。三、教学建议（一）导数概念的教学高中教材中没有函数极限的定义、性质、运算法则，也没有割线的极限的定义，所以在导数、切线的概念教学上以体会为主，突出几何直观，强调数形结合，突出“以直代曲”、“逼近”的数学思想方法。不要追求严密的逻辑性和系统性，而将重点放在对导数思想和内涵的理解上。在教学中，应结合气球膨胀率、非匀速直线运动的瞬时速度、光滑曲线的切线斜率等实际背景，从物理和几何两方面人手，引导学生逐步理解导数的概念.（一）导数概念的教学1.平均变化率由变速运动中的平均速度引出函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率，并明确其几何意义，即为两点连线即割线的斜率；并在此让学生明白平均变化率与图形的陡峭程度的关系---平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”，数形结合，几何直观非常有益于学生对内涵的理解。（一）导数概念的教学2.导数概念对于瞬时变化率即导数概念，教材以学生熟悉的物理背景-----瞬时速度引入，在平均变化率的基础上，用数表展示无限趋近过程，化抽象为直观。（一）导数概念的教学

（一）导数概念的教学（一）导数概念的教学当Δt→0时，平均速度都趋近于确定的值-13.1.从物理角度看，平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度。因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s。推广到一般，得到：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数。-------这是从数量上体会逼近思想，也是导数的物理意义。（一）导数概念的教学那么从“形”上能否体现逼近思想呢，有否几何意义呢？PQoxyy=f(x)割线切线T

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.从形上看（一）导数概念的教学从形上看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ趋近于过点P的切线PT当Δx→0时，割线的斜率趋近于切线的斜率，因此，函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率。-----这是导数的几何意义。。（一）导数概念的教学从上分析可以看出，导数概念比较抽象，课本在平均变化率的概念之下，精心设计两条线索。（1）平均速度→瞬时速度，（2）割线斜率→切线斜率，既是从微积分的起源出发，从物理和几何两方面入手，让学生理解导数的实际意义，也是从数和形两个角度达成对于导数概念的理解。（二）要重视导数运算的教学

从高考要求看导数的四则运算是C级要求，应该是熟练掌握的。我们从导数运算的角度关注一下北京卷导数解答题。高考对导数运算的要求高，导数四则运算、复合函数求导、各类函数模型都有涉及，若求导错误，则后续问题的解决为无用功。（二）要重视导数运算的教学

导数的运算教学我们如何有效落实，让学生打好导数运算的基础呢？（二）要重视导数运算的教学（1）引导学生准确认知函数模型，用好、用对导数公式及运算法则，并注意求导过程的规范性首先要对求导的对象作出准确的模型判断，是幂函数还是指数函数？是积的导数还是商的导数？是否含有复合关系？根据模型判断，选择公式，是正确求导的第一步。比如：求函数的导数，其中是幂函数，学生指数运算不过关，不能很好地认知函数模型，而是用商的导数公式求导，增加运算步骤，易导致出错。（二）要重视导数运算的教学求导运算只是中间步骤，求导是为了用导数分析研究函数性质，要训练学生在求导运算过程中有方向性、目标性的意识，提高运算的效率和准确度，如08年的高考解答题；另外求导的方法策略的选择基于对函数模型的认识和函数关系以及数与式的运算和导数运算法则的综合分析判断，可以有意识引导学生观察、分析，变形后再求解，如15年高考解答题。（2）引导学生感悟运算的策略和方向性，在思维引导下进行运算导数除法法则、函数单调性判断，参数讨论考察导数加法法则、复合函数求导法则、切线方程、函数单调性判断，参数讨论、问题转化再比如：（二）要重视导数运算的教学

方法一;应用二倍角公式将其转化成两个基本三角函数的积的导数；方法二：看成三角函数与一次函数的复合函数求解，不同的模型认知，也带来不同的求解过程，过程中也有繁简的差异，显然看成复合函数求解更简单。（三）利用导数判断函数单调性

用导数刻画单调性，这和用单调性定义来刻画有什么关系?

定义判断单调性：作差、变形、断号、定论从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高二利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高二的学习奠定基础。（三）利用导数判断函数单调性

由单调性定义，我们有以下结论：则结合导数定义，可得“在某个区间（a,b）内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增”.这样就将单调性定义与用导数研究单调性联系了起来。（四）关注形的应用

教学中，解题中都用好图形。图形先行！反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用．从而加深对导数本质的认识和理解，体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。（五）导数的实际应用通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.让学生经历数学建模过程：从生活实际到数学模型，再通过解决数学问题而达到实际问题被解决的过程。①学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练；②考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述；③充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.（五）导数的实际应用解决应用问题的基本思路是：（六）落实基础，适度综合

抓好基础，落实到位；适度综合，不宜太难。四、学生理解困难，易混淆问题（一）切线概念学生已学过圆与圆锥曲线的切线,因此认为：1.直线与曲线相切时，有唯一公共点，且判别式为0；2.（切线的概念）直线和曲线有唯一的公共点时，直线叫做曲线在该点的切线；（一）切线概念3.如果一直线与曲线有两个不同的交点，那么，该直线一定不是曲线的切线；4.（切线的性质）曲线一定在它的切线的同一侧5.过函数图像上一点只能做出一条切线。（一）切线概念这些错误的认识来源于已研究过的曲线（特别是圆)的切线，是具有局限性的。关键是切线的定义把握不准。定义：在曲线上取点P及邻近的点Q，过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线（从左或右）无限接近于点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。切线与函数图象局部相切------局部性质。（二）导数与切线的关系671.如何（利用导数）求出经过函数图像外一点所有切线的方程682.过函数图像上一点，只能做出一条切线吗？692.过函数图像上一点，只能做出一条切线吗？703.“曲线在某点（处）切线”与“曲线过某点切线”有什么区别？7172(三)“单调增”与“导数大于0”关系1.在某个区间（a,b）内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.反过来，如果函数y=f(x)在这个区间内单调递增，那么f’(x)>0，对吗？例如;y=x3所以，f’(x)>0是函数y=f(x)在区间（a,b）内单调递增的充分不必要条件。（用来求单调区间）。(三)“单调增”与“导数大于0”关系2.若函数y=f(x)在区间（a,b）内单调递增，则f’(x)≥0.

在某个区间（a,b）内，如果f’(x)≥0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.对吗？f’(x)≥0是函数y=f(x)在区间（a,b）内单调递增的必要不充分条件。（已知单调区间，求参数范围）(三)“单调增”与“导数大于0”关系例、f(x)=(a-1)x+b在R上单调递增，则a的取值范围.

解：f’(x)=a-1≥0,解得a≥1显然a=1不成立，所以a>1结论“若函数y=f(x)在区间（a,b）内单调递增，则f’(x)≥0，”实际含义应理解为：f’(x)=0可以成立，但不能恒成立。因此，解决此类问题需要对导数等于0的地方进行检验.(三)“单调增”与“导数大于0”关系3.充要条件：函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递增f’