2023年湖南省益阳市中考数学试题（含答案解析）

#【分析】由正方形ABCD,可得AD=DC=AB=4,ZA=ZADC=ZBCD=90°,ZDCF=90。，证明AE=BE=2,求解。回2=42+22=20,再结合旋转的性质与勾股定理可得答案.【详解】解：.・•正方形ABCD,/.AD=DC=AB=4,ZA=ZADC=ZBCD=90°,・・・ZDCF=90。，.•%为AB的中点，:.AE=BE=2,.•・*=42+22=20，由旋转可得：ZEDF=90°,DE=DF，・,・EFy/DE2+DF2=V40=2>/10；【答案】4【分析】由尺规作图可知，射线M是匕8AD的角平分线，由于AD=AE=4^结合等腰三角形“三线合一”得M是。E边中点,再由枷〃A8,根据平行线分线段成比例定理得到N是边BC中点，利用梯形中位线的判定与性质得到MN='（DC+EB）即可得到答案.【详解】解：由题意可知AD=AE=4,射线AF是NBAD的角平分线，•.•由等腰三角形“三线合一"得归是。旧边中点，MN//AB,由平行线分线段成比例定理得到丝=业=1,即N是边BC中点，NCMD•••A/N是梯形BCDE的中位线，..MN=?（DC+EB）,在XABCD中，CD=AB=6,BE=AB-AE=6-4=2,则MN=4,三、解答题（本题共8个小题，共78分）【答案】73【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可.【详解】解：|【答案】64°【分析】根据AB//CD,可得ZDFE=Z\=\22°，从而得到ZEFG=58%再由GE=GF,可得』FEG=/EFG=5袴,然后根据三角形内角和定理，即可求解.【详解】解XBHCD,匕1=122。・・・Z£)FE=N1=]22。，・•・AEFG=180°-ZDFE=58°,,:GE=GF,・•・ZFEG=ZEFG=58。,:.Z2=180°-ZFEG-ZEFG=64°.Y—1 【答案】——，1-72x+1【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把x=^2-1代入化简后的分式中进行计算即可.【详解】解J土-土卜高_ X+1 Al(x-1)(x+l)(T 2x-\~7+T:(x+l)(T 2x-\~7+T:当X=V2-1时，原式=2^==1_J5.很【答案】（1）本次被调査的学生人数是240人； m=12,〃=45；图中A等级对应的圆心角度数为108。； 该校共有学生1200人，估计满意度为人，8等级的学生共有900人.【分析】（1）由C等级的人数除以其占比可得总人数，（2）由总人数减去A,B,C三个等级的人数可得，〃的值，再由B等级的人数除以总人数可得〃的值，由A等级的占比乘以360。口J■得圆心角的度数；(x-l)(x+l)~(x-l)(x+l)J~2~一2(顷

（3）由A,B等级的占比乘以1200,可得答案.【小问1详解】解：V484-20%=240.・.・本次被调査的学生人数是240人；【小问2详解】由题意可得：^=240-72-108-48=12,〃=45；72——x360°=108°,240・.・图中A等级对应的圆心角度数为108°；【小问3详解】72+10824072+108240x1200=900,・.・该校共有学生1200A，估计满意度为A,B等级的学生共有900人.4勿23.【答案】（1）30° （2）是菱形，证明见解析 （3）CD的长为司・【分析】（1）如图，连接OB,证明NABO=90。，而ZABC=120%可得ZOBC=120°-90°=30%再结合等腰三角形的性质可得答案；（2）先证明ZACD=ZACB=30°.即ZDCB=&）。,而ZABC=120°,求解ZCAB=30°=ZACB,可得BA=BC,证明CD=CB，可得CD=CB,再证明AD=AB，可得AD=AB=BC=CD,从而可得结论;（3）如图，连接OD,BD，交AC于Q,证明△施C为等边三角形，可得ZDOC=2ZDBC=120%证明QA=QC=3,AC丄BD,求解OC=2,再利用弧长公式进行计算即可.【小问1详解】解：如图，连接OB,BB..•线段A3与。。相切于点&/.ZABO=90°,而ZABC=120°.・•・ZOBC=120°-90°=30°.OB=OC,・•・ZOBC=/OCB=3Q\【小问2详解】四边形ABCD是菱形，理由如下：DB的中点为M，ZACB=30%AZACD=ZACB=30°.即ZDCB=60。,而ZABC=120%・•・ZCAB=180°-120°-30°=30°=ZACB,BA=BC,DB的中点'为M,CM为直径，・•・CD=CB，CD=CB，ZAC£>=30°=ZACB.AC=AC,:.AACZ^AACB,:-AD=AB>AD=AB=BC=CD,.•・四边形ABCD是菱形.【小问3详解】如图，连接OQ,BD，交AC于Q,,:CD=CB,ZDCB=60。,・..△D8C为等边三角形，・.・ZDBC=O)°,・.・ZDOC=2ZDBC=120。,..•菱形ABCD.AC=6,:.QA=QC=3fAC丄BD,・・.匕顷2=90。_30。=60。，ZOBC=30°,・・・匕妙0=30。，・・・OQ=^OB=^OC,：.-OC+OC=3,2OC=2,,,lz120^x24/r..・CD的长为一^-=丁24.【答案】（1）4万元（2）w=8（3）当A,B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.2【分析】（I）把x=10代入可得答案；■'（2） 当工=刀时，可得|/n=-l/n2+2/n,再解方程可得答案：（3） 设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为（32—工）万元，设总收益为y万元,y=^+yfl=-lx2+|x+y,而0£x《32,再利用二次函数的性质可得答案.小问1详解】2解：.・•投资A项目一年后的收益以（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：以=一1，2当x=10时，yA=-xl0=4（万元）；小问2详解】..•对A,B两个项目投入相同的资金m（w>0）万元，一年后两者获得的收益相等，2 12-,.—"I=——m+2m,5 5

整理得：流一8也=0，解得：捋=8,叫=0（不符合题意），・・.〃7的值为8.【小问3详解】yR=~x2+2x设投入到B项目的资金为X万元，则投入到A项目的资金为（32—工）万元，设总收益为y万元,2 1、=-（32-x）--x+2xW0<x<32,8.••当工= 2x.••当工= 2x..•当A,B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.25.【答案】（1）见解析（2）见解析25.【答案】（1）见解析（2）见解析⑶臂【分析】(1)根据旋转的性质可得DA=DA\ZADA'=NGD4'=90。，再根据A'F丄曲，可得匕4=匕4'，即可；根据ZBFG=ZACB=90°,可得点B,C,G,F四点共圆，从而得到/CBG=/CFG,ZABC+ZCGF=180°,从而得到ZAGF=ZABC,进而得到ZACF=ZABG,可证明“ABG^ACF,即可；连接EG,根据AC=8,tanA=?，可得BC=^A!D=AD=2DE,4F=2EF，=设DE=DG=x,则AD=AD=2x可得AE=A,G=>/5x，AE=x,CG=8-3x,EF=L,A，F=^x，FG=—x，8P=4打一瓯x，再由A'G平分四边形OCBE的面积，可5 5 5 5得S.deg+S.feg=S.bfg+S、bcg，从而得到关于x的方程，即可求解.【小问1详解】证明：•・•线段DA绕点。按顺时针方向旋转90°得到DA，.・.DA=DA\^ADA'=Z.GDA!=90°,・・・ZA+ZAEE>=90。，VA'FA.AB即？人婭90?,.・・ZA'+ZAEF=90。，,:ZAED=ZAEF，・・・ZA=ZA'，在V4庞和^ADG中，匕4=匕4'，DA=DA\ZADAr=ZGDA1=90°,・•・AA£)£^AAZDG；【小问2详解】证明：•・・NBFG=ZACB=90。，..•点B,C,G,F四点共圆，・.・Z.CBG=/CFG,ZABC+ZCGF=180°,,:ZAGF+ZCGF=180°,・•・ZAGF=ZABC,ZAGF=/CFG+ZACF,ZABC=AABG+ZCBG,:.ZACF=ZABG^•.・ZA=ZA，:.^.ABG^ACF,.AGBG，，~AF=CF，即AFGB=AGFC；【小问3详解】解：如图，连接EG,...△厶庞丝△4OG,

:・DE=DG,AE=ArG,VAC=8»tanA=-,2*BCDEI..tanA= = :ACAD2:.BC=4,A!D=AD=IDE,AF=2EF・•・AB=W，设DE=DG=x,则AD=AD=2x,:.AE=A'G=妬x，A'E=x,CG=8-3x,；•EF=自,A，F=^x，・・・FG=^~x，时=4后絳X，..・A'G平分四边形。CBE的面积,••S,deg+S.FEG=SBFG+.BCG，解得…普（负值舍去）,解得…普（负值舍去）,26.【答案】（1）（一2,0） （2）a26.【答案】（1）（一2,0） （2）a=^2 （3）6.5vq《7【小问1详解】解：对于直线l:y=a{x+i）,当y=0时，x=—2,.・.A点的坐标为（一2,0）；【小问2详解】解：联立得:y=ax2解：联立得:y=ax2y=。（工+2）解得:1=一1或x=2,LB在C的左边，.••点B（-l,a）,C（2,4a）,..•8点关于x轴的对称点为&点，..•点8（—1,一〃），・•・A序2=（_2+1）2+疽=疽+9,c&2=（2+1）2+（4q+q）2=25/+9,AC2=（-2-2）2+（物）2=16疽+]6,.../+9v25/+9,o2+9+25“2+9=26/+18>16f+i6,/.ZB/AC=90°,此时AB,2+AC2=CB'\即（/+9）+（16/+16）=25疽+9,解得：a=41（负值舍去）；【小问3详解】解：如图，设直线l:y=a{x+